Kvadratna števila: definicija, lastnosti in primeri

Raziščite definicijo, lastnosti in jasne primere kvadratnih števil: nastanek, formule, vzorci, kvadratni koren in praktične naloge za hitro razumevanje.

Avtor: Leandro Alegsa

Kvadratno število, včasih imenovano tudi popolni kvadrat, je rezultat množenja celega števila s samim seboj. 1, 4, 9, 16 in 25 je prvih pet kvadratnih števil. V formuli je kvadrat števila n označen kot n2 (eksponent), običajno se izgovarja kot "n kvadrat". Ime kvadratno število izvira iz imena oblike; glej spodaj.

Kvadratna števila so nenegativna. Drug način, kako reči, da je (nenegativno) število kvadratno število, je, da je njegov kvadratni koren spet celo število. Na primer, √9 = 3, zato je 9 kvadratno število.

Osnovni primeri in opombe

  • Prvih nekaj kvadratnih števil: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. (0 = 0² velja tudi kot kvadratno število.)
  • Kvadratnega števila ni mogoče dobiti z množenjem dveh različnih celih števili brez dodatnih pogojev — če sta si faktorja enaka (n × n), dobimo kvadrat.
  • Negativna števila imajo enak kvadrat kot njihovi pozitivni pari: (−n)² = n², zato so kvadratna števila vedno nenegativna.

Geometrijska razlaga

Ime "kvadratno" izvira iz geometrije: število n² predstavlja površino kvadrata s stranico dolžine n (če merimo v enoto površine, n mora biti celo število za diskretne primerke). Kvadratna števila lahko zamislimo tudi kot točke, razporejene v popolne kvadrate (n vrst po n točk).

Pomembne lastnosti

  • Razlika zaporednih kvadratov: n² − (n−1)² = 2n − 1. Zato je vsako zaporedno povečanje kvadratov enako zaporednemu zaporedju lihih števil.
  • Sestavljanje iz lihih števil: n² = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1). Tako je vsak kvadrat vsota prvih n lihih števil.
  • Faktoriranje razlike kvadratov: a² − b² = (a − b)(a + b). To je pogosto uporabno pri poenostavljanju izrazov in pri dokazih.
  • Modularne lastnosti: v modulu 4 so kvadratne vrednosti le 0 ali 1 (torej n² ≡ 0 ali 1 (mod 4)). V modulu 10 je lahko zadnja števka kvadrata le 0, 1, 4, 5, 6 ali 9.
  • Deljivost: če je n deljiv z nekim praštevilo p, potem je n² deljiv z p².
  • Kvadratna ostalost (kvadratni rezidui): za dano modul m so možne kvadratne vrednosti omejene; to je osnova teorije kvadratnih rezidua v elementarni teoriji števil.

Formule in identitete

  • n² = n × n (definicija)
  • (a ± b)² = a² ± 2ab + b² (razširjen kvadrat binoma)
  • n² − m² = (n − m)(n + m) (razlika kvadratov)
  • n² + (n+1)² = 2n² + 2n + 1 (seštevek zaporednih kvadratov — uporabno pri nekaterih izračunih)

Lastnosti glede parnosti in končne števke

  • Če je n sodo (n = 2k), potem je n² deljivo z 4 (n² = 4k²). Če je n liho, potem je n² ≡ 1 (mod 4).
  • Zaradi modularnih omejitev končna števka kvadratnega števila v desetiškem sistemu lahko znaša le 0, 1, 4, 5, 6 ali 9.

Uporabe in povezave

  • Kvadratna števila igrajo ključno vlogo v aritmetiki, algebri in teoriji števil (npr. pri diophantinskih enačbah, kvadratnih oblikah, Pitagorejskih trojicah).
  • V računalništvu se pogosto pojavljajo pri analizah kompleksnosti (npr. algoritemska kompleksnost O(n²)), pri geometrijskih izračunih in pri simulacijah mrež.
  • Povezava s trikotnimi številkami: vsota dveh zaporednih trikotnih števil je kvadrat (n-ti kvadrat = n-ti trikotnik + (n−1)-ti trikotnik + n).)

Primeri

  • 5² = 25, zato je 25 kvadratno število.
  • (−7)² = 49, torej 49 je kvadratno število kljub negativni osnovi.
  • 36 − 25 = 11 ni razlika dveh kvadratov z enakim razmerjem, vendar velja 36 − 25 = (6 − 5)(6 + 5) = 11.

Kaj niso kvadratna števila

Števila, kot so 2, 3, 6, 7, 8, 10 itd., niso kvadratna števila, saj njihovi kvadratni koreni niso cela števila. Takšna števila imenujemo nespolna kvadratna števil ali preprosto niso popolni kvadrati.

Če želite poglobiti znanje, se lahko preizkusite v dokazovanju zgornjih lastnosti (npr. dokaz, da je vsota prvih n lihih števil enaka n²) ali pri preiskovanju kvadratov v drugih modulih (npr. mod 3, mod 8) in pri študiju drugih specialnih oblik, kot so kubi ali kvadratne proste (squarefree) številke.

Primeri

Kvadrati (zaporedje A000290 v OEIS), manjši od 702 , so:

02 =0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 =100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900

312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600

412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

522 = 2704

532 = 2809

542 = 2916

552 = 3025

562 = 3136

572 = 3249

582 = 3364

592 = 3481

602 = 3600

612 = 3721

622 = 3844

632 = 3969

642 = 4096

652 = 4225

662 = 4356

672 = 4489

682 = 4624

692 = 4761

Kvadratnih števil je neskončno veliko, tako kot je neskončno veliko naravnih števil.

Lastnosti

Število m je kvadratno število, če in samo če lahko sestavimo kvadrat iz m enakih (manjših) kvadratov:

m = 12 = 1

m = 22 = 4

m = 32 = 9

m = 42 = 16

m = 52 = 25

Opomba: Beli presledki med kvadratki so namenjeni le izboljšanju vidnega zaznavanja.
Med dejanskimi kvadrati ne sme biti presledkov.

Kvadrat s stranico dolžine n ima površino n2 .

Izraz za n-to kvadratno število je n2 . To je enako tudi vsoti prvih n lihih števil, kot je razvidno iz zgornjih slik, kjer kvadrat nastane iz prejšnjega z dodajanjem lihega števila točk (prikazano z magento). Enačba je naslednja:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

Tako na primer 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Kvadratno število se lahko konča le s števkami 0, 1, 4, 6, 9 ali 25 v osnovi 10, kot sledi:

  1. Če je zadnja števka števila 0, se njegov kvadrat konča s sodim številom 0 (torej vsaj 00), števke pred končnimi 0 pa morajo prav tako tvoriti kvadrat.
  2. Če je zadnja števka števila 1 ali 9, se njegov kvadrat konča z 1 in število, ki ga tvorijo prejšnje števke, mora biti deljivo s štiri.
  3. Če je zadnja števka števila 2 ali 8, se njegov kvadrat konča s 4, prejšnja števka pa mora biti sodo število.
  4. Če je zadnja števka števila 3 ali 7, se njegov kvadrat konča z 9 in število, ki ga tvorijo prejšnje števke, mora biti deljivo s štiri.
  5. Če je zadnja števka števila 4 ali 6, se njegov kvadrat konča s 6, prejšnja števka pa mora biti liha.
  6. Če je zadnja števka števila 5, se njegov kvadrat konča s 25, prejšnje števke pa morajo biti 0, 2, 06 ali 56.

Kvadratno število ne more biti popolno število.

Vse četrte, šeste, osme in tako naprej so popolni kvadrati.

Posebni primeri

  • Če je število v obliki m5, kjer m predstavlja prejšnje števke, je njegov kvadrat n25, kjer je n = m × (m + 1) in predstavlja števke pred 25. Na primer kvadrat števila 65 lahko izračunamo z n = 6 × (6 + 1) = 42, kar pomeni, da je kvadrat enak 4225.
  • Če je število v obliki m0, kjer m predstavlja predhodne števke, je njegov kvadrat n00, kjer n = m2 . Na primer kvadrat števila 70 je 4900.
  • Če ima število dve števki in je v obliki 5m, pri čemer m predstavlja števko enote, je njegov kvadrat AABB, kjer je AA = 25 + m in BB = m2 . Primer: Za izračun kvadrata števila 57 je 25 + 7 = 32 in 72 = 49, kar pomeni 572 = 3249.

Neparna in soda kvadratna števila

Kvadrati sodih števil so sodi (in dejansko deljivi s 4), saj (2n)2 = 4n2 .

Kvadrati lihih števil so lihi, saj je (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Iz tega sledi, da so kvadratni koreni sodih kvadratnih števil sodi, kvadratni koreni lihih kvadratnih števil pa lihi.

Ker so vsa soda kvadratna števila deljiva s 4, soda števila v obliki 4n + 2 niso kvadratna števila.

Ker so vsa liha kvadratna števila v obliki 4n + 1, liha števila v obliki 4n + 3 niso kvadratna števila.

Kvadrati lihih števil imajo obliko 8n + 1, saj je (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1, n(n + 1) pa je sodo število.



Iskati
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3