Kvadratno število, včasih imenovano tudi popolni kvadrat, je rezultat množenja celega števila s samim seboj. 1, 4, 9, 16 in 25 je prvih pet kvadratnih števil. V formuli je kvadrat števila n označen kot n2 (eksponent), običajno se izgovarja kot "n kvadrat". Ime kvadratno število izvira iz imena oblike; glej spodaj.

Kvadratna števila so nenegativna. Drug način, kako reči, da je (nenegativno) število kvadratno število, je, da je njegov kvadratni koren spet celo število. Na primer, √9 = 3, zato je 9 kvadratno število.

Osnovni primeri in opombe

  • Prvih nekaj kvadratnih števil: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. (0 = 0² velja tudi kot kvadratno število.)
  • Kvadratnega števila ni mogoče dobiti z množenjem dveh različnih celih števili brez dodatnih pogojev — če sta si faktorja enaka (n × n), dobimo kvadrat.
  • Negativna števila imajo enak kvadrat kot njihovi pozitivni pari: (−n)² = n², zato so kvadratna števila vedno nenegativna.

Geometrijska razlaga

Ime "kvadratno" izvira iz geometrije: število n² predstavlja površino kvadrata s stranico dolžine n (če merimo v enoto površine, n mora biti celo število za diskretne primerke). Kvadratna števila lahko zamislimo tudi kot točke, razporejene v popolne kvadrate (n vrst po n točk).

Pomembne lastnosti

  • Razlika zaporednih kvadratov: n² − (n−1)² = 2n − 1. Zato je vsako zaporedno povečanje kvadratov enako zaporednemu zaporedju lihih števil.
  • Sestavljanje iz lihih števil: n² = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1). Tako je vsak kvadrat vsota prvih n lihih števil.
  • Faktoriranje razlike kvadratov: a² − b² = (a − b)(a + b). To je pogosto uporabno pri poenostavljanju izrazov in pri dokazih.
  • Modularne lastnosti: v modulu 4 so kvadratne vrednosti le 0 ali 1 (torej n² ≡ 0 ali 1 (mod 4)). V modulu 10 je lahko zadnja števka kvadrata le 0, 1, 4, 5, 6 ali 9.
  • Deljivost: če je n deljiv z nekim praštevilo p, potem je n² deljiv z p².
  • Kvadratna ostalost (kvadratni rezidui): za dano modul m so možne kvadratne vrednosti omejene; to je osnova teorije kvadratnih rezidua v elementarni teoriji števil.

Formule in identitete

  • n² = n × n (definicija)
  • (a ± b)² = a² ± 2ab + b² (razširjen kvadrat binoma)
  • n² − m² = (n − m)(n + m) (razlika kvadratov)
  • n² + (n+1)² = 2n² + 2n + 1 (seštevek zaporednih kvadratov — uporabno pri nekaterih izračunih)

Lastnosti glede parnosti in končne števke

  • Če je n sodo (n = 2k), potem je n² deljivo z 4 (n² = 4k²). Če je n liho, potem je n² ≡ 1 (mod 4).
  • Zaradi modularnih omejitev končna števka kvadratnega števila v desetiškem sistemu lahko znaša le 0, 1, 4, 5, 6 ali 9.

Uporabe in povezave

  • Kvadratna števila igrajo ključno vlogo v aritmetiki, algebri in teoriji števil (npr. pri diophantinskih enačbah, kvadratnih oblikah, Pitagorejskih trojicah).
  • V računalništvu se pogosto pojavljajo pri analizah kompleksnosti (npr. algoritemska kompleksnost O(n²)), pri geometrijskih izračunih in pri simulacijah mrež.
  • Povezava s trikotnimi številkami: vsota dveh zaporednih trikotnih števil je kvadrat (n-ti kvadrat = n-ti trikotnik + (n−1)-ti trikotnik + n).)

Primeri

  • 5² = 25, zato je 25 kvadratno število.
  • (−7)² = 49, torej 49 je kvadratno število kljub negativni osnovi.
  • 36 − 25 = 11 ni razlika dveh kvadratov z enakim razmerjem, vendar velja 36 − 25 = (6 − 5)(6 + 5) = 11.

Kaj niso kvadratna števila

Števila, kot so 2, 3, 6, 7, 8, 10 itd., niso kvadratna števila, saj njihovi kvadratni koreni niso cela števila. Takšna števila imenujemo nespolna kvadratna števil ali preprosto niso popolni kvadrati.

Če želite poglobiti znanje, se lahko preizkusite v dokazovanju zgornjih lastnosti (npr. dokaz, da je vsota prvih n lihih števil enaka n²) ali pri preiskovanju kvadratov v drugih modulih (npr. mod 3, mod 8) in pri študiju drugih specialnih oblik, kot so kubi ali kvadratne proste (squarefree) številke.