Imaginarna enota i — definicija, lastnosti in primeri

Vse o imaginarni enoti i: jasna definicija, ključne lastnosti, praktični primeri in uporaba v kompleksnih številih — razumljivo in hitro.

Avtor: Leandro Alegsa

08-11-2025 20:08

V matematiki je imaginarna enota označena z i — to je število, ki ga ni mogoče izraziti z nobenim realnim številom, a ga uporabimo za reševanje enačb, kjer realne rešitve ne obstajajo. Matematična definicija imaginarne enote je i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ in ima osnovno lastnost i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\krat i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Zakaj je imaginarna enota uvedena

Imaginarna enota je bila uvedena kot odgovor na polinomsko enačbo x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , ki v sklopu realnih števil običajno nima rešitve, saj bi moralo biti x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ enako -1. Uvedba imaginarne enote dovoljuje rešitvi x = ±i, čeprav kvadratnega korena iz -1 ni mogoče prikazati kot fizično količino v realnem svetu.

Osnovne lastnosti

Kvadrat: i2 = -1.
Potence: potence imaginarne enote se ponavljajo v ciklu štirih:
- i1 = i
- i2 = -1
- i3 = i2·i = -i
- i4 = 1
- in nato se vzorec ponavlja: i5 = i, itd.
Kompleksna števila: katero koli kompleksno število zapišemo kot z = a + bi, kjer sta a (realni del) in b (imaginarni del) realni števili.
Konjugirano število: konjugat kompleksnega števila z = a + bi je \u200ba - bi. Pomaga pri deljenju in računskih poenostavitvah.
Modul (absolutna vrednost): |z| = sqrt(a2 + b2). Modul predstavlja razdaljo točke (a, b) do izhodišča na kompleksni ravnini.

Predstavljanje na kompleksni ravnini

Kompleksno število z = a + bi lahko predstavljamo kot točko ali vektor v ravnini, kjer je vodoravna os realna os, navpična pa imaginarna os. Poleg kartezičnega zapisa (a + bi) se pogosto uporablja tudi polarni zapis z = r(cos θ + i sin θ), kjer je r = |z|, θ pa argument (kot) števila. Eulerjeva formula povezuje eksponentni in trigonometrski zapis: e^{iθ} = cos θ + i sin θ, kar je uporabno pri analizi nihanj in valov.

Primeri računov

Rešitev enačbe x2 + 1 = 0: x = ±i.
i3 = i2·i = -1·i = -i.
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1.
Za z = 3 + 4i je konjugat z̄ = 3 - 4i, modul pa |z| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5.
Deljenje: (1 + i) / (1 - i) = ((1 + i)(1 + i)) / ((1 - i)(1 + i)) = (1 + 2i + i2)/(1 - i2) = (1 + 2i - 1)/(1 + 1) = (2i)/2 = i.

Uporaba imaginarnih enot

Čeprav imaginarna enota ni "fizična" v smislu merljive množine, je izjemno uporabna v praktičnih disciplinah:

Elektrotehnika: pri obravnavi izmeničnega toka in fazorjev.
Signalna obdelava in telekomunikacije: za opis frekvenčnih komponent in filtriranje.
Fizika: v kvantni mehaniki, valovnih enačbah in pri reševanju diferencialnih enačb.
Matematika: poenostavlja reševanje polinomskih enačb, transformacije in analiza sistemov.

Imaginarna enota torej razširi sistem števil iz realnih v kompleksna števila in omogoča elegantne rešitve ter modele v številnih znanstvenih in inženirskih področjih.

Kvadratni koren iz i

Včasih se domneva, da je treba za kvadratni koren iz i ustvariti še eno število, vendar to ni potrebno. Kvadratni koren števila i lahko zapišemo kot: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
To lahko prikažemo kot:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\levo(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\desno)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Moči i

Pooblastila i imajo predvidljiv vzorec:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

To lahko pokažemo z naslednjim vzorcem, kjer je n poljubno celo število:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Sorodne strani

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je imaginarna enota?

O: Imaginarna enota je vrednost števila, ki obstaja samo zunaj realnih števil in se uporablja v algebri.

V: Kako uporabljamo imaginarno enoto?

O: Imaginarno enoto pomnožimo z realnim številom, da dobimo imaginarno število.

V: Za kaj se uporabljajo imaginarna števila?

O: Imaginarna števila lahko uporabimo za reševanje številnih matematičnih problemov.

V: Ali lahko imaginarno število predstavimo z realnimi predmeti?

O: Ne, namišljenega števila ne moremo predstaviti s stvarnimi predmeti.

V: Od kod izvira imaginarna enota?

O: Imaginarna enota izhaja iz matematike in algebre.

V: Ali je imaginarna enota del realnih števil?

O: Ne, obstaja zunaj področja realnih števil.

V: Kako izračunamo imaginarno število? O: Imaginarno število izračunamo tako, da realno število pomnožimo z imaginarno enoto.

Iskati