Število

Načini številčenja

Številke za ljudi

Številke lahko označimo z različnimi simboli. Te načine imenujemo številski sistemi. Najpogostejši številski sistem, ki ga ljudje uporabljajo, je številski sistem osnovnih deset. Številski sistem osnovnih deset se imenuje tudi desetiški številski sistem. Osnovni deseti številski sistem je običajen, ker imajo ljudje deset prstov na rokah in nogah. V osnovnem desetem številskem sistemu se uporablja 10 različnih simbolov {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9}. Teh deset simbolov imenujemo števke.

Simbol za število je sestavljen iz teh desetih številk. Položaj številk kaže, kako veliko je število. Na primer, število 23 v desetiškem številskem sistemu v resnici pomeni (2 krat 10) plus 3, 101 pa pomeni 1 krat sto (=100) plus 0 krat 10 (=0) plus 1 krat 1 (=1).

Številke za stroje

Pri strojih je pogostejši drug številski sistem. Strojni številski sistem se imenuje binarni številski sistem. Dvojiški številski sistem se imenuje tudi številski sistem osnove dve. V številskem sistemu osnove dve se uporabljata dva različna simbola (0 in 1). Ta dva simbola se imenujeta bita.

Simbol za binarno število je sestavljen iz teh dveh bitnih simbolov. Položaj bitnih simbolov kaže, kako veliko je število. Na primer, število 10 v binarnem številskem sistemu dejansko pomeni 1 krat 2 plus 0, 101 pa pomeni 1 krat štiri (=4) plus 0 krat dva (=0) plus 1 krat 1 (=1). Dvojiško število 10 je enako decimalnemu številu 2. Dvojiško število 101 je enako decimalnemu številu 5.

Imena številk

Angleščina ima posebna imena za nekatera števila v desetiškem številskem sistemu, ki so "moči desetih". Vse te moči desetih števil v desetiškem številskem sistemu uporabljajo samo simbol "1" in simbol "0". Na primer, ten tens je enako kot desetkrat deset ali sto. V simbolih je to "10 × 10 = 100". Prav tako je deset stotin enako desetkratniku sto ali tisoč. V simbolih je to "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Tudi nekatera druga števila z močjo desetih imajo posebna imena:

• 1 - ena
• 10 - deset
• 100 - sto
• 1000 - tisoč
• 1.000.000 - en milijon

Pri večjih številih od tega sta dva različna načina poimenovanja števil v angleščini. Pri "dolgi lestvici" se novo ime pojavi vsakič, ko je število milijonkrat večje od zadnjega poimenovanega števila. Imenuje se tudi "britanski standard". Ta lestvica je bila nekoč pogosta v Veliki Britaniji, danes pa se v angleško govorečih državah ne uporablja pogosto. Še vedno se uporablja v nekaterih drugih evropskih državah. Druga lestvica je "kratka lestvica", po kateri se novo ime pojavi vsakič, ko je število tisočkrat večje od zadnjega poimenovanega števila. Ta lestvica je danes veliko pogostejša v večini angleško govorečih narodov.

• 1,000,000,000 - ena milijarda (kratka lestvica), ena miliarda (dolga lestvica)
• 1,000,000,000,000 - en trilijon (kratka lestvica), ena milijarda (dolga lestvica)
• 1,000,000,000,000,000,000 - en kvadrilijon (kratka lestvica), en biljard (dolga lestvica)

Vrste števil

Naravna števila

Naravna števila so števila, ki jih običajno uporabljamo za štetje: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 itd. Nekateri pravijo, da je tudi 0 naravno število.

Drugo ime za ta števila je pozitivna števila. Včasih so ta števila zapisana kot +1, da bi pokazali, da se razlikujejo od negativnih števil. Vendar vsa pozitivna števila niso naravna (na primer 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} je pozitivno, vendar ni naravno).

Če 0 imenujemo naravno število, potem so naravna števila enaka celim številom. Če 0 ni naravno število, potem so naravna števila enaka števnim številom. Če torej ne uporabljamo besed "naravna števila", potem bo manj zmede glede tega, ali je nič vključena ali ne. Na žalost pa nekateri pravijo, da tudi nič ni celo število, nekateri pa pravijo, da so lahko cela števila negativna. "Pozitivna cela števila" in "nenegativna cela števila" sta še en način za vključitev ničle ali izključitev ničle, vendar le, če ljudje poznajo te besede.

Negativna števila

Negativna števila so števila, manjša od nič.

Eden od načinov, kako razmišljati o negativnih številih, je uporaba številske črte. Eno točko na tej premici imenujemo nič. Nato označimo (zapišemo ime) vsako mesto na premici s tem, kako daleč desno od ničelne točke je, na primer točka ena je en centimeter desno, točka dve je dva centimetra desno.

Zdaj pomislite na točko, ki je en centimeter levo od ničelne točke. Tej točki ne moremo reči ena, saj že obstaja točka, ki se imenuje ena. Zato to točko imenujemo minus 1 (-1) (ker je oddaljena en centimeter, vendar v nasprotni smeri).

Spodaj je narisana številska črta.

Vse običajne matematične operacije je mogoče opraviti z negativnimi števili:

Če negativno število prištejemo drugemu, je to enako, kot če z istimi številkami odvzamemo pozitivno število. Na primer, 5 + (-3) je enako kot 5 - 3 in je enako 2.

Če negativno število odvzamejo drugemu številu, je to enako, kot če z istimi številkami seštejejo pozitivno število. Na primer, 5 - (-3) je enako kot 5 + 3 in je enako 8.

Če pomnožijo dve negativni števili, dobijo pozitivno število. Na primer: -5 krat -3 je 15.

Če negativno število pomnožijo s pozitivnim številom ali pozitivno število pomnožijo z negativnim številom, dobijo negativen rezultat. Na primer: 5 krat -3 je -15.

Iskanje kvadratnega korena negativnega števila je nemogoče, saj je negativno krat negativno enako possitve. Kvadratni koren negativnega števila simboliziramo kot i.

Celoštevilke

Cela števila so vsa naravna števila, vsa njihova nasprotja in število nič. Decimalna števila in ulomki niso cela števila.

Racionalna števila

Racionalna števila so števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomke. To pomeni, da jih lahko zapišemo kot a deljeno z b, pri čemer sta števili a in b celi števili, b pa ni enak 0.

Nekatera racionalna števila, kot je 1/10, potrebujejo za decimalno vejico končno število števk, da jih lahko zapišemo v desetiški obliki. Številka ena desetina je zapisana v decimalni obliki kot 0,1. Številke, zapisane v končni decimalni obliki, so racionalne. Nekatera racionalna števila, kot je 1/11, potrebujejo za decimalno vejico neskončno število števk, da jih zapišemo v decimalni obliki. Števke za decimalno vejico imajo ponavljajoč se vzorec. Število ena enajstina je v desetiški obliki zapisano kot 0,090909090909 ... .

Odstotek bi lahko imenovali racionalno število, saj lahko odstotek, kot je 7 %, zapišemo kot ulomek 7/100. Zapišemo ga lahko tudi kot decimalno število 0,07. Včasih se kot racionalno število šteje tudi razmerje.

Iracionalna števila

Iracionalna števila so števila, ki jih ni mogoče zapisati kot ulomek, vendar nimajo imaginarnih delov (pojasnjeno pozneje).

Iracionalna števila se pogosto pojavljajo v geometriji. Če imamo na primer kvadrat s stranico 1 meter, je razdalja med nasprotnima vogaloma kvadratni koren iz dveh, kar je 1,414213 ... . To je iracionalno število. Matematiki so dokazali, da je kvadratni koren vsakega naravnega števila ali celo ali iracionalno število.

Dobro znano iracionalno število je pi. To je obseg (razdalja okoli) kroga, deljen z njegovim premerom (razdalja čez). To število je enako za vsak krog. Število pi je približno 3,1415926535 ... .

Iracionalnega števila ni mogoče v celoti zapisati v decimalni obliki. Za decimalno vejico bi imelo neskončno število števk. Za razliko od 0,333333 ... se te številke ne bi ponavljale v nedogled.

Realna števila

Realna števila so ime za vse zgoraj naštete množice števil:

• Racionalna števila, vključno s celimi števili
• Iracionalna števila

To so vsa števila, ki ne vključujejo imaginarnih števil.

Imaginarna števila

Imaginarna števila so sestavljena iz realnih števil, pomnoženih s številom i. To število je kvadratni koren števila minus ena (-1).

V realnih številih ni števila, ki bi bilo po kvadratu enako številu -1. Zato so matematiki izumili število. To število so poimenovali i ali imaginarna enota.

Imaginarna števila delujejo po enakih pravilih kot realna števila:

• Vsoto dveh imaginarnih števil ugotovimo tako, da izvlečemo (faktoriziramo) i. Na primer 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Podobno ugotovimo razliko dveh imaginarnih števil. Na primer, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Pri množenju dveh imaginarnih števil si zapomnite, da je i × i (i ²) -1. Na primer, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Imaginarna števila so se imenovala imaginarna, ker so ob njihovem prvem odkritju mnogi matematiki menili, da ne obstajajo.^[]Oseba, ki je odkrila imaginarna števila, je bil Gerolamo Cardano leta 1500. Prvi, ki je uporabil besede imaginarno število, je bil René Descartes. Prva človeka, ki sta uporabila ta števila, sta bila Leonard Euler in CarlFriedrich Gauss. Oba sta živela v 18. stoletju.

Kompleksna števila

Kompleksna števila so števila, ki imajo dva dela: realni in imaginarni del. Vsaka vrsta zgoraj napisanega števila je tudi kompleksno število.

Kompleksna števila so splošnejša oblika števil. Kompleksna števila lahko narišemo na številski ravnini. Ta je sestavljena iz premice realnih števil in premice imaginarnih števil.

                      3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | i|_ | | | _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

Vso običajno matematiko lahko izvajamo s kompleksnimi števili:

• Če želite sešteti dve kompleksni števili, ločeno seštejte realni in imaginarni del. Na primer: (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Če želite odšteti eno kompleksno število od drugega, ločeno odštejte realni in imaginarni del. Na primer: (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Množenje dveh kompleksnih števil je zapleteno. Najlažje ga je opisati na splošno z dvema kompleksnima številoma a + bi in c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Na primer: (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentna števila

Realno ali kompleksno število imenujemo transcendentalno število, če ga ni mogoče dobiti kot rezultat algebrske enačbe s celoštevilskimi koeficienti.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Dokazati, da je neko število transcendentalno, je lahko zelo težko. Vsako transcendentalno število je tudi iracionalno število. Prva, ki sta ugotovila, da obstajajo transcendentna števila, sta bila Gottfried Wilhelm Leibniz in Leonhard Euler. Prvi, ki je dejansko dokazal obstoj transcendentnih števil, je bil Joseph Liouville. To mu je uspelo leta 1844.

Znana transcendentna števila:

• e
• π
• e^a za algebrski a ≠ 0
• 2 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

√2 je iracionalna.