Kompleksno število – definicija, zapis a+bi, realni in imaginarni del
Kompleksno število je razširitev običajnih (realnih) števil, ki omogoča reševanje enačb, kjer realna števila niso dovolj — na primer kvadratnih enačb z negativnim diskriminantom. Kompleksno število sestavljata dva dela: realni del in imaginarni del. Najpomembnejše imaginarno število označimo z i {\displaystyle i}
, ki je definirano tako, da je njegov kvadrat enak -1: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\krat i=-1\ } 
. Vsa druga imaginarna števila dobimo tako, da to imaginarno enoto pomnožimo z realnim številom.
Vsako kompleksno število lahko zapišemo v obliki a + b i {\displaystyle a+bi} 
(pogosto tudi kot a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), kjer sta a in b realni števili. Imenujemo ju:
- realni del: a = ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
ali Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
, - imaginarni del: b = ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
ali Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
.
Vsako realno število je tudi kompleksno število z imaginarno komponento 0 (ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
).
Osnovne aritmetične operacije
Kompleksna števila podpirajo vse osnovne aritmetične operacije — seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje — ter imajo komutativne, asociativne in distributivne lastnosti, podobno kot realna števila.
- Seštevanje: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
- Množenje: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Poseben primer: i·i = −1.
- Konjugirano število: če je z = a + bi, je kompleksno konjugirano število \u0305z = a − bi. Uporablja se pri deljenju in izračunu absolutne vrednosti.
- Deljenje: z / w (w ≠ 0) izvedemo tako, da števec in imenovalec pomnožimo s konjugatom imenovalca in poenostavimo.
Konjugat in modul
Definiramo konjugirano število z̄ = a − bi. Modul (dolžina v kompleksni ravnini) kompleksnega števila z = a + bi je |z| = sqrt(a² + b²). Uporaba konjugata in modula:
- |z|² = z·z̄ = a² + b².
- Deljenje z/w = (z·w̄) / |w|².
Polarni zapis in Eulerjeva formula
Kompleksno število z lahko tudi predstavimo v polarni (trigonometrski) obliki z = r(cos θ + i sin θ), kjer je r = |z| in θ argument (kot). S pomočjo Eulerjeve formule zapišemo:
z = r e^{iθ} = r( cos θ + i sin θ ).
Ta oblika je zelo uporabna pri množenju in deljenju (modula se množi, koti se seštevajo/odštevajo) ter pri eksponentih in korenih kompleksnih števil.
Geometrijska predstavitev
Kompleksna števila lahko predstavimo kot točke v ravnini (tako imenovana Gaussova ali kompleksna ravnina): realna osa a na vodoravni osi in imaginarna osa b na navpični osi. Zato lahko kompleksno število zapišemo tudi kot urejen par (a, b), kjer sta a in b realni števili.
Zgodovina in notacija
Prve ideje o imaginarnih številih segajo v 16. stoletje; pomembna imena so bila Gerolamo Cardano in Raffaele Bombelli. Notacijo i {\displaystyle \mathrm {i} }
je verjetno populariziral Leonhard Euler.
V elektrotehniki se pogosto uporablja črka j {\displaystyle j}
namesto i {\displaystyle i}, ker i {\displaystyle i} označuje električni tok in bi lahko povzročalo zmedo pri brezskrbnem zapisovanju enačb.
Lastnosti in pomembne trditve
- Množico vseh kompleksnih števil običajno zapišemo kot C {\displaystyle \mathbb {C} }
. - Kompleksna števila tvorijo polje (field) in algebraično zaprt sistem: po osnovnem izreku algebre ima vsak nenavaden polinom s kompleksnimi koeficienti vsaj en kompleksni koren (Fundamental Theorem of Algebra).
- Pri reševanju kvadratnih enačb s negativnim diskriminantom natanko dobimo nerealne (kompleksne) korene, kar je bil tudi glavni motiv za uvedbo imaginarne enote.
Za praktično delo s kompleksnimi številkami se pogosto uporablja kombinacija kartičnih računskih pravil (seštevanje, množenje) in geometrijskih predstavitev (modul, argument, polarni zapis), kar omogoča elegantne rešitve pri analizi signalov, elektrotehniki, teoriji vibracij, kvantni mehaniki in številnih drugih področjih matematike in tehnike.
Operacije nad kompleksnimi števili
S kompleksnimi števili so mogoči seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, če delitelj ni nič, in eksponentnost (povečanje števil v eksponent). S kompleksnimi števili je mogoče izvesti tudi nekatere druge izračune.
Pravilo za seštevanje in odštevanje kompleksnih števil je zelo preprosto:
Naj bo z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
potem z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, in z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Z množenjem je nekoliko drugače:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Druga pomembna operacija za kompleksna števila je konjugacija. Kompleksni konjugat z¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
do z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
je a - b i {\displaystyle a-bi}
. To je precej preprosto, vendar je pomembno za izračune, saj z × z ž {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
pripada realnim številom za vse kompleksne z {\displaystyle z}
:
z z ž = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} 
.
To lahko uporabimo za deljenje:
1 z = z ž z z ž = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Druge oblike opisovanja kompleksnih števil
Kompleksna števila lahko prikažemo na tako imenovani kompleksni ravnini. Če imamo število z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , lahko gremo v točko na realni osi in v točko b na imaginarni osi ter narišemo vektor od ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
do ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Dolžino tega vektorja lahko izračunamo s Pitagorovim izrekom in kotom med pozitivno realno osjo in tem vektorjem v smeri proti urnemu kazalcu. Dolžina vektorja za število z {\displaystyle z} se imenuje njegov modul (zapisano kot | z | {\displaystyle |z|}
), kot pa njegov argument ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
To vodi do trigonometrične oblike opisa kompleksnih števil: z definicijama sinusa in kosinusa za vse z {\displaystyle z} velja, da
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
To je tesno povezano z De Moivrovo formulo.
Obstaja še ena oblika, imenovana eksponentnaoblika.
Kompleksno število lahko vizualno prikažemo kot dve števili, ki tvorita vektor na Argandovem diagramu, ki predstavlja kompleksno ravnino.
Zaključek
Z dodajanjem kompleksnih števil v matematiko ima vsak polinom s kompleksnimi koeficienti korenine, ki so kompleksna števila. Uspešen dodatek kompleksnih števil k matematiki je pomagal odpreti tudi pot za nastanek drugih vrst števil, ki bi lahko rešile in pomagale razložiti veliko različnih problemov, na primer: hiperkompleksna števila, sedenion, hiperrealna števila, nadrealna števila in številna druga. Oglejte si vrste števil.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je kompleksno število?
O: Kompleksno število je število, sestavljeno iz dveh delov, pri čemer je prvi del realno število, drugi del pa imaginarno število.
V: Katero je najpomembnejše imaginarno število?
O: Najpomembnejše imaginarno število se imenuje i, ki je definirano kot število, ki bo v kvadratu enako -1.
V: Kako se aritmetične funkcije uporabljajo pri kompleksnih številih?
O: Aritmetične funkcije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, se lahko uporabljajo s kompleksnimi števili. Prav tako imajo komutativne, asociativne in distributivne lastnosti kot realna števila.
V: Kateri simbol predstavlja množico kompleksnih števil?
O: Množica kompleksnih števil se pogosto predstavlja s simbolom C.
V: Zakaj so odkrili kompleksna števila?
O: Kompleksna števila so odkrili, ko so poskušali rešiti posebne enačbe, ki imajo v sebi eksponente, saj so matematikom predstavljala resnične težave.
V: Kdo je uvedel pisanje i za to vrsto števil?
O: Verjetno je bil Leonhard Euler tisti, ki je uvedel pisanje i za to vrsto števila.
V: Kako lahko kompleksno število zapišemo kot urejen par?
A: Kompleksno število lahko zapišemo kot urejen par (a, b), kjer sta a in b realni števili.
