Električni fluks (električni pretok): definicija, enote in Gaussov zakon

Predstavljajte si električno polje E, ki prehaja skozi površino. Upoštevajmo neskončno majhno površino (dA) na tej površini, na kateri je polje E približno konstantno. Naj bo kot med vektorjem E in površinsko elementom dA enak θ. Električni fluks (električni pretok) skozi ta majhen površinski element je definiran kot E dA cos θ — torej skalarni produkt vektorjev E in dA. V vektorskem zapisu je diferencialni fluks skozi majhno površino d A {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$ podan z

d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Celoten električni fluks skozi površino S dobimo z vsoto (površinskim integralom) vseh prispevkov dΦE:

Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Kjer je E električno polje, dA pa je diferencialna površina na površini S {\displaystyle S} $S$ . Vektor dA ima smer enako normalni površini; pri zaprti (Gaussovi) površini se običajno izbere navzven obrnjena površinska normala.

Gaussov zakon

Za zaprto Gaussovo površino je neto električni fluks povezan z nabojem, ki ga površina obdaja (vključno z vsemi prostimi in vezanimi naboji), z izrazom:

Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}$

Tu je Q_S neto naboj znotraj zaprte površine, ε0 pa je električna konstanta (permitivnost vakuuma). To je Gaussov zakon v integralni obliki in predstavlja eno od štirih Maxwellovih enačb.

Tumačenje in posledice

Poljubni naboj, ki leži izven zaprte površine, prispeva k električnemu polju na posameznih delih površine, vendar njegov skupni prispevek k netnemu fluksu skozi zaprto površino je nič. Zato v enačbi Gaussovega zakona šteje samo naboj, ki je dejansko znotraj površine.
Gaussov zakon velja vedno, ne glede na geometrijo polja. V praksi pa je uporaben za enostavne analitične izračune le, kadar je polje zaradi simetrije (sferična, cilindrična, planarna) enostavno opisati.
Za material z dielektričnim odzivom se včasih loči prosti naboj (ki se pojavi na prevodnikih ali kot vključeni deli) od vezanih nabojev; pri uporabi vektorskega polja D (električni pomik) v enačbi div D = ρ_free se v enačbi upošteva le prosti naboj, medtem ko Gaussov zakon za E v integralni obliki vedno uporablja skupni naboj.

Diferenčna oblika

Uporaba divergenčnega izreka (Gaussov izrek) omogoča zapis Gaussovega zakona tudi v lokalni, diferenčni obliki:

∇ · E = ρ / ε0,

kjer je ρ volumska gostota naboja v točki v prostoru.

Primeri uporabe (simetrije)

Sferična simetrija: za točkasti naboj Q v središču sferične površine radija r dobimo E = (1/(4πε0))·Q/r^2 usmerjeno radialno. Fluks skozi sfero je ΦE = Q/ε0.
Cilindrična simetrija: za neskončno dolgo enakomerno obremenjeno linearno porazdelitev naboja (linearna gostota λ) izberemo cilinder okoli osi; iz Gaussovega zakona sledita E = λ/(2πrε0) in ustrezni fluks skozi stransko površino cilindra.
Planarna simetrija: za neskončno ravnino z enakomerno površinsko gostoto naboja σ je polje na vsaki strani enako E = σ/(2ε0), kar se tudi dobi z uporabo Gaussovega zakona z ustrezno izbrano Gaussovo površino.

Enote

Električni fluks ima v SI enote volt-metre (V·m) ali ekvivalentno newton-metre na kvadrat na coulomb (N·m2·C-1). Če izrazimo v osnovnih enotah SI, dobimo kg·m3·s-3·A-1.

Dodatne opombe

Pri praktičnih problemih je izbira primerne Gaussove površine ključna za enostaven izračun. Kadar polje nima jasne simetrije, je pogosto učinkoviteje uporabiti numerične metode in računalnik za izračun polja in fluksa. Prav tako je dobro vedeti, da je Gaussov zakon temelj za razumevanje vedenja električnih polj v prisotnosti materialov (dieelektrikov in prevodnikov) ter pri reševanju problemov elektrostatike in elektrodinamike.

Sorodne strani

Magnetni tok

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je električni tok?

O: Električni tok je točkovni produkt električnega polja, E, in diferencialne površine na površini, dA.

V: Kako izračunamo električni tok?

O: Električni tok lahko izračunamo z enačbo EdAcos(i), kjer je E električno polje, dA pa neskončno majhna površina na površini, na kateri ostaja E konstanten. Kot med E in dA je i.

V: Kaj pravi Gaussov zakon za električna polja?

O: Gaussov zakon za električna polja pravi, da je za zaprto Gaussovo površino električni tok skozi njo enak neto naboju, ki ga zapira, deljenemu z električno konstanto (ε0). To razmerje velja v vseh primerih, vendar ga lahko uporabimo le za izračun, kadar so v električnem polju visoke stopnje simetrije.

V: Kateri so primeri simetričnih situacij, kjer lahko Gaussov zakon uporabimo za izračun?

O: Primera sta sferična in cilindrična simetrija.

V: Katere so enote SI za električni tok?

O: Električni tok ima enote SI voltmeter (V m) ali newtonski meter kvadratni na coulomb (N m2 C-1). Osnovne enote SI za električni tok so kg-m3-s-3-A-1.

V: Ali je električni tok odvisen od nabojev zunaj zaprte površine?

O: Ne, na električni tok ne vplivajo naboji, ki ležijo zunaj zaprte površine, lahko pa vplivajo na neto električno polje znotraj nje.