Polarni vztrajnostni moment

Opomba: V različnih strokah se izraz vztrajnostni moment uporablja za različne momente. V fiziki je vztrajnostni moment izključno drugi moment mase glede na oddaljenost od osi, ki označuje kotni pospešek predmeta zaradi uporabljenega navora. V inženirstvu (zlasti strojništvu in gradbeništvu) se vztrajnostni moment običajno nanaša na drugi moment površine. Pri branju polarnega vztrajnostnega momenta bodite pozorni, da preverite, ali se nanaša na "polarni drugi moment površine" in ne na vztrajnostni moment. Polarni drugi moment površine ima enote dolžine do četrte moči (npr. m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ali i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), medtem ko je vztrajnostni moment masa krat kvadrat dolžine (npr. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ ali l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}) $lb*in^{2}$ ).

Polarni drugi moment površine (imenovan tudi "polarni vztrajnostni moment") je merilo sposobnosti predmeta, da se upira torziji, ki je odvisna od njegove oblike. Gre za en vidik drugega površinskega momenta, ki je povezan s pravokotno osno trditvijo, pri čemer se pri ravninskem drugem površinskem momentu uporablja oblika prereza nosilca za opis njegove odpornosti proti deformaciji (upogibu), kadar je izpostavljen sili, ki deluje v ravnini, vzporedni z njegovo nevtralno osjo, pri polarnem drugem površinskem momentu pa se uporablja oblika prereza nosilca za opis njegove odpornosti proti deformaciji (zasuku), kadar deluje moment (navor) v ravnini, pravokotni na nevtralno os nosilca. Medtem ko je ravninski drugi moment površine najpogosteje označen s črko I {\displaystyle I} , je polarni drugi moment površine najpogosteje označen z I z {\displaystyle I_{z}}. $I_{z}$ ali črko J {\displaystyle J} $J$ v inženirskih učbenikih.

Izračunane vrednosti za polarni drugi moment površine se najpogosteje uporabljajo za opis odpornosti polne ali votle valjaste gredi proti torziji, kot je os ali pogonska gred vozila. Pri uporabi za necilindrične nosilce ali gredi postanejo izračuni polarnega drugega momenta površine napačni zaradi deformacije gredi/nosilca. V teh primerih je treba uporabiti torzijsko konstanto, pri čemer se izračunu vrednosti doda korekcijska konstanta.

Polarni drugi trenutek površine prenaša enote dolžine do četrte moči ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); metre do četrte moči ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) v metričnem sistemu enot in palce do četrte moči ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ) v imperialnem sistemu enot. Matematična formula za neposredni izračun je podana kot večkratni integral za površino oblike, R {\displaystyle R} $R$ na razdalji ρ {\displaystyle \rho} $\rho$ od poljubne osi O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

V najpreprostejši obliki je polarni drugi trenutek površine vsota dveh ravninskih drugih trenutkov površine, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ in I y {\displaystyle I_{y}}. $I_{y}$ . Z uporabo Pitagorovega izreka je razdalja od osi O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , lahko razdelimo na komponenti x {\displaystyle x} $x$ in y {\displaystyle y} $y$ ter spremembo površine, d A {\displaystyle dA} $dA$ , razdeljeno na komponenti x {\displaystyle x} $x$ in y {\displaystyle y} $y$ , d x {\displaystyle dx} $dx$ in d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Podani sta dve formuli za ploskovne druge momente površine:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ in I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Povezava s polarnim drugim momentom površine je lahko prikazana kot:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \tudi J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Z večanjem velikosti polarnega drugega momenta površine (tj. velikega preseka predmeta) je v bistvu potreben večji navor za torzijsko deformacijo predmeta. Vendar je treba opozoriti, da to nima nobenega vpliva na torzijsko togost, ki jo predmetu zagotavljajo njegovi sestavni materiali; polarni drugi moment površine je preprosto togost, ki jo predmetu zagotavlja samo njegova oblika. Torzijska togost, ki jo zagotavljajo značilnosti materiala, je znana kot strižni modul G {\displaystyle G} $G$ . Če povežemo ti dve komponenti togosti, lahko izračunamo kot zasuka nosilca, θ {\displaystyle \theta}. $\theta$ z uporabo:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Pri čemer je T {\displaystyle T} $T$ uporabljeni navor, l {\displaystyle l} $l$ pa dolžina nosilca. Kot je razvidno, večji navori in dolžine nosilca povzročijo večje kotne deformacije, pri čemer so večje vrednosti polarnega drugega površinskega momenta, J {\displaystyle J} $J$ in strižnega modula materiala, G {\displaystyle G} $G$ , zmanjšujeta možnost kotnih deformacij.

Shema, ki prikazuje, kako se izračuna polarni drugi moment površine ("polarni vztrajnostni moment") za poljubno obliko površine R okoli osi o, kjer je ρ radialna razdalja do elementa dA.

Sorodne strani

Moment (fizika)
Drugi trenutek območja
Seznam drugih trenutkov površine za standardne oblike
Strižni modul

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je vztrajnostni moment v fiziki?

O: V fiziki je vztrajnostni moment strogo gledano drugi moment mase glede na oddaljenost od osi, ki označuje kotni pospešek predmeta zaradi uporabljenega navora.

V: Na kaj se v tehniki nanaša polarni drugi moment površine?

O: V inženirstvu (zlasti strojništvu in gradbeništvu) se vztrajnostni moment običajno nanaša na drugi polarni moment površine. Pri branju polarnega vztrajnostnega momenta preverite, ali se nanaša na "polarni drugi moment površine" in ne na vztrajnostni moment. Polarni drugi moment površine ima enote dolžine do četrte moči (npr. m^4 ali in^4).

V: Kako izračunate polarni drugi moment površine?

O: Matematična formula za neposredni izračun je podana kot večkratni integral nad površino oblike, R, na razdalji ρ od poljubne osi O. J_O=∬Rρ2dA. V najpreprostejši obliki je polarni drugi