Potenciranje (eksponentnost): definicija, lastnosti in primeri

Eksponentnost (tudi moč) je aritmetična operacija na številih, ki pomeni ponavljajoče se množenje — podobno kot je množenje ponavljajoče se seštevanje. Eksponentnost običajno zapišemo z zgornjim indeksom. Na primer:

x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ .

Osnova in eksponent

V zapisu x^{y} je osnova število x in eksponent število y. (Slike z označenimi simboli so v izvirnem zapisu.) Na primer, v 2^{3} je 2 osnova, 3 pa eksponent: $2^{3}$ .

Kako poteka računanje

Če je eksponent pozitiven celo število, pomeni množenje osnove s samim sabo tolikokrat, kot je eksponent. Tako je:

Za izračun 2^{3} je treba število 2 trikrat pomnožiti s samim seboj. Torej

2^{3}=2\cdot 2\cdot 2 $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ ,

kar da rezultat 2\cdot 2\cdot 2=8 $2\cdot 2\cdot 2=8$ .

Primeri

$5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$ (5^3 = 125)
$x^{2}=x\cdot {}x$ (x^2 = x · x)
$1^{x}=1$ (1^x = 1 za vsako število x)

Kvadrat, kocka in poimenovanja

Če je eksponent enak 2, govorimo o kvadratu števila. Primer v geometriji: površina kvadrata s stranico a je a^{2} $a^{2}$ . Tako je $x^{2}$ kvadrat x.

Če je eksponent enak 3, govorimo o kocki. Prostornina kocke s stranico a je $a^{3}$ , torej je $x^{3}$ kocka x.

Negativni in ulomni eksponenti

Negativni eksponent pomeni obratno vrednost. Za vsak a ≠ 0 velja:

$x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Primer s celim negativnim eksponentom:

$2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Ulomni eksponent p/q pomeni q-ti koren osnove, dvignjen na moč p:

Če je eksponent ${\frac {1}{2}}$ , dobimo kvadratni koren:

$x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$

Primer: $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Splošno velja za racionalni eksponent p/q:

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

in za n-ti koren:

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Eksponent z iracionalnim številom

Če je eksponent iracionalno število x, ga pogosto definiramo kot mejno vrednost zaporedja racionalnih eksponentov x_n → x:

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

in nato

$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Pogosto uporabna enakačna povezava za realne osnove a>0 in realne eksponente x je:

a^{x} = e^{x\ln a},

kar omogoča enostavno razširitev lastnosti (npr. zveznost, odvedljivost). Iz tega sledi tudi, da je odvod po x:

d/dx (a^{x}) = a^{x}\ln a (za a>0).

Osnovna pravila in lastnosti

Pri računanju moči veljajo naslednja splošna pravila (zapisi z ohranjenimi formulami):

$\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$ (produkt potenc)
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$ (razmerje potenc)
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$ (množenje istih baz)
${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$ (deljenje istih baz)
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$ (negativni eksponent)
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$ (potenca potence)
$a^{0}=1$ (vsako število, različnega od 0, na moč 0 je 1)

Domena in opombe

Če je osnova pozitivna (a>0), je funkcija a^{x} dobro definirana za vse realne x (prek e^{x ln a}).
Če je osnova negativna, potem so potence z racionalnim eksponentom lahko definirane le za določene ulomke (odvisno od imenovalca); pri iracionalnih eksponentih običajno nimamo realnega rezultata.
Za celoštevilne eksponente je potenca definirana tudi za a=0 (0^{n}=0 za n>0), medtem ko je 0^{0} pogosto nerazrešena ali posebna konvencija.
Pri delu s kompleksnimi številkami je potenciranje splošneje definirano in zahteva dodatna pravila (vektorski koti, veje logaritma ipd.).

Potenciranje matrik

Potenciranje je mogoče tudi za matrike, vendar mora biti matrika kvadratna. Pri integernih eksponentih pomeni množenje matrike s samo seboj tolikokrat, kolikor je eksponent. Na primer za identično matriko I velja:

I^{2}=I\cdot I=I $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Pri matrikah so možne tudi definicije z uporabo diagonalizacije ali Jordanove oblike za racionalne in realne eksponente, kadar je to smiselno.

Zaključek

Potenciranje je osnovna matematična operacija s široko uporabo v aritmetiki, algebri, geometriji in analizah. Razumevanje pravil delovanja (produkt, kvadratni in n-ti koreni, negativni eksponenti in povezava z eksponentno funkcijo ter logaritmi) omogoča varen in učinkovit račun v številnih področjih matematike in aplikacijah.

Komutativnost

Tako seštevanje kot množenje sta komutativna. Na primer, 2+3 je enako 3+2; 2 - 3 je enako 3 - 2. Čeprav je eksponentno množenje ponovljeno množenje, ni komutativno. Na primer, 2³=8, 3²=9.

Inverzne operacije

Seštevanje ima obratno operacijo: odštevanje. Tudi množenje ima eno obratno operacijo: deljenje.

Vendar ima eksponentnost dve obratni operaciji: Koren in logaritem. To je tako, ker eksponentnost ni komutativna. To si lahko ogledate v tem primeru:

Če imate x+2=3, lahko z odštevanjem ugotovite, da je x=3-2. Enako je, če imamo 2+x=3: prav tako dobimo x=3-2. To je zato, ker je x+2 enako kot 2+x.
Če imamo x - 2=3, lahko z deljenjem ugotovimo, da je x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Enako je, če imamo 2 - x=3: prav tako dobimo x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . To je zato, ker je x - 2 enako kot 2 - x
Če imate x²=3, potem uporabite (kvadratni) koren, da ugotovite x: Dobimo rezultat x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Če pa imate ^2x=3, potem ne morete uporabiti korena za ugotovitev x. Namesto tega morate za ugotovitev x uporabiti (binarni) logaritem: Dobimo rezultat x=log2(3).

Sorodne strani

Eksponent

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je eksponentna funkcija?

O: Eksponentnost je aritmetična operacija s števili, ki si jo lahko predstavljamo kot večkratno množenje.

V: Kako se zapiše eksponentnost?

O: Eksponent se običajno zapiše kot x^y, kjer je x osnova, y pa eksponent. Lahko ga zapišemo tudi z znakom ^ ali **, na primer 2^4 ali 2**4.

V: Kateri so nekateri primeri eksponentnosti?

O: Primeri eksponentnosti so 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 za vsako število x; in 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

V: Kaj pomeni, če je eksponent enak -1?

O: Kadar je eksponent enak -1, je moč preprosto obratna vrednost osnove (x^(-1) = 1/x).

V: Kako izračunamo iracionalno moč osnove?

O: Da bi osnovo a dvignili na iracionalno x-to moč, uporabimo neskončno zaporedje racionalnih števil (xn), katerega meja je x (a^x = lim n->neskončnost a^(x_n)).

V: Ali obstajajo pravila, ki olajšajo računanje eksponentov?

O: Da, obstaja več pravil, ki olajšajo računanje eksponentov. Med njimi so (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s = a ^ (r + s); in tako naprej.