Topološki prostor
Topološki prostor je prostor, ki ga preučuje topologija, matematika strukture oblik. V grobem je to množica stvari (imenovanih točke) in način, kako ugotoviti, katere stvari so si blizu.
Natančneje, topološki prostor ima določeno vrsto množic, ki se imenujejo odprte množice. Odprte množice so pomembne, ker omogočajo, da govorimo o točkah v bližini druge točke, ki se imenujejo soseska točke. Soseska točke je preprosto odprta množica, ki vsebuje to točko. Če ne bi imeli pojma odprtih množic, ne bi mogli dobro opredeliti sosesk. Če bi skušali sosesko točke opredeliti kot katero koli množico, ki vsebuje to točko, bi lahko vključevala samo to točko in samo to točko, ne pa točk v njeni bližini ali oddaljenih točk. Imamo tudi pojem zaprte množice, ki so dopolnilo odprtih množic. To pomeni, da vse točke, ki ne pripadajo določeni odprti množici, tvorijo zaprto množico.
Odprte množice morajo upoštevati določena pravila, da se ujemajo z našimi predstavami o bližini. Zveza poljubnega števila odprtih množic mora biti odprta, zveza končnega števila zaprtih množic pa mora biti zaprta. (Drugo pravilo velja le za končno število zaprtih množic. To je zato, ker je v mnogih primerih množica, ki vsebuje eno samo točko, zaprta. Vsaka množica je sestavljena iz točk. Če bi drugo pravilo veljalo za neskončno število zaprtih množic, bi bila vsaka množica zaprta.) V posebnem primeru je množica, ki vsebuje vsako točko, hkrati odprta in zaprta. Tudi množica, ki ne vsebuje točk, je odprta in zaprta.
Pri množici točk je lahko odprta množica opredeljena na različne načine. Kot odprte lahko razumemo samo nekatere množice ali pa več množic. Lahko celo menimo, da je vsaka množica odprta. Ista množica z različnimi definicijami odprtih množic tvori različne topološke prostore.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je topološki prostor?
O: Topološki prostor je množica točk in način, kako ugotoviti, katere stvari so blizu skupaj. Preučuje se v matematiki strukture oblik.
V: Kaj so odprte množice?
O: Odprte množice so pomembne, ker omogočajo, da govorimo o točkah v bližini druge točke, ki se imenujejo soseska točke. Opredeljene so kot določene vrste množic, ki jih lahko uporabimo za dobro opredelitev sosesk.
V: Čemu morajo slediti odprte množice?
O: Odprte množice morajo upoštevati določena pravila, da se ujemajo z našimi predstavami o bližini. Unija poljubnega števila odprtih množic mora biti odprta, unija končnega števila zaprtih množic pa mora biti zaprta.
V: Kaj je poseben primer za odprte in zaprte množice?
O: Poseben primer za odprte in zaprte množice je, da je množica, ki vsebuje vsako točko, hkrati odprta in zaprta, prav tako pa je množica, ki ne vsebuje nobene točke, hkrati odprta in zaprta.
V: Kako različne definicije vplivajo na topološke prostore?
O: Različne definicije tega, kaj je odprta množica, lahko vplivajo na topološke prostore tako, da za odprte štejejo le nekatere množice ali več kot običajno, ali celo tako, da je vsaka množica odprta.
V: Ali lahko neskončno število zaprtih množic tvori katero koli množico?
O: Ne, če bi bilo dovoljeno neskončno število zaprtih množic, potem bi se vsaka množica štela za zaprto, saj je vsaka množica sestavljena samo iz točk.
