AlegsaOnline.com

Elastični trk — definicija, ohranjanje kinetične energije in gibalne količine

Elastični trk: definicija, popolnoma elastični trki, ohranjanje kinetične energije in gibalne količine, primeri, formule ter praktične razlage za boljše razumevanje fizike.

Avtor: Leandro Alegsa

03-12-2025

Elastično trčenje je trčenje dveh predmetov, pri katerem se obe telesi odbijeta nazaj z majhno deformacijo ali brez nje in pri katerem ni neto pretvorbe kinetične energije v druge oblike (npr. toploto ali zvok). Primer sta dve gumijasti žogici, ki se odbijata med seboj; nasprotno pa sta dva avtomobila, ki se po trku ostro padejo skupaj in se zmečkata, primer neelastičnega trka. Pri popolnoma elastičnem trku (idealiziran primer) se ne izgubi nobena kinetična energija, zato je skupna kinetična energija obeh teles po trku enaka skupni kinetični energiji pred trkom. Hkrati se v takem trku ohranja tudi gibalna količina (moment).

Kaj pomeni popolnoma elastičen trk?

Pomembni značilnosti popolnoma elastičnega trka sta:

Ohranjanje kinetične energije: vsota kinetičnih energij pred trkom je enaka vsoti kinetičnih energij po trku.
Ohranjanje gibalne količine: vektorska vsota gibalnih količin (p = m·v) sistemov pred trkom je enaka vsoti po trku.

V realnem svetu je popolnoma elastičen trk redek; mnogi trki so le približno elastični (npr. trki med kroglicami za biljard), medtem ko so trki, pri katerih nastane trajna deformacija ali veliko trenja (npr. trčenje avtomobilov), neelastični.

Ohranjanje gibalne količine

Gibalna količina telesa je p = m·v (masa krat hitrost). Za sistem dveh teles, ki trčita, velja konservacija gibalne količine:

m1·v1 + m2·v2 = m1·v1' + m2·v2',

kjer so v1, v2 hitrosti pred trkom in v1', v2' hitrosti po trku.

Ohranjanje kinetične energije

Za popolnoma elastičen trk velja tudi:

½ m1·v1^2 + ½ m2·v2^2 = ½ m1·v1'^2 + ½ m2·v2'^2.

Skupaj z enakošnjostjo gibalne količine ti dve enačbi določita hitrosti obeh teles po trku.

Enačbe za enodimenzionalni elastičen trk

Za trk v eni dimenziji (na primer vzdolž iste črte) sta rešitev za hitrosti po trku:

v1' = ((m1 − m2)/(m1 + m2))·v1 + (2 m2/(m1 + m2))·v2

v2' = (2 m1/(m1 + m2))·v1 + ((m2 − m1)/(m1 + m2))·v2

Te enačbe veljajo, če sta upoštevana tako ohranjanje gibalne količine kot ohranjanje kinetične energije.

Praktični posebni primeri

Če sta mase enaki (m1 = m2), se pri enodimenzionalnem elastičnem trku hitrosti obeh teles preprosto zamenjata: v1' = v2 in v2' = v1. To je razlog, da se pri biljardu hitrost prenaša z enega kroga na drugega.
V težiščnem (center-of-mass) sistemu je elastičen trk značilen po tem, da se relativna hitrost pri trku preprosto obrne: v_rel' = −v_rel.

Koeficient restituacije

Elastičnost trka se pogosto opisuje s koeficientom restituacije e, ki meri, kolikšen delež relativne hitrosti vzdolž linije trka se ohrani:

e = (relativna hitrost oddaljevanja) / (relativna hitrost približevanja).

Za popolnoma elastičen trk je e = 1. Za popolnoma neelastičen trk, pri katerem se telesi po trku zlepita, je e = 0.

Kdaj so trki približno elastični?

Trki med majhnimi trdnimi kroglicami (npr. jeklenimi ali trdnimi plastičnimi kroglicami) so pogosto blizu elastičnih, zato so praktični primeri in izračuni z elastičnimi enačbami uporabni. Trki, kjer se pojavi velika deformacija, trdno trenje ali plastične spremembe oblike (npr. avtomobilske nesreče), so neelastični — del kinetične energije se pretvori v toploto, zvok in trajne spremembe oblike.

Sklep: pri elastičnem trku veljata dve ključni pravili — ohranjanje gibalne količine in ohranjanje kinetične energije. S kombinacijo obeh pravil lahko izračunamo izhodne hitrosti po trku in razumemo obnašanje sistemov pri trkih v fiziki.

Enodimenzionalni Newtonov

Vzemimo dva delca, označena z indeksoma 1 in 2. Naj bosta masi m₁ in m₂ , hitrosti u₁ in u₂ pred trkom ter hitrosti v₁ in v₂ po trku.

Uporaba ohranjanja gibalne sile za zapis ene formule

Ker gre za elastičen trk, je skupni navor pred trkom enak skupnemu navoru po trku. Glede na to, da je gibalna sila (p) izračunana kot

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Gibanje pred trkom lahko izračunamo kot:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

in zagon po trčenju je:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Če ju izenačimo, dobimo prvo enačbo:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Uporaba ohranjanja energije za zapis druge formule

Drugo pravilo, ki ga uporabljamo, je, da skupna kinetična energija ostane enaka, kar pomeni, da je začetna kinetična energija enaka končni kinetični energiji.

Enačba za kinetično energijo je:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Uporabite iste spremenljivke kot prej: Začetna kinetična energija je:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Končna kinetična energija je:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Določimo, da sta obe enaki (ker skupna kinetična energija ostane enaka):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Če združimo ti dve enačbi

Te enačbe lahko rešimo neposredno, da najdemo v_i , ko poznamo u_i , ali obratno. Tukaj je vzorčni problem, ki ga lahko rešimo s pomočjo ohranitve gibalne sile ali ohranitve energije:

Na primer:

Krogla 1: masa = 3 kg, v = 4 m/s

Kroglica 2: masa = 5 kg, v = -6 m/s

Po trčenju:

Kroglica 1: v = -8,5 m/s

Kroglica 2: v = neznano ( Predstavili jo bomo z v )

Uporaba ohranjanja gibalne sile:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Po množenju in odštevanju 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ od obeh strani dobimo:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Če seštejemo levo stran in nato delimo s 5 {\displaystyle 5} $5$ , dobimo:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , in s končnim deljenjem dobimo: 1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v} $\ 1.5=v$

Ta problem bi lahko rešili tudi z uporabo teorije ohranjanja energije:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Če obe strani pomnožimo z 2 {\displaystyle 2} $2$ , nato pa opravimo vsa potrebna množenja, dobimo:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Če seštejemo števila na levi strani, od obeh strani odštejemo 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ in delimo s 5 {\displaystyle 5} $5$ , dobimo:

2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Če vzamemo kvadratni koren iz obeh strani, dobimo odgovor v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} $v=\pm 1.5$ .

Na žalost bi morali še vedno uporabiti ohranitev navora, da bi ugotovili, ali je v {\displaystyle v} $v$ pozitiven ali negativen.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je elastično trčenje?

O: Elastično trčenje je, ko dva predmeta trčita in se odbijeta nazaj z majhno deformacijo ali brez nje.

V: Kaj je primer elastičnega trka?

O: Primer elastičnega trka sta dve gumijasti žogici, ki se odbijata skupaj.

V: Kaj je neelastično trčenje?

O: Neelastično trčenje je, ko dva predmeta trčita in se zmečkata ter se ne odbijata nazaj.

V: Kaj je primer neelastičnega trka?

O: Dva avtomobila, ki trčita drug v drugega, sta primer neelastičnega trka.

V: Kaj se zgodi pri popolnoma elastičnem trku?

O: Pri popolnoma elastičnem trku se kinetična energija ne izgubi, zato je kinetična energija obeh predmetov po trku enaka njuni skupni kinetični energiji pred trkom.

V: Kako pride do elastičnih trkov?

O: Do elastičnih trkov pride le, če se kinetična energija ne pretvori v druge oblike, kot sta toplota ali zvok.

V: Kaj se ohrani pri elastičnem trku?

O: Pri elastičnem trku se ohranja gibalna sila.