Torzija (zasuk) v mehaniki trdnih teles — definicija, formule

V mehaniki trdnih teles je torzija zasuk predmeta, ki je posledica delovanja navora. Pri krožnih presekih je nastala strižna napetost pravokotna na polmer.

Strižna napetost v točki na gredi je:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T je uporabljeni navor, r je oddaljenost od središča vrtenja, J pa je polarni vztrajnostni moment.

Kot zasuka lahko določite z uporabo:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Kje:

Razlaga in pomen veličin

• T — navor (vztrajnostni moment), enota N·m.
• r — radialna oddaljenost točke v prerezu od sredice (os vrtenja), enota m.
• J — polarni moment vztrajnosti preseka (pogosto označen tudi kot I_p ali J_p). Za krožne prereze je J odvisen od četrtega potenca polmera; enota m4.
• G — modul strižnosti (smerni modul), materialna lastnost, enota Pa (N/m2).
• L — dolžina gredi (segmenta) na katerem deluje navor, enota m.
• τ — strižna napetost v točki prereza, enota Pa (N/m2).
• θ — skupni kot zasuka (v radianih) na dolžini L; pogosto je uporabna tudi gostota zasuka (kot zasuka na enoto dolžine) φ = θ/L.

Osnovne lastnosti in vezi

• Strižna napetost narašča linearno z radialno oddaljenostjo r: τ(r) = T r / J. Največja strižna napetost je na površini (r = R): τ_max = T R / J.
• V linearno elastičnem območju velja povezava τ = G γ, kjer je γ strižna deformacija. Za krožni prerez pri enakomernem zasuku po dolžini velja γ(r) = r (dθ/dx) oziroma pri enakomernem zasuku γ = r θ / L.
• Iz τ = G γ in γ = r θ / L izpeljemo τ = G r θ / L. Ker je θ = T L / (J G), sledi τ = T r / J, kar potrdi konsistentnost formul.
• Navora in zasuka sta povezana tudi preko torzijske togosti K: T = K θ, kjer je K = G J / L. Torej večji J ali G pomeni večjo togost proti zasuku.

Izrazi za polarni moment vztrajnosti J

• Za trdno krožno gred radija R: J = (π R4) / 2 (torej J = π R^4 / 2).
• Za votlo krožno gred z zunanjim radijem R_o in notranjim radijem R_i: J = (π (R_o^4 − R_i^4)) / 2.
• Za nepravilne ali ne-krožne preseke se pogosto uporablja torsijski konstanta J_t (ali C), ki upošteva učinke ukrivljanja in warping-a; pri teh presekih je analiza zapletenejša (metode končnih elementov ali tabelni rezultati).

Predpostavke in omejitve

• Formule veljajo za linearno elastične materiale in majhne deformacije (linearno področje). Pri velikih zasukih ali nelinearnih materialih je potrebna naprednejša analiza.
• Za čiste torsijske obremenitve je gred predpostavljena kot prizmična (constant cross-section) in navor deluje brez prsnih popačenj — za krožne preseke je ta predpostavka točna (brez warping-a), za ne-krožne preseke pa običajno ni (potreben je upoštevanje Saint-Venantovega problema).

Praktični napotki in enote

• Ker so J enote m4, majhne spremembe radija močno vplivajo na J (odvisnost po R^4), zato zmanjšanje notranjega premera znatno zmanjša togost proti zasuku.
• Uporabite naslednje enote: T [N·m], r [m], J [m4], G [Pa], τ [Pa], θ [rad].
• Če želite izračunati kot zasuka na enoto dolžine: φ = θ / L = T / (J G).

Razširjeni primer

Za trdno krožno gred radija R in dolžine L pri navoru T dobimo:

• Polarni moment: J = π R4 / 2.
• Največja strižna napetost na površini: τ_max = T R / J = (2 T) / (π R3).
• Kot zasuka: θ = T L / (J G) = (2 T L) / (π G R4).
• Torzijska togost: K = G J / L = (π G R4) / (2 L).

Opomba o terminologiji

V literaturi se lahko pojavljajo različne oznake za polarni moment (J, I_p, J_p) in za torsijsko konstanto (J_t, C). Pomembno je preveriti definicije v kontekstu vira. Za ne-krožne prereze se pogosto uporablja pojem torsional constant, ki ni nujno enak geometričnemu polarnemu momentu J krožnega prereza.

Za bolj zapletene preseke ali nelinearne učinke uporabite numerične metode (npr. metode končnih elementov) ali reference o Saint-Venantovem torsijskem problemu.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je torzija?

V: Kako je strižna napetost povezana s torzijo?

V: S katero enačbo lahko izračunamo strižno napetost v točki na gredi?

V: S katero enačbo lahko ugotovimo kot zasuka?

V: Kaj pomeni "T" v enačbah za strižno napetost in kot zasuka?

V: Kaj pomeni "r" v enačbi za strižno napetost?

V: Kaj pomeni "J" v obeh enačbah?

Išči po črki