Kompleksno število
Kompleksno število je število, vendar se od običajnih števil razlikuje na več načinov. Kompleksno število je sestavljeno iz dveh kombiniranih števil. Prvi del je realno število. Drugi del kompleksnega števila je imaginarno število. Najpomembnejše imaginarno število se imenuje i {\displaystyle i}
, ki je definirano kot število, ki bo ob kvadratu enako -1 ("kvadrat" pomeni "pomnoženo s samim seboj"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\krat i=-1\ } 
. Vsa druga imaginarna števila so i {\displaystyle i}, pomnožena z realnim številom, tako kot si lahko vsa realna števila predstavljamo kot 1, pomnoženo z drugim številom. Aritmetične funkcije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, se lahko uporabljajo s kompleksnimi števili. Prav tako imajo komutativne, asociativne in distributivne lastnosti, tako kot realna števila.
Kompleksna števila so odkrili, ko so poskušali rešiti posebne enačbe, v katerih so eksponenti. Te so matematikom začele povzročati resnične težave. Za primerjavo: z negativnimi števili je mogoče najti x v enačbi a + x = b {\displaystyle a+x=b}
za vse realne vrednosti a in b, če pa so za x dovoljena samo pozitivna števila, je včasih nemogoče najti pozitiven x, kot v enačbi 3 + x = 1.
Pri eksponentnem računanju je treba premagati težavo. Ni realnega števila, ki bi ob kvadratu dalo -1. Z drugimi besedami, -1 (ali katero koli drugo negativno število) nima realnega kvadratnega korena. Na primer, ni realnega števila x {\displaystyle x}
, ki bi reševalo ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Za rešitev tega problema so matematiki uvedli simbol i in ga poimenovali imaginarno število. To je imaginarno število, ki bo ob kvadratu dalo -1.
Prva matematika, ki sta se tega domislila, sta bila verjetno Gerolamo Cardano in Raffaele Bombelli. Živela sta v 16. stoletju. Verjetno je bil Leonhard Euler tisti, ki je uvedel pisanje i {\displaystyle \mathrm {i} }
za to število.
Vsa kompleksna števila lahko zapišemo kot a + b i {\displaystyle a+bi} 
(ali a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kjer a imenujemo realni del števila, b pa imaginarni del. Zapišemo ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
ali Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
za realni del kompleksnega števila z {\displaystyle z}
. Če je torej z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, zapišemo a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. Podobno zapišemo ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
ali Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
za imaginarni del kompleksnega števila z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
Vsako realno število je tudi kompleksno število; to je kompleksno število z z ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Kompleksno število lahko zapišemo tudi kot urejen par (a, b). Tako a kot b sta realni števili. Vsako realno število lahko preprosto zapišemo kot a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
ali kot par (a, 0).
Včasih je namesto i {\displaystyle i} zapisano j {\displaystyle j}
. V elektrotehniki i {\displaystyle i} pomeni električni tok. Pisanje i {\displaystyle i} lahko povzroči veliko težav, saj so nekatera števila v elektrotehniki kompleksna števila.
Množico vseh kompleksnih števil običajno zapišemo kot C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operacije nad kompleksnimi števili
S kompleksnimi števili so mogoči seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, če delitelj ni nič, in eksponentnost (povečanje števil v eksponent). S kompleksnimi števili je mogoče izvesti tudi nekatere druge izračune.
Pravilo za seštevanje in odštevanje kompleksnih števil je zelo preprosto:
Naj bo z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
potem z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, in z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Z množenjem je nekoliko drugače:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Druga pomembna operacija za kompleksna števila je konjugacija. Kompleksni konjugat z¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
do z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} je a - b i {\displaystyle a-bi}
. To je precej preprosto, vendar je pomembno za izračune, saj z × z ž {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
pripada realnim številom za vse kompleksne z {\displaystyle z} :
z z ž = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} 
.
To lahko uporabimo za deljenje:
1 z = z ž z z ž = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Druge oblike opisovanja kompleksnih števil
Kompleksna števila lahko prikažemo na tako imenovani kompleksni ravnini. Če imamo število z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , lahko gremo v točko na realni osi in v točko b na imaginarni osi ter narišemo vektor od ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
do ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Dolžino tega vektorja lahko izračunamo s Pitagorovim izrekom in kotom med pozitivno realno osjo in tem vektorjem v smeri proti urnemu kazalcu. Dolžina vektorja za število z {\displaystyle z} se imenuje njegov modul (zapisano kot | z | {\displaystyle |z|}
), kot pa njegov argument ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
To vodi do trigonometrične oblike opisa kompleksnih števil: z definicijama sinusa in kosinusa za vse z {\displaystyle z} velja, da
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
To je tesno povezano z De Moivrovo formulo.
Obstaja še ena oblika, imenovana eksponentnaoblika.
Kompleksno število lahko vizualno prikažemo kot dve števili, ki tvorita vektor na Argandovem diagramu, ki predstavlja kompleksno ravnino.
Zaključek
Z dodajanjem kompleksnih števil v matematiko ima vsak polinom s kompleksnimi koeficienti korenine, ki so kompleksna števila. Uspešen dodatek kompleksnih števil k matematiki je pomagal odpreti tudi pot za nastanek drugih vrst števil, ki bi lahko rešile in pomagale razložiti veliko različnih problemov, na primer: hiperkompleksna števila, sedenion, hiperrealna števila, nadrealna števila in številna druga. Oglejte si vrste števil.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je kompleksno število?
O: Kompleksno število je število, sestavljeno iz dveh delov, pri čemer je prvi del realno število, drugi del pa imaginarno število.
V: Katero je najpomembnejše imaginarno število?
O: Najpomembnejše imaginarno število se imenuje i, ki je definirano kot število, ki bo v kvadratu enako -1.
V: Kako se aritmetične funkcije uporabljajo pri kompleksnih številih?
O: Aritmetične funkcije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, se lahko uporabljajo s kompleksnimi števili. Prav tako imajo komutativne, asociativne in distributivne lastnosti kot realna števila.
V: Kateri simbol predstavlja množico kompleksnih števil?
O: Množica kompleksnih števil se pogosto predstavlja s simbolom C.
V: Zakaj so odkrili kompleksna števila?
O: Kompleksna števila so odkrili, ko so poskušali rešiti posebne enačbe, ki imajo v sebi eksponente, saj so matematikom predstavljala resnične težave.
V: Kdo je uvedel pisanje i za to vrsto števil?
O: Verjetno je bil Leonhard Euler tisti, ki je uvedel pisanje i za to vrsto števila.
V: Kako lahko kompleksno število zapišemo kot urejen par?
A: Kompleksno število lahko zapišemo kot urejen par (a, b), kjer sta a in b realni števili.
