Vektor v matematiki: definicija, velikost, smer in primeri

• John gre 20 metrov proti severu. Smer "sever" in razdalja "20 metrov" sta vektorja.
• Jabolko pade navzdol s hitrostjo 10 metrov na sekundo. Smer "navzdol" skupaj s hitrostjo "10 metrov na sekundo" je vektor. Tovrstni vektor imenujemo tudi hitrost.

• Razdalja med dvema krajema je 10 kilometrov. Ta razdalja ni vektor, ker ne vsebuje smeri.
• Število sadežev v škatli ni vektor.
• Oseba, ki kaže, ni vektor, ker ima samo smer. Ni velikosti (na primer razdalje od prsta osebe do stavbe).
• Dolžina predmeta.
• Avto vozi s hitrostjo 100 kilometrov na uro. To ni opis vektorja, saj je podana le velikost, ni pa podana smer.

• Premik je vektor. Premik je razdalja, ki jo nekaj premakne v določeni smeri. Samo merilo razdalje je skalar.
• Sila, ki vključuje smer, je vektor.
• Hitrost je vektor, ker je to hitrost v določeni smeri.
• Pospešek je stopnja spremembe hitrosti. Predmet pospešuje, če spreminja hitrost ali smer.

Dodajanje vektorjev na papir z metodo od glave do repa

Metoda seštevanja vektorjev od glave do repa je uporabna za oceno rezultata seštevanja dveh vektorjev na papirju. Naredimo jo tako:

• Vsak vektor je narisan kot puščica z določeno dolžino, pri čemer vsaka enota dolžine na papirju predstavlja določeno velikost vektorja.
• Narišite naslednji vektor z repom (koncem) drugega vektorja na glavi (spredaj) prvega vektorja.
• Ponovite za vse nadaljnje vektorje: Narišite rep naslednjega vektorja na glavo prejšnjega vektorja.
• Narišite črto od repa prvega vektorja do glave zadnjega vektorja - to je rezultanta (vsota) vseh vektorjev.

Imenuje se metoda "od glave do repa", ker vsaka glava prejšnjega vektorja vodi v rep naslednjega vektorja.

Uporaba obrazca komponente

^{[je treba pojasniti}

Uporaba oblike komponente za seštevanje dveh vektorjev dobesedno pomeni, da seštejemo komponente vektorjev in dobimo nov vektor. Na primer, naj bosta a in b dva dvodimenzionalna vektorja. Ta vektorja lahko zapišemo v obliki njunih komponent.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Predpostavimo, da je c vsota teh dveh vektorjev, tako da je c = a + b. To pomeni, da je c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Tukaj je primer seštevanja dveh vektorjev z uporabo njunih komponentnih oblik.

a = ( , 3-1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( ,2 ) 2{\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }

= ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}

= ( +3 , 2- 1+ ) 2{\displaystyle =(3+2,-1+2)}

= ( ,5 ) 1{\displaystyle =(5,1)}

Ta metoda deluje za vse vektorje, ne le za dvodimenzionalne.

Uporaba točkovnega produkta

Ena od metod za množenje vektorjev je točkovni produkt. Rezultat je skalar. Uporablja obliko komponente:

a = ( ,2 ) 3b = ( ,1 )4 a ⋅ b = ( ,2 ) 3⋅ ( ,1 ) 4= ( 2⋅1 ) + (3 ⋅4 ) = +2 = 12{\displaystyle14 {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\\\\mathbf {b} =(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\=2+12=14\end{aligned}}

Uporaba navzkrižnega produkta

Križni produkt je še ena metoda za množenje vektorjev. Tako dobimo še en vektor. Uporaba oblike komponente:

a × b = | a | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Tukaj | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} pomeni dolžino {\displaystyle \mathbf {a} } in n {\displaystyle \mathbf {n} } je enotski vektor pod pravim kotom na oba a {\displaystyle \mathbf {a} } in b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Množenje s skalarjem

Če želite pomnožiti vektor s skalarjem (običajnim številom), pomnožite število z vsako komponento vektorja:

c x = ( c x , 1c x , 2... , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Primer tega je

c = x5 = ( ,3 ) 4c x = ( 5⋅3 , 5⋅4 ) = ( ,15 ) 20{\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\\mathbf {x} =(3,4)\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\=(15,20)\end{aligned}}}

• Vektorska grafika
• Vektorsko polje