N-ti koren števila r je število, ki ga n-krat pomnožimo s samim seboj in dobimo število r. To število imenujemo tudi radikal ali radikalni izraz. Če je iskano število k, potem velja enakost kⁿ = r (to pomeni, da je k, pomnoženo samo s sabo n-krat, enako r).

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} {\displaystyle k^{n}=r}

Radikal običajno zapišemo z znakom korena: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}. Pri tem je

  • radikand število pod korenskim znakom (npr. r),
  • indeks n pove, kateremu korenu ustreza izraz (n = 2 pomeni kvadratni koren, n = 3 kubični koren ipd.),
  • radikalni znak (znak v obliki šahovnice ali kvačke) označuje operacijo korena.

Če je n enako 2, govorimo o kvadratnem korenu, če je 3, o kubičnem korenu itd. Primer:

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} ker 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}{\displaystyle 2^{3}=8}.

Osnovna opazovanja (realna števila)

  • Za realna števila je kvadratni koren (n = 2) opredeljen kot principalni (pozitivni) koren. Tako je npr. √9 = 3, čeprav je tudi −3 kvadratni koren 9 pri matematični enakosti k² = 9. Notacija √ pomeni vedno glavnega (nenegativnega) korena.
  • Če je indeks n sodo (n = 2, 4, 6, ...), potem radikand r ne sme biti negativen, če želimo realni rezultat. To pomeni, da ima n-ti koren (sodega n) realno vrednost samo, kadar r ≥ 0.
  • Če je indeks n liho (n = 1, 3, 5, ...), potem ima vsak realen radikand natanko en realen n-ti koren (vključno z negativnimi radikandi). Na primer, kubični koren iz −8 je −2.
  • Pri realnih številih izraz {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}} pri sodem n običajno pomeni |a| (ker korenski simbol vrne nenegativen rezultat), pri lihih n pa vrne a.

Razmerje med koreni in potencami

Koren lahko pretvorimo v potenco z racionalnim eksponentom. Velja:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}} {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

To pomeni, da lahko radikal zamenjamo z racionalno potenco x^{a/b}. Pri poenostavljanju je koristno poiskati največji skupni del (NSD) med a in b, da poenostavimo eksponent.

Osnovne algebraične lastnosti

Pri uporabi lastnosti radikalov moramo paziti na znake in področje veljavnosti (običajno za realna števila zahtevamo, da so radikandi nenegativni, kadar je indeks sodo število). Pomembne lastnosti so:

  • Lastnost produkta: za nenegativni a in b velja a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}. (Za sod index sta a in b običajno morali biti ≥ 0.)
  • Lastnost kvocienta: za nenegativni a in pozitivni b velja a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}.
  • Potenciranje radikala: ({\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}})^{m}={\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}={\displaystyle a^{\frac{m}{n}}} (ob upoštevanju veljavnih pogojev za a in n).
  • Specifična opomba: {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}} = |a| za sodo n, ker korenski simbol označuje glavni (nenegativni) koren; za liho n pa {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}} = a.

Primeri in praktična uporaba

  • √9 = 3, ker je 3² = 9. (Glavni kvadratni koren.)
  • ∛(−8) = −2, ker je (−2)³ = −8. (Pri lihih indeksih so negativni radikandi dovoljeni.)
  • {\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}} = 2}, ker je 2⁴ = 16.
  • Pretvorba: {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{2}}} = x^{2/3}}.

Polegno: poenostavljanje in racionalizacija

Pri poenostavljanju radikalov iščemo popolne potence pod korenom (npr. 16 = 2⁴) in jih potegnemo izpod korena. Pri ulomkih pogosto racionaliziramo imenovalec (odstranimo koren iz imenovalca) s primernim množenjem števca in imenovalca.

Opomba glede kompleksnih števil

Če dovolimo kompleksna števila, ima enačba kⁿ = r natanko n kompleksnih korenov (če upoštevamo multipliciteteto). Toda notacija radikalnega znaka ({\displaystyle {\sqrt[{n}]{\ }}}) običajno označuje le glavni (za realne podatke nenegativni) koren.

Za zaključek: n-ti koren je temeljna operacija sorodna potencam, z ustreznimi pravili za pretvorbo med radikali in racionalnimi eksponenti. Pri uporabi teh pravil bodite pozorni na pogoje, predvsem na to, ali je indeks sodo ali liho in ali delate v sklopu realnih ali kompleksnih števil.