Kvadratno število

Kvadratno število, včasih imenovano tudi popolni kvadrat, je rezultat množenja celega števila s samim seboj. 1, 4, 9, 16 in 25 je prvih pet kvadratnih števil. V formuli je kvadrat števila n označen kot $n 2$ (eksponent), običajno se izgovarja kot "n kvadrat". Ime kvadratno število izvira iz imena oblike; glej spodaj.

Kvadratna števila so nenegativna. Drug način, kako reči, da je (nenegativno) število kvadratno število, je, da je njegov kvadratni koren spet celo število. Na primer, √9 = 3, zato je 9 kvadratno število.

Primeri

Kvadrati (zaporedje A000290 v OEIS), manjši od 70² , so:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Kvadratnih števil je neskončno veliko, tako kot je neskončno veliko naravnih števil.

Lastnosti

Število m je kvadratno število, če in samo če lahko sestavimo kvadrat iz m enakih (manjših) kvadratov:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Opomba: Beli presledki med kvadratki so namenjeni le izboljšanju vidnega zaznavanja. Med dejanskimi kvadrati ne sme biti presledkov.

Kvadrat s stranico dolžine n ima površino $n 2$ .

Izraz za n-to kvadratno število je n² . To je enako tudi vsoti prvih n lihih števil, kot je razvidno iz zgornjih slik, kjer kvadrat nastane iz prejšnjega z dodajanjem lihega števila točk (prikazano z magento). Enačba je naslednja:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Tako na primer $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Kvadratno število se lahko konča le s števkami 0, 1, 4, 6, 9 ali 25 v osnovi 10, kot sledi:

Če je zadnja števka števila 0, se njegov kvadrat konča s sodim številom 0 (torej vsaj 00), števke pred končnimi 0 pa morajo prav tako tvoriti kvadrat.
Če je zadnja števka števila 1 ali 9, se njegov kvadrat konča z 1 in število, ki ga tvorijo prejšnje števke, mora biti deljivo s štiri.
Če je zadnja števka števila 2 ali 8, se njegov kvadrat konča s 4, prejšnja števka pa mora biti sodo število.
Če je zadnja števka števila 3 ali 7, se njegov kvadrat konča z 9 in število, ki ga tvorijo prejšnje števke, mora biti deljivo s štiri.
Če je zadnja števka števila 4 ali 6, se njegov kvadrat konča s 6, prejšnja števka pa mora biti liha.
Če je zadnja števka števila 5, se njegov kvadrat konča s 25, prejšnje števke pa morajo biti 0, 2, 06 ali 56.

Kvadratno število ne more biti popolno število.

Vse četrte, šeste, osme in tako naprej so popolni kvadrati.

Posebni primeri

Če je število v obliki m5, kjer m predstavlja prejšnje števke, je njegov kvadrat n25, kjer je $n = m \times (m + 1)$ in predstavlja števke pred 25. Na primer kvadrat števila 65 lahko izračunamo z $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ kar pomeni, da je kvadrat enak 4225.
Če je število v obliki m0, kjer m predstavlja predhodne števke, je njegov kvadrat n00, kjer $n = m 2$ . Na primer kvadrat števila 70 je 4900.
Če ima število dve števki in je v obliki 5m, pri čemer m predstavlja števko enote, je njegov kvadrat AABB, kjer je $AA = 25 + m$ in $BB = m 2$ . Primer: Za izračun kvadrata števila 57 je 25 + 7 = 32 in 7² = 49, kar pomeni 57² = 3249.

Neparna in soda kvadratna števila

Kvadrati sodih števil so sodi (in dejansko deljivi s 4), saj $(2n) 2 = 4n 2$ .

Kvadrati lihih števil so lihi, saj je $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Iz tega sledi, da so kvadratni koreni sodih kvadratnih števil sodi, kvadratni koreni lihih kvadratnih števil pa lihi.

Ker so vsa soda kvadratna števila deljiva s 4, soda števila v obliki $4n + 2$ niso kvadratna števila.

Ker so vsa liha kvadratna števila v obliki $4n + 1,$ liha števila v obliki $4n + 3$ niso kvadratna števila.

Kvadrati lihih števil imajo obliko $8n + 1,$ saj je $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1, n (n + 1)$ pa je sodo število.