Imaginarna števila (i): definicija, lastnosti in uporabe

Razumite imaginarna števila i: definicija, lastnosti, množenje, geometrijska interpretacija in praktične uporabe v matematiki, fiziki in inženirstvu.

Imaginarna števila so števila, ki jih dobimo z množevanjem realnih števil z imaginarno enoto, običajno označeno z i, pri čemer velja

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}

Pomembno je poudariti, da so imaginarna števila drugačna od negativnih realnih števil: pri realnih številih ni števila, katerega kvadrat bi bil negativen (npr. 3*3 = 9 in -3 * -3 = 9), zato je kvadratni koren negativnega realnega števila v sklopu realnih števil ni definiran. Uvedba imaginarne enote i omogoči smiselno definicijo korena iz -1 in s tem korenov iz poljubnih negativnih števil (npr. sqrt(-9) = 3i).

Geometrijska interpretacija

Imaginarna števila je najlažje razumeti z geometrijsko predstavo v kompleksni ravnini (Gaussova ravnina): realna osa teče levo-desno (»vzhod–zahod«), imaginarna osa pa gor-dol (»sever–jug«). Poenostavljen primer z usmeritvami:

• "pojdi proti vzhodu za -1 miljo" = "pojdi proti zahodu za 1 miljo" (negativno realno število obrne smer);
• "pojdi na vzhod za i milje" je analogno "pojdi na sever za 1 miljo" (množenje z i premakne smer za 90°);
• "pojdi na vzhod za -i milje" je analogno "pojdi na jug za 1 miljo".

Takšna analogija pomaga razumeti seštevanje (vektorsko seštevanje realne in imaginarne komponente: npr. 1 + i pomeni eno enoto proti vzhodu in eno enoto proti severu) in množenje (množenje z i pomeni rotacijo za 90° v nasprotni smeri urinega kazalca; mnogo več o tem v nadaljevanju).

Osnovne lastnosti in računanje

Osnovne oblike:

• Čisto imaginarno število ima obliko bi, kjer je b realno število (b ≠ 0). Če je b = 0, dobimo število 0, ki je hkrati realno in imaginarno.
• Splošno kompleksno število ima obliko a + bi, pri čemer je a realni del, b pa imaginarni del (za več o tem glej kompleksna števila).

Računske operacije (na kratko):

• Seštevanje in odštevanje: delujeta komponentno, torej (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
• Množenje: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Posebej velja i·i = i^2 = −1, zato se pri množenju imaginarnih komponent pojavi negativen realni del.
• Delenje: delimo tako, da pomnožimo števec in imenovalec s konjugatom imenovalca; konjugat števila a + bi je a − bi.
• Modul (dolžina v kompleksni ravnini): |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2). Konjugat in modul sta uporabna pri deljenju in poenostavljanju izrazov.

Polarna oblika in Eulerjeva zveza

Vsako kompleksno število z modulom r in argumentom θ lahko zapišemo v polarni obliki r(cos θ + i sin θ). S pomočjo Eulerjeve zveze ta zapis zapišemo kraje:

e^{iθ} = cos θ + i sin θ,

torej je a + bi = r e^{iθ}. Ta zapis močno poenostavi množenje (množimo module in seštejemo kote) in definicijo potenc in korenov kompleksnih števil.

Primeri

• Kvadratni koren iz -9: sqrt(−9) = 3i, ker (3i)^2 = 9 i^2 = 9(−1) = −9.
• Množenje imaginarnih števil: (2i)(3i) = 6 i^2 = −6 — rezultat je realno negativno število.
• Rotacija z množenjem z i: i·1 = i (enota zavrte za 90°), i·i = −1 (še ena zavrt) in i·(−1) = −i (še ena zavrt), i·(−i) = 1 (spet ena zavrt).

Zgodovina in pomen imena

Podobno kot so negativna števila razširila pojem »števila« (da je mogoče reševati enačbe tipa 5 − 9), so imaginarna števila razširila možnosti reševanja enačb, kot so kvadratni koreni negativnih števil. Ime imaginarno iz 17.–18. stoletja izhaja iz prvotnega nezaupanja do teh količin; danes pa je jasno, da je i enako legitimna matematična konstrukcija kot katerokoli realno število.

Uporabe v znanosti in tehniki

Imaginarna in kompleksna števila se pogosto uporabljajo v številnih znanstvenih in inženirskih disciplinah:

• Elektrotehnika: pri analizi izmeničnih tokov (AC) in pri obravnavi impedanc; inženirji pogosto uporabljajo j namesto i, da se izognejo zamenjavi z oznako za električni tok.
• Signalna obdelava in Fourierjeva analiza: kompleksne eksponentne funkcije so osnova za razstavljanje signalov na frekvenčne komponente.
• Fizika, zlasti kvantna fizika in teorija polj: kompleksne amplitude in valovne funkcije temeljno uporabljajo imaginarno enoto.
• Nadzorni sistemi, telekomunikacije, mehanika, hidrodinamika in številne druge veje matematike in fizike redno uporabljajo imaginarna števila pri reševanju diferencialnih enačb in modeliranju.

Povzetek

Imaginarna števila razširijo sistem realnih števil in omogočijo reševanje enačb, ki niso rešljive z realnimi števili. V kombinaciji z realnimi tvorijo kompleksna števila (a + bi), ki jih je mogoče obravnavati geometrijsko v kompleksni ravnini ali analitično s pomočjo polarnih predstav in Eulerjeve zveze. Čeprav so bila sprva dojeta kot »nenavadna«, so danes imaginarna in kompleksna števila ključna orodja v matematiki, fiziki in inženirstvu.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je imaginarno število?

V: Kako se imaginarna števila razlikujejo od negativnih realnih števil?

V: Kaj pomeni, ko rečemo "pojdi proti vzhodu za -i milje"?

V: Kako seštejemo dve namišljeni števili?

V: Kaj so kompleksna števila?

V: Na katerih področjih matematiki uporabljajo pojem imaginarne enote?

Išči po črki