Enotski vektor — definicija, lastnosti in primeri

Enotski vektor: jasna definicija, ključne lastnosti in praktični primeri za enostavno razumevanje normalizacije vektorjev, formule in vizualne razlage.

Avtor: Leandro Alegsa

16-10-2025 18:30

Enotni vektor je vsak vektor, ki je dolg eno enoto.

Enotni vektorji so pogosto zapisani enako kot normalni vektorji, vendar z oznako nad črko (npr. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } $\mathbf {\hat {a}}$ je enotni vektor a.)

Vektor spremenimo v enotski vektor tako, da ga delimo z njegovo dolžino: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$

Razlaga in pomen

Enotni vektor predstavlja samo smer v prostoru, brez informacije o velikosti (magnitude). Pogosto ga uporabimo, kadar želimo zapisati smer npr. sile, hitrosti ali osi koordinat, ne da bi upoštevali velikost teh količin.

Kako dobimo enotni vektor (normalizacija)

Postopek normalizacije vektorja u vključuje naslednje korake:

izračunamo dolžino (normo) vektorja: ‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ...),

če je ‖u‖ ≠ 0, delimo vektor u z njegovo dolžino: û = u / ‖u‖.

Pomembno: normalizacije ni mogoče izvesti za ničelni vektor (u = 0), ker bi delili z nič.

Lastnosti enotskih vektorjev

Dolžina enotskega vektorja je 1: ‖û‖ = 1.
Če sta û in v̂ enotska vektorja, je njun skalarni produkt û · v̂ = cos(θ), kjer je θ kot med njima.
Za enotska vektorja je |û × v̂| = |sin(θ)| (v 3D), kar predstavlja velikost vektorskega produkta.
Skupina enotskih vektorjev, ki so med seboj pravokotni in imajo dolžino 1, se imenuje ortonormalna baza.
Enotni vektorji so uporabni za definiranje smeri pri projekcijah: projekcija vektorja a na enotski vektor û je (a · û) û.

Primeri

Primer 1 (2D): Naj bo u = (3, 4). Njegova dolžina je ‖u‖ = sqrt(3² + 4²) = 5. Enotni vektor je

û = (3/5, 4/5). Preverimo: ‖û‖ = sqrt((3/5)² + (4/5)²) = 1.

Primer 2 (3D): Naj bo v = (1, 2, 2). Dolžina je ‖v‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3. Enotni vektor je v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).

Standardni enotski vektorji v kartezični bazi: v dvodimenzionalnem prostoru pogosto uporabljamo enotska vektorja î = (1,0) in ĵ = (0,1). V tridimenzionalnem prostoru pa î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1).

Uporabe

opredelitev smeri gibanja ali sile brez skale,
izgradnja ortonormalnih baz in rotacijskih transformacij,
račun projekcij in komponent vektorjev,
računalniška grafika (normale ploskev in osvetlitev),
fizika (enote hitrosti, enotske smeri pri vektorskih poljih).

Kratek dokaz, da normalizacija da enotski vektor

Če je u ≠ 0 in definiramo û = u / ‖u‖, potem je

‖û‖ = ‖u / ‖u‖‖ = (1/‖u‖) ‖u‖ = 1,

tako je û enotski vektor.

Če potrebujete specifičen primer ali izpeljavo v drugi koordinatni sistem (polarni, sferični), vam lahko pripravim dodatne primere in risbe.

V obliki komponente

Trije pogosti vektorji enot, ki se uporabljajo v obliki komponent, so i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } $\mathbf {\hat {i}}$ , j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} } $\mathbf {\hat {j}}$ in k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } $\mathbf {\hat {k}}$ , ki se nanašajo na enotske vektorje za osi x, y in z. Običajno jih zapišemo kot i, j in k.

Zapišemo jih lahko v naslednji obliki: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}} $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}$

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je enotski vektor?

O: Enotni vektor je vsak vektor, ki ima dolžino ena.

V: Kako se običajno zapisujejo enotski vektorji?

O: Enotni vektorji se običajno zapisujejo enako kot običajni vektorji, vendar z obročnikom nad črko.

V: Kako lahko iz vektorja naredimo enotski vektor?

O: Če želite iz vektorja narediti enotski vektor, ga morate deliti z njegovo dolžino.

V: Kakšen bo rezultat pretvorbe vektorja v enotski vektor?

O: Dobljeni enotski vektor bo v isti smeri kot prvotni vektor.

V: Ali obstaja primer, kako zapisati enotski vektor?

O: Da, na primer v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } je zapis za enotski vektor v{\displaystyle \mathbf {v} } .

V: Ali lahko vse vektorje spremenimo v enotske vektorje?

O: Da, vsako vrsto vektorja lahko spremenimo v enotski vektor tako, da ga delimo z njegovo dolžino.

Iskati