AlegsaOnline.com

Binomska ekspanzija (binomski izrek): definicija in primeri

Binomska ekspanzija (binomski izrek): jasna definicija, korak-po-korak primeri, formule in uporaba Pascalovega trikotnika za hitro računanje potenčnih izrazov.

Avtor: Leandro Alegsa

09-10-2025

Pri binomski ekspanziji gre za razvijanje potence vsote dveh izrazov v obliko vsote členov z ustreznimi koeficienti. Običajno zapišemo izraz kot (x + y)ⁿ. $(x+y)^{n}$ Poznamo tri glavne variante binomske razširitve, ki jih spodaj pojasnimo in ilustriramo z zgledi.

1. Klasična binomska razširitve za celoštevilski n ≥ 0

Če je n nenegativno celo število, je razširitev končna in se zapiše z binomskimi koeficienti:

(x + y)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C(n,k) x^n-k y^k,

kjer je C(n,k) binomski koeficient, definiran kot

C(n,k) = n! / (k! (n−k)!).

Ti koeficienti izpolnjujejo tudi rekurzijo Pascalovega trikotnika:

C(n,k) = C(n−1,k) + C(n−1,k−1), s C(n,0) = C(n,n) = 1.

Primeri:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴

2. Generalizirana (Newtonova) binomska razširitve za poljubni eksponent

Če je eksponent a realno ali kompleksno število (ne nujno celo), je mogoče zapisati (1 + x)^a kot potencialno neskončno vrsto:

(1 + x)^a = Σ_k=0^∞ C(a,k) x^k,

kjer so splošni binomski koeficienti

C(a,k) = a (a−1) (a−2) ··· (a−k+1) / k!.

Ta vrsta konvergira za |x| < 1 (v primeru kompleksnih a in x) in pri nekaterih robnih pogojih tudi za |x| = 1. Če je a nenegativen celoštevilski, se vrstica ustavi in dobimo prejšnji (končni) primer.

Primer:

(1 + x)^1/2 = 1 + (1/2)x − (1/8)x² + (1/16)x³ + ... za |x| < 1.

3. Posebni primeri, lastnosti in kombinatorična interpretacija

Posebne oblike in lastnosti vključujejo:

(x − y)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (−1)^k C(n,k) x^n−k y^k — znano izmeničnost znakov pri odštevanju.
Kombinatorična razlaga: C(n,k) je število načinov, kako izbrati k elementov iz n, kar daje smisel koeficientom v razširitvi (število načinov, kako izbrati k-krat izraz y iz n produktov (x+y)).
Algebraične identitete: npr. Σ_k=0ⁿ C(n,k) = 2ⁿ (vrednost (1+1)ⁿ) ali Σ_k=0ⁿ (−1)^k C(n,k) = 0 za n ≥ 1 ((1−1)ⁿ).
Pascalov trikotnik omogoča hitro izračunavanje koeficientov in vizualno prikazuje rekurzijo C(n,k) = C(n−1,k) + C(n−1,k−1).

Kratek dokaz (indukcija) za celoštevilski n

Podajmo skico dokaza s pomočjo matematične indukcije. Za n = 0 velja (x+y)⁰ = 1. Če predpostavimo, da formula velja za n−1, potem

(x+y)ⁿ = (x+y)(x+y)ⁿ⁻¹ = (x+y) Σ_k=0ⁿ⁻¹ C(n−1,k) x^n−1−k y^k.

Po razmnoževanju členov in združitvi koeficientov uporabimo identiteto C(n,k) = C(n−1,k) + C(n−1,k−1>, da dobimo želeno formulo za n. To zaključi indukcijo.

Uporabe in pomen

Binomska ekspanzija je osnovno orodje v algebri, računih verjetnosti, kombinatoriki, analizi (potenčne vrste) in številnih aplikacijah, kjer se pojavljajo potence vsot dveh izrazov. Poznavanje lastnosti binomskih koeficientov in Newtonove splošne razširitve je zato pomembno v različnih vejah matematike.

Formule

V osnovi obstajajo tri formule za binomsko razširitev:

( a + b ) =2 a +2 a 2b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$		1. mesto (plus)
( a - b ) =2 a2 -2 a b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$		2. (minus)
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2- b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$		3. mesto (plus-minus)

Zakaj obstajajo take 3 formule, lahko razložimo s preprosto razširitvijo produkta:

( a + b ) =2 ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a + 22⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}} $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a - b ) =2 ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a - 22⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}} $(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2- b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}} $(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

Uporaba Pascalovega trikotnika

Če je n {\displaystyle n} celo število ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } $n\in \mathbb {Z}$ ), uporabimo Pascalov trikotnik.

Za razširitev ( x + y ) {\displaystyle2 (x+y)^{2}} $(x+y)^{2}$ :

poišči 2. vrstico Pascalovega trikotnika (1, 2, 1)
razširite x {\displaystyle x} in y {\displaystyle y}, tako da se moč x {\displaystyle x} zmanjša za 1 vsakič od n {\displaystyle n} do 0 in moč y {\displaystyle y} poveča za 1 vsakič od 0 do n {\displaystyle n}
števila iz Pascalovega trikotnika pomnoži z ustreznimi izrazi.

Torej ( x + y ) =2 x 1y 2+0 x2 y 1+1 x 1y 0{\displaystyle2 (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}. $(x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}$

Na primer:

( + 3x2 ) = ⋅2132 ⋅ ( x2 ) + ⋅ 0231⋅ ( x2 ) + ⋅ 1130⋅ ( x2 ) =2 + 9x 12+ x 4{\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot2 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}} $(3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}$

Praviloma torej:

( x + y ) n = a x 0n y +0 a x1 n -1 y + 1a x2 n - 2y + 2⋯ + a n - 1x y1 n - 1+ a n x y0 n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} $(x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}$

kjer je a i {\displaystyle a_{i}} $a_{i}$ številka v vrstici n {\displaystyle n} in na položaju i {\displaystyle i} $i$ v Pascalovem trikotniku.

Primeri

( + 5x3 ) = ⋅3153 ⋅ ( x3 ) + ⋅ 0352⋅ ( x3 ) + ⋅ 1351⋅ ( x 3) + ⋅ 2150⋅ ( x3 ) {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}3 $(5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}$

= + 12575⋅ 3x + 15⋅9 x + 21⋅27 x =3 + 125x225 + x 135+2 x 27{\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}3 $=125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}$

(5 - 3x ) = ⋅3153 ⋅ ( - 3x ) + ⋅ 0352⋅ ( - 3x ) + ⋅ 1351⋅ ( - 3x ) + ⋅ 2150⋅ ( - 3x ) {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}3 $(5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}$

= + 12575⋅ ( - 3x ) + 15⋅ 9x + 21⋅ ( - 27x ) 3= 125-223 x + x 1352-27 x {\displaystyle3 =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}} $=125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}$

( + 7x4 ) 2= ⋅5175 ⋅ ( x4 ) 2+ ⋅ 0574⋅ ( x4 )2 + ⋅ 11073⋅ ( x4 )2 + ⋅ 21072⋅ ( x4 )2 + ⋅ ⋅ ( x ) + ⋅ 3571⋅ ( x 4) 2+ ⋅ 4170⋅ ( x4 ) 2{\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot5 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}} $(7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}$

= +1680712005 ⋅ 4x + 23430⋅16 x + 4490⋅64 x + 635⋅256 x + 81⋅1024 x {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}10 $=16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}$

= = + 16807x48020 +2 x54880 +4 x 31360+6 x 8960+ 8x 1024{\displaystyle10 \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}} $\,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}$

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je binomska ekspanzija?

O: Binomska razširitev je matematična metoda, ki uporablja izraz za ustvarjanje vrste z uporabo izraza v oklepaju (x+y)^n.

V: Kakšen je osnovni koncept binomske razširitve?

O: Osnovni koncept binomske razširitve je razširitev moči binomskega izraza v vrsto.

V: Kaj je binomski izraz?

O: Binomski izraz je algebrski izraz, ki vsebuje dva izraza, povezana z znakom plus ali minus.

V: Kakšna je formula za binomsko razširitev?

O: Formula za binomski razteg je (x+y)^n, kjer je n eksponent.

V: Koliko vrst binomskih razlag obstaja?

O: Obstajajo tri vrste binomskih razlag.

V: Katere so tri vrste binomskih razlag?

O: Tri vrste binomskih razširitev so: prva binomska razširitev, druga binomska razširitev in tretja binomska razširitev.

V: Kako je binomski razpon uporaben pri matematičnih izračunih?

O: Binomski razteg je uporaben pri matematičnih izračunih, saj pomaga poenostaviti zapletene izraze in rešiti zapletene probleme.