Matrika: definicija, vrste, operacije in uporaba v matematiki

Vodoravne črte v matriki se imenujejo vrstice, navpične črte pa stolpci. Matriko z m vrsticami in n stolpci imenujemo m-by-n matrika (ali m×n matrika), m in n pa sta njeni dimenziji.

Mesta v matriki, kjer so številke, se imenujejo vnosi. Vnos matrike A, ki leži v vrstici s številko i in stolpcu s številko j, se imenuje i,j vnos A. Zapišemo ga kot A[i,j] ali _ai,j.

Zapišemo A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\krat n}}, da določimo m × n matriko A, pri čemer se vsak vnos v matriki imenuje _ai,j za vse 1 ≤ i ≤ m in 1 ≤ j ≤ n.

Primer

Matrika

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}}

je matrika 4×3. Ta matrika ima m=4 vrstice in n=3 stolpce.

Element A[2,3] ali a2,₃ je 7.

Dodatek

Vsota dveh matrik je matrika, katere (i,j)-ti vnos je enak vsoti (i,j)-tih vnosov dveh matrik:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Matrici imata enake dimenzije. Tu velja A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}.

Množenje dveh matrik

Množenje dveh matrik je nekoliko bolj zapleteno:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\end{bmatrix}}}

Tako je tudi s številkami:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\konec{bmatrike}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• dve matriki lahko med seboj pomnožimo, čeprav imata različne dimenzije, če je število stolpcev v prvi matriki enako številu vrstic v drugi matriki.
• rezultat množenja, imenovan produkt, je druga matrika z enakim številom vrstic kot prva matrika in enakim številom stolpcev kot druga matrika.
• množenje matrik ni komutativno, kar na splošno pomeni, da A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• množenje matrik je asociativno, kar pomeni, da ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Nekatere matrike so posebne.

Kvadratna matrika

Kvadratna matrika ima enako število vrstic kot stolpcev, torej m=n.

Primer kvadratne matrike je

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\0&9&1\\-7&6&8\\\\end{bmatrix}}

Ta matrika ima 3 vrstice in 3 stolpce: m=n=3.

Identiteta

Vsaka kvadratna dimenzijska množica matrike ima poseben ekvivalent, ki se imenuje "matrika identitete". Identitetna matrika ima samo ničle, razen na glavni diagonali, kjer so vse enice. Na primer:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\\\end{bmatrix}}}

je identitetna matrika. Za vsako kvadratno dimenzijsko množico obstaja natanko ena identitetna matrika. Identitetna matrika je posebna, ker je pri množenju katere koli matrike z identitetno matriko rezultat vedno prvotna matrika brez sprememb.

Inverzna matrika

Inverzna matrika je matrika, ki je, če jo pomnožimo z drugo matriko, enaka matriki identitete. Na primer:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}} je obratno [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\end{bmatrix}} .

Enačba za obratno vrednost matrike 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}}, je:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}

Pri čemer je d e t {\displaystyle det} determinanta matrike. Pri matriki 2x2 je determinanta enaka:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matrika z enim stolpcem

Matriko, ki ima veliko vrstic, a samo en stolpec, imenujemo stolpčni vektor.

Determinanta vzame kvadratno matriko in izračuna preprosto število, skalar. Da bi razumeli, kaj to število pomeni, vzemite vsak stolpec matrike in ga narišite kot vektor. Vzporednik, ki ga narišejo ti vektorji, ima površino, ki je determinanta. Za vse matrike 2x2 je formula zelo preprosta: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Za matrike 3x3 je formula bolj zapletena: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Za determinante večjih matrik ni preprostih formul, zato številni računalniški programerji preučujejo, kako računalnikom omogočiti hitro iskanje velikih determinant.

Lastnosti determinantov

Vse determinante se ravnajo po treh pravilih. To so:

• Determinanta identitetne matrike je 1
• Če zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca matrike, se determinanta pomnoži z -1. Matematiki to imenujejo izmenično.
• Če vsa števila v eni vrstici ali stolpcu pomnožimo z drugim številom n, potem je determinanta pomnožena z n. Če ima matrika M stolpec v, ki je vsota dveh stolpčnih matrik v 1 {\displaystyle v_{1}} in v 2 {\displaystyle v_{2}} , potem je determinanta M vsota determinant M z v 1 {\displaystyle v_{1}} namesto v in M z v 2 {\displaystyle v_{2}} namesto v. Ta dva pogoja imenujemo multilinearnost.

• Linearna algebra
• Numerična linearna algebra