Potenciranje

Eksponentnost (moč) je aritmetična operacija s števili. Je ponavljajoče se množenje, tako kot je množenje ponavljajoče se seštevanje. Eksponentnost pišemo z zgornjim indeksom. To izgleda takole: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . V preteklosti so se uporabljali tudi drugi načini matematičnega zapisa. Pri pisanju z opremo, ki ne more uporabljati zgornjega indeksa, so ljudje zapisovali moči z znakom ^ ali **, tako da 2^3 ali 2**3 pomeni 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Število x {\displaystyle x} se imenuje osnova, število y {\displaystyle y} pa eksponent. Na primer, v 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ je 2 osnova, 3 pa eksponent.

Za izračun 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ je treba število 2 trikrat pomnožiti s samim seboj. Torej 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Rezultat je 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Enačbo lahko glasno preberemo takole: 2, povečano na moč 3, je enako 8.

Primeri:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ za vsako število x

Če je eksponent enak 2, se moč imenuje kvadrat, saj se površina kvadrata izračuna z 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Torej

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ je kvadrat x {\displaystyle x}

Če je eksponent enak 3, se moč imenuje kocka, ker se prostornina kocke izračuna z uporabo 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Torej

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ je kocka x {\displaystyle x}

Če je eksponent enak -1, mora oseba izračunati obratno vrednost osnove. Torej

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Če je eksponent celo število in je manjši od 0, mora oseba obrniti število in izračunati moč. Na primer:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\levo({\frac {1}{2}}}desno)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Če je eksponent enak 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ , potem je rezultat eksponentnega števila kvadratni koren osnove. Torej x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Primer:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Podobno, če je eksponent 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , je rezultat n-ti koren, torej:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Če je eksponent racionalno število p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ , potem je rezultat q-ti koren osnove, dvignjen na moč p, torej:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponent morda sploh ni racionalen. Če želimo osnovo a dvigniti na iracionalno x-to moč, uporabimo neskončno zaporedje racionalnih števil (xi), katerega meja je x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

kot je ta:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Obstaja nekaj pravil, ki pomagajo pri izračunu moči:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Izračunati je mogoče eksponentnost matrik. Matrika mora biti kvadratna. Na primer: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Komutativnost

Tako seštevanje kot množenje sta komutativna. Na primer, 2+3 je enako 3+2; 2 - 3 je enako 3 - 2. Čeprav je eksponentno množenje ponovljeno množenje, ni komutativno. Na primer, 2³=8, 3²=9.

Inverzne operacije

Seštevanje ima obratno operacijo: odštevanje. Tudi množenje ima eno obratno operacijo: deljenje.

Vendar ima eksponentnost dve obratni operaciji: Koren in logaritem. To je tako, ker eksponentnost ni komutativna. To si lahko ogledate v tem primeru:

Če imate x+2=3, lahko z odštevanjem ugotovite, da je x=3-2. Enako je, če imamo 2+x=3: prav tako dobimo x=3-2. To je zato, ker je x+2 enako kot 2+x.
Če imamo x - 2=3, lahko z deljenjem ugotovimo, da je x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Enako je, če imamo 2 - x=3: prav tako dobimo x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . To je zato, ker je x - 2 enako kot 2 - x
Če imate x²=3, potem uporabite (kvadratni) koren, da ugotovite x: Dobimo rezultat x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Če pa imate ^2x=3, potem ne morete uporabiti korena za ugotovitev x. Namesto tega morate za ugotovitev x uporabiti (binarni) logaritem: Dobimo rezultat x=log2(3).

Sorodne strani

Eksponent

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je eksponentna funkcija?

O: Eksponentnost je aritmetična operacija s števili, ki si jo lahko predstavljamo kot večkratno množenje.

V: Kako se zapiše eksponentnost?

O: Eksponent se običajno zapiše kot x^y, kjer je x osnova, y pa eksponent. Lahko ga zapišemo tudi z znakom ^ ali **, na primer 2^4 ali 2**4.

V: Kateri so nekateri primeri eksponentnosti?

O: Primeri eksponentnosti so 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 za vsako število x; in 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

V: Kaj pomeni, če je eksponent enak -1?

O: Kadar je eksponent enak -1, je moč preprosto obratna vrednost osnove (x^(-1) = 1/x).

V: Kako izračunamo iracionalno moč osnove?

O: Da bi osnovo a dvignili na iracionalno x-to moč, uporabimo neskončno zaporedje racionalnih števil (xn), katerega meja je x (a^x = lim n->neskončnost a^(x_n)).

V: Ali obstajajo pravila, ki olajšajo računanje eksponentov?

O: Da, obstaja več pravil, ki olajšajo računanje eksponentov. Med njimi so (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s = a ^ (r + s); in tako naprej.