Heksaeder: polieder s šestimi ploskvami — vrste, primeri in lastnosti

Heksaeder (množina: heksaedri) je vsak polieder s šestimi ploskvami. Na primer kocka je pravilen heksaeder z vsemi kvadratnimi stranicami in tremi kvadrati okoli vsakega vrha.

Opomba: v slovenščini se izraz "šestkotnik" navadno nanaša na ravninski večkotnik s šestimi stranicami (hexagon). Za tridimenzionalni polieder s šestimi ploskvami je zato ustreznejši izraz heksaeder.

Osnovne lastnosti

Za vsak polieder velja Eulerjeva zveza: V − E + F = 2, kjer so V število vrhov, E število robov in F število ploskev. Ker ima heksaeder F = 6, iz tega sledi

E = V + 4.

Ker ima vsaka ploskev najmanj tri robove in je vsaka stranica prišteta dvakrat, velja 3F ≤ 2E, kar za F = 6 daje E ≥ 9 in posledično V ≥ 5. Torej se pri konveksnih heksaedrih število vrhov običajno giblje med 5 in 8. Primeri:

• Trikotna dipiramida: V = 5, E = 9, F = 6 (šest trikotnih ploskev).
• Pentagonalna piramida: V = 6, E = 10, F = 6 (ena petkotna ploskev + pet trikotnikov).
• Kocka (pravilen heksaeder): V = 8, E = 12, F = 6 (šest kvadratnih ploskev).

Vrste in primeri

Heksaedri se razlikujejo glede na obliko in konfiguracijo ploskev. Nekateri pogosti primeri:

• Pravokotni prizmi (npr. kocka, pravokotna škatla) — štiri stranske ploskve so pravokotniki in dve osnovni ploskvi sta kvadrata ali pravokotnika.
• Piramide s petkotno osnovo — ena večkotna osnovna ploskev in pet trikotnih stranskih ploskev.
• Dipiramide (npr. trikotna dipiramida) — sestavljene iz trikotnih ploskev; trikotna dipiramida ima šest trikotnikov.
• Poliedri s kombinacijo trikotnikov, kvadratov in petkotnikov — raznolike oblike, odvisno od združevanja ploskev.

Konveksni in konkavni heksaedri

Obstaja sedem topološko različnih konveksnih heksaedrov, od katerih eden obstaja v dveh zrcalnih (enantiomorfnih) oblikah. (Dva poliedra sta "topološko različna", če imata drugačno razporeditev ploskev in vrhov, tako da enega ni mogoče deformirati v drugega le z raztezanjem ali zoževanjem robov oziroma spreminjanjem kotov.)

Poleg konveksnih obstajajo še primeri, ki so topološko drugačni in jih je mogoče realizirati le kot konkavne figure — za te oblike je značilno, da kakšen notranji kot presega 180°, zato imajo vdolbine.

Dualnost

Dual poliedra zamenja ploskve in vrhove: dual heksaedra je polieder z 6 vrhovi in z vrhovi izvirnega poliedra kot ploskvami v dualu. Na primer dual kocke (heksaedra) je osemploskovni polieder (oktaeder). Dualne oblike ohranjajo povezave med robovi in vrhovi, a pogosto se geometrijsko zelo razlikujejo.

Uporaba in pomen

• V računalniški geometriji in numeričnih metodah so heksaedri pomembni kot elementi mrež (hexahedral elements) za metode končnih elementov — pogosto za modeliranje trdnih teles v inženirstvu.
• V vsakdanji uporabi sta najbolj prepoznavna primer kocke (igralna kocka, gradbeni blok) in pravokotna škatla (embalaža).
• Razumevanje topologije heksaedrov je pomembno tudi pri študiju mrež, 3D-modeliranju in arhitekturnem oblikovanju.

Heksaedri so zato splošen in uporaben razred poliedrov: vključujejo tako simetrične oblike, kot je kocka, kot tudi nesimetrične ali konkavne strukture, ki se pojavljajo v naravi in tehniki.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je heksaeder?

V: Ali lahko kocko štejemo za šestkotnik?

V: Koliko je topološko različnih konveksnih heksaedrov?

V: Ali je mogoče, da sta dva poliedra topološko različna?

V: Koliko zrcalnih oblik obstaja za enega od sedmih topološko različnih konveksnih šestkotnikov?

V: Ali obstajajo topološko izraziti šestkotniki, ki jih je mogoče realizirati le kot konkavne like?

V: Ali lahko enega od topološko različnih konveksnih šestkotnikov popačimo v enega od topološko različnih konkavnih šestkotnikov?

Išči po črki