Vektor v matematiki: definicija, velikost, smer in primeri
Odkrijte vse o vektorjih: definicija, velikost (magnituda), smer in praktični primeri z risbami ter jasna razlaga razlik do skalarjev. Uporaben vodnik za učenje in vaje.
Vektor je matematični objekt, ki ima velikost, imenovano magnituda, in smer.
Vektor se na primer uporablja za prikaz razdalje in smeri, v katero se je nekaj premaknilo. Če vprašate za smer in oseba reče: "Pojdi en kilometer proti severu", je to vektor. Če reče "Hodi en kilometer", ne da bi pokazala smer, je to skalar.
Vektorje običajno rišemo kot puščice. Dolžina puščice je sorazmerna z velikostjo vektorja. Smer, v katero kaže puščica, je smer vektorja.
Galerija slik
1 Slika
Definicija in notacija
Vektor je element vektorskega prostora, torej entiteta, ki ima velikost (magnitudo) in smer. Vektor pogosto označimo z malimi črkami z nadčrtajem ali puščico, npr. v, u ali →v. V praksi v koordinatnih sistemih vektor predstavimo z komponentami: v = (v1, v2) v dvodimenzionalnem prostoru ali v = (v1, v2, v3) v tridimenzionalnem prostoru.
Velikost (magnituda) in enotski vektorji
Velikost vektorja v = (v1, v2, ..., vn) je število, ki ga označimo z |v| in izračunamo kot
|v| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2).
Enotski vektor je vektor enote dolžine (|e| = 1) v isti smeri kot dane vektor. Enotski vektor v dane smeri dobimo z razmerjem e = v / |v|, če v ≠ 0.
Grafična predstavitev in pravila za računanje
Vektorje rišemo kot usmerjene puščice. Za seštevanje vektorjev uporabljamo:
- pravilo trikotnika: če dodamo u + v, potegnemo puščico v odščiteno na konec prve oziroma uporabimo zaporedno premikanje;
- paralelogramno pravilo: pri grafičnem seštevanju dveh vektorjev narišemo paralelogram, diagonala pa predstavlja vsoto;
- odštevanje: u − v je isto kot u + (−v), kjer je −v vektor nasprotne smeri;
- skalarni produkt (dot produkt): a · b = |a||b|cosθ, kjer je θ kot med vektorjema; v komponentni obliki za R^n: a · b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn;
- vektorski produkt (cross produkt) (samo v R^3): a × b je vektor, pravokoten na obe vektorji, z velikostjo |a||b|sinθ in usmeritvijo po pravilu desne roke.
Algebračna predstavitev in primeri
V R^2 lahko vektor v = (3, 4) interpretiramo kot premik za 3 enote v x-smeri in 4 enote v y-smeri. Njegova velikost je |v| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. To je klasičen primer 3–4–5 pravokotnega trikotnika.
Primeri uporabe vektorjev:
- premik (displacement): sprememba položaja; npr. premik 2 km vzhodno in 1 km severno;
- hitrost in pospešek: v fiziki sta vektorja, saj imata velikost in smer;
- sila: vektorski seštevek več sil določa rezultanto;
- representacija točk v računalniški grafiki in geometriji kot vektorji od izhodišča do točke.
Posebni vektorji in lastnosti
- ničelni vektor 0 ima velikost 0 in nima določene smeri; igra vlogo ničle pri seštevanju;
- linearne kombinacije: poljubni vektor v vektorskega prostora lahko izrazimo kot kombinacijo baznih vektorjev;
- ortogonalnost: dva vektorja sta pravokotna, če je njun skalarni produkt enak 0;
- projekcija: projekcija vektorja a na vektor b daje komponento a v smeri b.
Zaključek in praktični nasveti
Vektorji so osnovni gradniki v matematiki, fiziki, in inženirstvu. Pomembno je razlikovati med vektorji in skalari ter se naučiti računskih pravil: seštevanje, množenje s skalarjem, skalarni in vektorski produkt. Pri reševanju nalog si pomagajte s komponentno razčlenitvijo vektorjev in grafičnimi predstavitvami (puščice, trikotnik, paralelogram), da lažje razumete geometrijski pomen operacij.
Primeri vektorjev
- John gre 20 metrov proti severu. Smer "sever" in razdalja "20 metrov" sta vektorja.
- Jabolko pade navzdol s hitrostjo 10 metrov na sekundo. Smer "navzdol" skupaj s hitrostjo "10 metrov na sekundo" je vektor. Tovrstni vektor imenujemo tudi hitrost.
Primeri skalarjev
- Razdalja med dvema krajema je 10 kilometrov. Ta razdalja ni vektor, ker ne vsebuje smeri.
- Število sadežev v škatli ni vektor.
- Oseba, ki kaže, ni vektor, ker ima samo smer. Ni velikosti (na primer razdalje od prsta osebe do stavbe).
- Dolžina predmeta.
- Avto vozi s hitrostjo 100 kilometrov na uro. To ni opis vektorja, saj je podana le velikost, ni pa podana smer.
Več primerov vektorjev
Kako dodati vektorje
Dodajanje vektorjev na papir z metodo od glave do repa
Metoda seštevanja vektorjev od glave do repa je uporabna za oceno rezultata seštevanja dveh vektorjev na papirju. Naredimo jo tako:
- Vsak vektor je narisan kot puščica z določeno dolžino, pri čemer vsaka enota dolžine na papirju predstavlja določeno velikost vektorja.
- Narišite naslednji vektor z repom (koncem) drugega vektorja na glavi (spredaj) prvega vektorja.
- Ponovite za vse nadaljnje vektorje: Narišite rep naslednjega vektorja na glavo prejšnjega vektorja.
- Narišite črto od repa prvega vektorja do glave zadnjega vektorja - to je rezultanta (vsota) vseh vektorjev.
Imenuje se metoda "od glave do repa", ker vsaka glava prejšnjega vektorja vodi v rep naslednjega vektorja.
Uporaba obrazca komponente
[je treba pojasniti
Uporaba oblike komponente za seštevanje dveh vektorjev dobesedno pomeni, da seštejemo komponente vektorjev in dobimo nov vektor. Na primer, naj bosta a in b dva dvodimenzionalna vektorja. Ta vektorja lahko zapišemo v obliki njunih komponent.
a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})} 
b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})} 
Predpostavimo, da je c vsota teh dveh vektorjev, tako da je c = a + b. To pomeni, da je c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}
.
Tukaj je primer seštevanja dveh vektorjev z uporabo njunih komponentnih oblik.
a = ( , 3-1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)} 
b = ( ,2 ) 2{\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)} 
c = a + b {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} } 
= ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} 
= ( +3 , 2- 1+ ) 2{\displaystyle =(3+2,-1+2)} 
= ( ,5 ) 1{\displaystyle =(5,1)} 
Ta metoda deluje za vse vektorje, ne le za dvodimenzionalne.
Kako pomnožiti vektorje
Uporaba točkovnega produkta
Ena od metod za množenje vektorjev je točkovni produkt. Rezultat je skalar. Uporablja obliko komponente:
a = ( ,2 ) 3b = ( ,1 )4 a ⋅ b = ( ,2 ) 3⋅ ( ,1 ) 4= ( 2⋅1 ) + (3 ⋅4 ) = +2 = 12{\displaystyle14 {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\\\\mathbf {b} =(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\=2+12=14\end{aligned}} 
Uporaba navzkrižnega produkta
Križni produkt je še ena metoda za množenje vektorjev. Tako dobimo še en vektor. Uporaba oblike komponente:
a × b = | a | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} } 
Tukaj | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} 
pomeni dolžino {\displaystyle \mathbf {a} }
in n {\displaystyle \mathbf {n} }
je enotski vektor pod pravim kotom na oba a {\displaystyle \mathbf {a} } in b {\displaystyle \mathbf {b} } 
.
Množenje s skalarjem
Če želite pomnožiti vektor s skalarjem (običajnim številom), pomnožite število z vsako komponento vektorja:
c x = ( c x , 1c x , 2... , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})} 
Primer tega je
c = x5 = ( ,3 ) 4c x = ( 5⋅3 , 5⋅4 ) = ( ,15 ) 20{\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\\mathbf {x} =(3,4)\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\=(15,20)\end{aligned}}} 
Sorodne strani
- Vektorska grafika
- Vektorsko polje
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je vektor?
O: Vektor je matematični objekt, ki ima velikost, imenovano magnituda, in smer. Pogosto je predstavljen s krepkimi črkami ali kot odsek črte od ene točke do druge.
V: Kako običajno rišemo vektorje?
O: Vektorje običajno rišemo kot puščice. Dolžina puščice je sorazmerna z vektorjevo magnitudo, smer, v katero kaže puščica, pa je smer vektorja.
V: Kaj pomeni, če nekdo vpraša za smer?
O: Če nekdo vpraša za smer, če reče "Hodi en kilometer proti severu", je to vektor, če pa reče "Hodi en kilometer", ne da bi pokazal smer, je to skalar.
V: Kateri so primeri uporabe vektorjev?
O: Vektorje lahko uporabimo za prikaz razdalje in smeri, v katero se je nekaj premaknilo. Uporabljamo jih lahko tudi, ko vprašamo za smer ali se orientiramo po območju.
V: Kako so vektorji matematično predstavljeni?
O: Vektorji so pogosto predstavljeni s krepkimi črkami (na primer u, v, w) ali kot odsek črte od ene točke do druge (na primer A→B).
V: Kaj pomeni, če je nekaj označeno kot skalar?
O: Kadar je nekaj označeno kot skalarno, to pomeni, da ni nobenih informacij o smeri; le številčne vrednosti, kot sta razdalja ali hitrost.
Sorodni članki
Avtor
AlegsaOnline.com Vektor v matematiki: definicija, velikost, smer in primeri Leandro Alegsa
URL: https://sl.alegsaonline.com/art/104442