N-ti koren (radikal): definicija, notacija in osnovne lastnosti

Jasen vodič po n-tem korenu: definicija, notacija, lastnosti, pretvorbe med koreni in potencami, pravila za produkt/kvocient ter praktični primeri za lažje razumevanje.

Avtor: Leandro Alegsa

05-12-2025 14:42

N-ti koren števila r je število, ki ga n-krat pomnožimo s samim seboj in dobimo število r. To število imenujemo tudi radikal ali radikalni izraz. Če je iskano število k, potem velja enakost kⁿ = r (to pomeni, da je k, pomnoženo samo s sabo n-krat, enako r).

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

Radikal običajno zapišemo z znakom korena: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Pri tem je

radikand število pod korenskim znakom (npr. r),
indeks n pove, kateremu korenu ustreza izraz (n = 2 pomeni kvadratni koren, n = 3 kubični koren ipd.),
radikalni znak (znak v obliki šahovnice ali kvačke) označuje operacijo korena.

Če je n enako 2, govorimo o kvadratnem korenu, če je 3, o kubičnem korenu itd. Primer:

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ ker 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ .

Osnovna opazovanja (realna števila)

Za realna števila je kvadratni koren (n = 2) opredeljen kot principalni (pozitivni) koren. Tako je npr. √9 = 3, čeprav je tudi −3 kvadratni koren 9 pri matematični enakosti k² = 9. Notacija √ pomeni vedno glavnega (nenegativnega) korena.
Če je indeks n sodo (n = 2, 4, 6, ...), potem radikand r ne sme biti negativen, če želimo realni rezultat. To pomeni, da ima n-ti koren (sodega n) realno vrednost samo, kadar r ≥ 0.
Če je indeks n liho (n = 1, 3, 5, ...), potem ima vsak realen radikand natanko en realen n-ti koren (vključno z negativnimi radikandi). Na primer, kubični koren iz −8 je −2.
Pri realnih številih izraz {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}} pri sodem n običajno pomeni |a| (ker korenski simbol vrne nenegativen rezultat), pri lihih n pa vrne a.

Razmerje med koreni in potencami

Koren lahko pretvorimo v potenco z racionalnim eksponentom. Velja:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

To pomeni, da lahko radikal zamenjamo z racionalno potenco x^{a/b}. Pri poenostavljanju je koristno poiskati največji skupni del (NSD) med a in b, da poenostavimo eksponent.

Osnovne algebraične lastnosti

Pri uporabi lastnosti radikalov moramo paziti na znake in področje veljavnosti (običajno za realna števila zahtevamo, da so radikandi nenegativni, kadar je indeks sodo število). Pomembne lastnosti so:

Lastnost produkta: za nenegativni a in b velja a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ . (Za sod index sta a in b običajno morali biti ≥ 0.)
Lastnost kvocienta: za nenegativni a in pozitivni b velja a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .
Potenciranje radikala: ({\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}})^{m}={\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}={\displaystyle a^{\frac{m}{n}}} (ob upoštevanju veljavnih pogojev za a in n).
Specifična opomba: {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}} = |a| za sodo n, ker korenski simbol označuje glavni (nenegativni) koren; za liho n pa {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}} = a.

Primeri in praktična uporaba

√9 = 3, ker je 3² = 9. (Glavni kvadratni koren.)
∛(−8) = −2, ker je (−2)³ = −8. (Pri lihih indeksih so negativni radikandi dovoljeni.)
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}} = 2}, ker je 2⁴ = 16.
Pretvorba: {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{2}}} = x^{2/3}}.

Polegno: poenostavljanje in racionalizacija

Pri poenostavljanju radikalov iščemo popolne potence pod korenom (npr. 16 = 2⁴) in jih potegnemo izpod korena. Pri ulomkih pogosto racionaliziramo imenovalec (odstranimo koren iz imenovalca) s primernim množenjem števca in imenovalca.

Opomba glede kompleksnih števil

Če dovolimo kompleksna števila, ima enačba kⁿ = r natanko n kompleksnih korenov (če upoštevamo multipliciteteto). Toda notacija radikalnega znaka ({\displaystyle {\sqrt[{n}]{\ }}}) običajno označuje le glavni (za realne podatke nenegativni) koren.

Za zaključek: n-ti koren je temeljna operacija sorodna potencam, z ustreznimi pravili za pretvorbo med radikali in racionalnimi eksponenti. Pri uporabi teh pravil bodite pozorni na pogoje, predvsem na to, ali je indeks sodo ali liho in ali delate v sklopu realnih ali kompleksnih števil.

To je y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . To je kubični koren.

To je graf za y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . To je kvadratni koren.

Poenostavitev

To je primer poenostavitve radikala.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Če sta dva radikala enaka, ju lahko združimo. To se zgodi, če sta oba indeksa in radikanda enaka.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Tako najdemo popoln kvadrat in racionaliziramo imenovalec.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {8x}{{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}krat {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}{x}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Sorodne strani

Racionalizacija (matematika)

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je n-ti koren?

O: N-ti koren števila r je število, ki, če ga n-krat pomnožimo s samim seboj, dobimo število r.

V: Kako se zapiše n-ti koren?

O: N-ti koren števila r zapišemo kot r^(1/n).

V: Kateri so nekateri primeri korenov?

O: Če je indeks (n) 2, potem je radikalni izraz kvadratni koren. Če je 3, je to kubični koren. Za druge vrednosti n uporabljamo vrstna števila, kot sta četrti koren in deseti koren.

V: Kaj pomeni lastnost produkta za radikalni izraz?

O: Produktna lastnost radikalnega izraza pravi, da je sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

V: Kaj pomeni lastnost kvocienta radikalnega izraza?

O: Količinska lastnost radikalnega izraza pravi, da sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), kjer b != 0.

V: Katere druge izraze lahko uporabimo za n-ti koren?

O: N-ti koren lahko imenujemo tudi radikal ali radikalni izraz.

Iskati