Imaginarna enota

V matematiki so imaginarne enote ali i števila, ki jih lahko predstavimo z enačbami, vendar se nanašajo na vrednosti, ki v resničnem življenju ne morejo fizično obstajati. Matematična definicija imaginarne enote je i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ ki ima lastnost i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\krat i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Razlog, zakaj je bil ustvarjen, je bil odgovor na polinomsko enačbo x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , ki običajno nima rešitve, saj bi morala biti vrednost x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ enaka -1. Čeprav je problem rešljiv, kvadratnega korena -1 v resničnem življenju ni mogoče predstaviti s fizikalno količino katerega koli predmeta.

Kvadratni koren iz i

Včasih se domneva, da je treba za kvadratni koren iz i ustvariti še eno število, vendar to ni potrebno. Kvadratni koren števila i lahko zapišemo kot: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
To lahko prikažemo kot:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\levo(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\desno)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Moči i

Pooblastila i imajo predvidljiv vzorec:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

To lahko pokažemo z naslednjim vzorcem, kjer je n poljubno celo število:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Sorodne strani

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je imaginarna enota?

O: Imaginarna enota je vrednost števila, ki obstaja samo zunaj realnih števil in se uporablja v algebri.

V: Kako uporabljamo imaginarno enoto?

O: Imaginarno enoto pomnožimo z realnim številom, da dobimo imaginarno število.

V: Za kaj se uporabljajo imaginarna števila?

O: Imaginarna števila lahko uporabimo za reševanje številnih matematičnih problemov.

V: Ali lahko imaginarno število predstavimo z realnimi predmeti?

O: Ne, namišljenega števila ne moremo predstaviti s stvarnimi predmeti.

V: Od kod izvira imaginarna enota?

O: Imaginarna enota izhaja iz matematike in algebre.

V: Ali je imaginarna enota del realnih števil?

O: Ne, obstaja zunaj področja realnih števil.

V: Kako izračunamo imaginarno število? O: Imaginarno število izračunamo tako, da realno število pomnožimo z imaginarno enoto.