Enotni vektor je vsak vektor, ki je dolg eno enoto.

Enotni vektorji so pogosto zapisani enako kot normalni vektorji, vendar z oznako nad črko (npr. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }je enotni vektor a.)

Vektor spremenimo v enotski vektor tako, da ga delimo z njegovo dolžino: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert }

Razlaga in pomen

Enotni vektor predstavlja samo smer v prostoru, brez informacije o velikosti (magnitude). Pogosto ga uporabimo, kadar želimo zapi­sati smer npr. sile, hitrosti ali osi koordinat, ne da bi upoštevali velikost teh količin.

Kako dobimo enotni vektor (normalizacija)

Postopek normalizacije vektorja u vključuje naslednje korake:

  • izračunamo dolžino (normo) vektorja: ‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ...),
  • če je ‖u‖ ≠ 0, delimo vektor u z njegovo dolžino: û = u / ‖u‖.

    • Pomembno: normalizacije ni mogoče izvesti za ničelni vektor (u = 0), ker bi delili z nič.

    Lastnosti enotskih vektorjev

    • Dolžina enotskega vektorja je 1: ‖û‖ = 1.
    • Če sta û in v̂ enotska vektorja, je njun skalarni produkt û · v̂ = cos(θ), kjer je θ kot med njima.
    • Za enotska vektorja je |û × v̂| = |sin(θ)| (v 3D), kar predstavlja velikost vektorskega produkta.
    • Skupina enotskih vektorjev, ki so med seboj pravokotni in imajo dolžino 1, se imenuje ortonormalna baza.
    • Enotni vektorji so uporabni za definiranje smeri pri projekcijah: projekcija vektorja a na enotski vektor û je (a · û) û.

    Primeri

    Primer 1 (2D): Naj bo u = (3, 4). Njegova dolžina je ‖u‖ = sqrt(3² + 4²) = 5. Enotni vektor je

  • û = (3/5, 4/5). Preverimo: ‖û‖ = sqrt((3/5)² + (4/5)²) = 1.

    • Primer 2 (3D): Naj bo v = (1, 2, 2). Dolžina je ‖v‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3. Enotni vektor je v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).

    Standardni enotski vektorji v kartezični bazi: v dvodimenzionalnem prostoru pogosto uporabljamo enotska vektorja î = (1,0) in ĵ = (0,1). V tridimenzionalnem prostoru pa î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1).

    Uporabe

    • opredelitev smeri gibanja ali sile brez skale,
    • izgradnja ortonormalnih baz in rotacijskih transformacij,
    • račun projekcij in komponent vektorjev,
    • računalniška grafika (normale ploskev in osvetlitev),
    • fizika (enote hitrosti, enotske smeri pri vektorskih poljih).

    Kratek dokaz, da normalizacija da enotski vektor

    Če je u ≠ 0 in definiramo û = u / ‖u‖, potem je

  • ‖û‖ = ‖u / ‖u‖‖ = (1/‖u‖) ‖u‖ = 1,

    • tako je û enotski vektor.

    Če potrebujete specifičen primer ali izpeljavo v drugi koordinatni sistem (polarni, sferični), vam lahko pripravim dodatne primere in risbe.