Realna števila: definicija, lastnosti, primeri in primerjave

Realno število je racionalno ali iracionalno število. Ko ljudje rečejo "število", običajno mislijo na "realno število". Uradni simbol za množico realnih števil je krepki R ali tabelarični krepki R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Osnovna definicija in pomen

Realna števila tvorijo množico vseh števil, ki jih lahko predstavimo kot neskončno desetiško ali pa kot ulomek. Vključujejo racionalna števila (npr. 1/2, -3, 4.75 — decimalke so končne ali ponavljajoče) in iracionalna števila (npr. √2, π — decimalke so neskončne in neponavljajoče). Realna števila uporabljamo za merjenje količin, dolžin, mas, temperatur itd., zato so temeljna v matematiki in naravoslovju.

Geometrična predstava

Realna števila si lahko predstavljamo kot neskončno dolgo ravnilo (številsko povratnico). Na njem je označena ničla in vsako drugo število po velikosti. Števila desno od ničle so pozitivna ( »večja od nič«), številke levo od ničle so negativna ( »manjša od nič« ). Negativna števila so pravzaprav zrcalna slika pozitivnih števil z dodatnim znakom minus (-).

Lastnosti realnih števil

Zaprtost za osnovne operacije: Realna števila so zaprta za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje (razen deljenja z ničlo). To pomeni, da je vsota, razlika, produkt ali količnik (če delitelj ni nič) dveh realnih števil spet realno število.
Red: Realna števila so urejena množica — med dvema različnima realnima številoma je vedno mogoče določiti, katero je manjše in katero večje.
Gostost: Med katerima koli dvema realnima številoma vedno obstaja drugo realno število (na primer njuna aritmetična sredina). Zato med realnimi števili ni praznih prostorov.
Polnost (kompletnost): Realna števila imajo lastnost najmanjšega zgornjega roba (supremum): vsaka neprazen in zgoraj omejen podmnožica realnih števil ima supremum v realnih številih. Ta lastnost razlikuje realna od racionalnih števil.
Arhimedova lastnost: Za vsaki pozitivni realni števili a in b obstaja naravno število n, tako da n·a > b. To pomeni, da naravna števila niso omejena z realnimi številkami.
Ni najmanjšega ali največjega števila: Ni najmanjšega ali največjega realnega števila — za katerokoli realno število x velja, da sta x-1 in x+1 tudi realni in izven ekstremov.
Kardinalnost: Množica realnih števil je neštevna (unumerable). To pomeni, da realnih števil ni mogoče razvrstiti v popolno zaporedje z enolično povezavo na naravna števila — njihov "štev" (moč) je večji od moči množice celih ali racionalnih števil (ta moč se imenuje kontinuum).

Decimalna predstavitev

Vsako realno število ima decimalno predstavitev:

racionalna števila imajo decimalko, ki je končna ali periodična (ponavljajoča se),
iracionalna števila imajo decimalno predstavitev, ki je neskončna in neperiodična.

Decimalna predstavitev ni vedno enolična (npr. 1.000... = 0.999...), vendar obe predstavitvi opisujeta isto realno število.

Algebraične in topološke lastnosti

Polje: Realna števila z običajnimi operacijami tvorijo polje — vseh štiri osnovnih računskih operacij se lahko izvede znotraj množice (razen deljenja z 0).
Urejeno polje: Realna števila so tudi urejeno polje, kar pomeni, da urejenost in algebraične operacije medsebojno sovpadajo (če je a < b, potem a + c < b + c itd.).
Popolno urejeno polje: Realna števila so edino (do izomorfizma) polje, ki je hkrati urejeno in popolno; zato se pogosto definira kot "najmanjša popolna urejena razširitev racionalnih števil".
Metrična lastnost: Z uporabo absolutne vrednosti |x - y| definiramo običajno razdaljo med realnima številoma; pod tem metriskim prostorom so realna števila popoln metrični prostor.
Povezanost: V topološkem smislu so realna števila kot množica s standardno topologijo povezana (ni razdeljena na dve ločeni odprti množici) in linearno urejena.

Primeri

Racionalna števila: 5, -3, 1/2, 0.75 (končna decimalka), 0.333... (periodična)
Iracionalna števila: √2 ≈ 1.41421356..., π ≈ 3.14159265..., e ≈ 2.7182818...
Ničla (0) je realno število; prištevanje ničle ne spremeni števila. Pozitivna in negativna realna števila med seboj tvorijo simetrijo z znakom minus.

Primerjave z drugimi vrstami števil

Cela števila: Vsako celo število je realno število, a ne obratno (na primer 1/2 ni celo). Cela števila so števna.
Racionalna števila: Vsa racionalna števila so v realnih številih; racionalnih je števno mnogo, realnih pa neštevno mnogo.
Kompleksna števila: Kompleksna števila (kompleksna števila) razširijo realna števila z vključitvijo imaginarne enote i. Vsako realno število je tudi kompleksno (z ničelno imaginarno komponento), vendar kompleksna števila v splošnem niso realna (če imajo nenicelno imaginarno vrednost).

Zaključek

Realna števila tvorijo temelj množičnih števskih sistemov in so ključna v matematiki, fiziki in inženirstvu. Njihove pomembne lastnosti — gostost, zaprtost za osnovne operacije in popolnost — jih ločijo od drugih množic števil (kot so racionalna ali cela števila) in omogočajo natančno definicijo pojmov kot so meje, kontinuiteta in integralni račun.

Različne vrste realnih števil

Obstajajo različne vrste realnih števil. Včasih ne govorimo o vseh realnih številih naenkrat. Včasih se govori le o posebnih, manjših nizih. Te množice imajo posebna imena. To so:

Naravna števila: To so realna števila, ki nimajo decimalnih števil in so večja od nič.
Cela števila: To so pozitivna realna števila, ki nimajo decimalnih števil in tudi nič. Tudi naravna števila so cela števila.
Celoštevilske vrednosti: To so realna števila brez decimalnih števil. Vključujejo tako pozitivna kot negativna števila. Cela števila so tudi cela števila.
Racionalna števila: To so realna števila, ki jih lahko zapišemo kot deleže celih števil. Tudi cela števila so racionalna števila.
Transcendentnih števil ne moremo dobiti z reševanjem enačbe s celoštevilskimi sestavinami.
Iracionalna števila: To so realna števila, ki jih ni mogoče zapisati kot delež celih števil. Transcendentna števila so prav tako iracionalna.

Število 0 (nič) je posebno. Včasih ga obravnavamo kot del podmnožice, drugič pa ne. Je element identitete za seštevanje in odštevanje. To pomeni, da dodajanje ali odvzemanje ničle ne spremeni prvotnega števila. Pri množenju in deljenju je identitetni element 1.

Realno število, ki ni racionalno, je 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . To število je iracionalno. Če narišemo kvadrat, katerega stranice so dolge eno enoto, bo dolžina črte med nasprotnima vogaloma 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}. ${\sqrt {2}}$ .

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je realno število?

O: Realno število je vsako racionalno ali iracionalno število, ki ga je mogoče izraziti z decimalniškim razvojem. To je najpogostejša vrsta števila, na katero se ljudje sklicujejo, ko rečejo "število".

V: Kateri simbol predstavlja realna števila?

O: Uradni simbol za realna števila je krepki R ali krepki R na tabli {\displaystyle \mathbb {R} } .

V: Kako se razlikujeta pozitivna in negativna števila?

O: Pozitivna števila so "večja od nič", medtem ko so negativna števila "manjša od nič" in so jim dodani znaki minus (-), da jih lahko označimo drugače kot pozitivna števila.

V: Ali je realnih števil več kot celih števil?

O: Da, realnih števil je neskončno veliko, medtem ko je celih števil mogoče šteti. To pomeni, da čeprav je neskončno veliko obeh vrst števil, je realnih števil še vedno več kot celih števil.

V: Ali so vsa kompleksna števila tudi realna števila?

O: Ne, vsako realno število je kompleksno število, vendar ni vsako kompleksno število realno število. Podobno je 3/7 racionalno število, vendar ni celo število.

V: Ali je mogoče vsa realna števila razvrstiti v zaporedje?

O: Ne, ker je množica vseh realnih števil neštetih, kar pomeni, da ne glede na to, kako dolgo je zaporedje, bo vedno izpuščeno vsaj eno od njih.