Polarni drugi moment površine (J): definicija, formula in uporaba

Kaj je polarni drugi moment površine (J)?

Polarni drugi moment površine (imenovan tudi polarni vztrajnostni moment) je geometrijska lastnost prereza, ki meri njegovo odpornost proti torziji — torej proti zasuku zaradi navora. Gre za eno izmed oblik drugega momenta površine; medtem ko ravninski drugi momenti površine opisujejo odpornost proti upogibu ob delovanju sile v ravnini, polarni moment opisuje odpornost proti zasuku, ko deluje moment (navor) v ravnini, pravokotno na nevtralno os prereza.

Ravninski drugi moment običajno označimo z I {\displaystyle I}, polarni pa z I z {\displaystyle I_{z}} ali J {\displaystyle J} v inženirskih učbenikih.

Dimenzije in enote

Polarni drugi moment površine ima dimenzijo dolžine na četrto potenco (L 4 {\displaystyle L^{4}}). Pogoste enote so:

• metri na četrto (m 4 {\displaystyle ^{4}}) v metričnem sistemu,
• palci na četrto (in 4 {\displaystyle ^{4}}) v imperialnem sistemu.

Matematična definicija

Za poljubno ploskev R je polarni drugi moment površine okoli točke O definiran z večkratnim integralom:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}.

Ker velja ρ2 = x2 + y2, lahko izraz zapišemo tudi kot:

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}.

Iz tega sledi uporaba pravokotnega izreka osi (perpendicular axis theorem) za ravninske ploskve:

∴ J = I x + I y {\displaystyle \tudi J=I_{x}+I_{y}} .

Pogoste formule za običajne prereze

Za nekatere geometrije obstajajo zaprte oblike za J. Najpogostejše sta:

• Polna krožna gred (premer d, polmer r = d/2):
  J = (π/2) r4 = π d4 / 32. (To je polarni drugi moment površine krožnega prereza.)
• Votla krožna gred (zunanji premer do, notranji premer di):
  J = (π/32) (do4 − di4) = (π/2) (Ro4 − Ri4), kjer sta Ro in Ri zunanja in notranja polmera.

Za pravokotne ali druge ne-krožne preseke J teh formul običajno ne veljajo kot tortzijska konstanta; pri necilindričnih presekih je prava vrednost, ki vpliva na zasuk, torzijska konstanta (oz. st. konstanta), ki je lahko manjša od matematičnega J zaradi dezaktivacije dela preseka pri torziji. V takih primerih se uporablja numerična analiza ali korekcijski faktorji.

Uporaba v torziji — povezava z zasukom in napetostmi

Polarni drugi moment površine vstopa neposredno v enačbo za kotni zasuk nosilca pod enakomernim navora T:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} ,

kjer je T {\displaystyle T} navor, l {\displaystyle l} dolžina gredi, J {\displaystyle J} polarni drugi moment površine in G {\displaystyle G} strižni modul materiala.

Za krožno gred velja tudi preprosta zveza med lokalno strižno napetostjo τ in radialno oddaljenostjo ρ:

τ(ρ) = T ρ / J. (Največja strižna napetost se pojavi na zunanjih vlaknih, torej pri ρ = r.)

Praktični pomen

• Večji J pomeni, da je za enak navor potreben večji zasuk — torej je gred bolj odporna proti torziji.
• Vpliv materiala na torzijsko togost vključuje G (strižni modul); skupna torzijska togost je J·G.
• Pri ne-krožnih presekih (npr. pravokotne ali I-profile) linearni izračun J ne opisuje vedno pravilno realnega obnašanja pod torzijami — v teh primerih uporabimo torzijsko konstanto ali numerične metode (metoda končnih elementov) in upoštevamo pojem šivnosti in porušitve ravnin.

Primer izračuna (kratko)

Če imamo polno krožno gred premera d = 40 mm, je polarni drugi moment površine:

J = π d4 / 32 = π (0,04 m)4 / 32 ≈ 8,04·10−8 m4.

Če nanjo deluje navor T = 200 Nm in je dolžina l = 1 m, material pa ima G = 80 GPa, je kot zasuka:

θ = T l / (J G) ≈ 200·1 / (8,04·10−8 · 80·10^9) ≈ 0,031 rad ≈ 1,78°.

Zaključek in opozorila

Polarni drugi moment površine je ključna geometrijska lastnost pri analizi torzijskih obremenitev. Povezava med obliko prereza (J), materialnimi lastnostmi (G) in obremenitvijo (T, l) omogoča izračun zasuka in strižnih napetosti. Vendar bodite pozorni na razlikovanje med vztrajnostnim momentom mase (fizika) in drugim momentom površine (inženirstvo). Pri ne-cilindričnih presekih uporabite ustrezne korekcije ali numerične metode, saj preprost J ne zajame vedno vseh efektov torzijske deformacije.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je vztrajnostni moment v fiziki?

V: Na kaj se v tehniki nanaša polarni drugi moment površine?

V: Kako izračunate polarni drugi moment površine?