Imaginarna enota

V matematiki so imaginarne enote ali i števila, ki jih lahko predstavimo z enačbami, vendar se nanašajo na vrednosti, ki v resničnem življenju ne morejo fizično obstajati. Matematična definicija imaginarne enote je i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}ki ima lastnost i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\krat i=i^{2}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} .

Razlog, zakaj je bil ustvarjen, je bil odgovor na polinomsko enačbo x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}, ki običajno nima rešitve, saj bi morala biti vrednost x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} enaka -1. Čeprav je problem rešljiv, kvadratnega korena -1 v resničnem življenju ni mogoče predstaviti s fizikalno količino katerega koli predmeta.

Sorodne strani

Moči i

Pooblastila i imajo predvidljiv vzorec:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} {\displaystyle i^{-3}=i}

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} {\displaystyle i^{-2}=-1}

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} {\displaystyle i^{-1}=-i}

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} {\displaystyle i^{0}=1}

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} {\displaystyle i^{1}=i}

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} {\displaystyle i^{6}=-1}

To lahko pokažemo z naslednjim vzorcem, kjer je n poljubno celo število:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Kvadratni koren iz i

Včasih se domneva, da je treba za kvadratni koren iz i ustvariti še eno število, vendar to ni potrebno. Kvadratni koren števila i lahko zapišemo kot: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} .
To lahko prikažemo kot:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }

= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\levo(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\desno)^{2}(1+i)^{2}\ } {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }

= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ }

= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ }

= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }

= i {\displaystyle =i\ } {\displaystyle =i\ }




AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3