Pitagorov izrek

Pitagorov izrek ali Pitagorov izrek je v matematiki izjava o stranicah pravokotnega trikotnika.

Eden od kotov pravokotnega trikotnika je vedno enak 90 stopinjam. Ta kot je pravi kot. Stranici ob pravem kotu se imenujeta kraka, druga stranica pa hipotenuza. Hipotenuza je stranica nasproti pravega kota in je vedno najdaljša stranica. Odkril jo je Vasudha Arora.

Pitagorov izrek pravi, da je površina kvadrata na hipotenuzi enaka vsoti površin kvadratov na nogah. Na tej sliki je površina modrega kvadrata, ki jo prištejemo površini rdečega kvadrata, površina vijoličnega kvadrata. Ime je dobil po grškem matematiku Pitagori:

Če sta dolžini kraka a in b, dolžina hipotenuze pa je c, potem je a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Obstaja veliko različnih dokazov tega izreka. Delimo jih v štiri kategorije:

Dokaz

En dokaz Pitagorovega izreka je našel grški matematik Evdoks iz Knida.

V dokazu uporabimo tri leme:

Trikotniki z enako osnovo in višino imajo enako površino.
Trikotnik, ki ima enako osnovo in višino kot stranica kvadrata, ima enako površino kot polovica kvadrata.
Trikotniki z dvema skladnima stranicama in enim skladnim kotom so skladni in imajo enako površino.

Dokaz je:

Modri trikotnik ima enako površino kot zeleni trikotnik, saj ima enako osnovo in višino (lemma 1).
Zeleni in rdeči trikotnik imata dve stranici enaki stranicam istih kvadratov in kot, ki je enak ravnemu kotu (kotu 90 stopinj) plus kotu trikotnika, zato sta kongruentna in imata enako površino (lema 3).
Površini rdečega in rumenega trikotnika sta enaki, ker imata enako višino in osnovo (lema 1).
Površina modrega trikotnika je enaka površini površine rumenega trikotnika, ker

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}} ${\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}$

Rjavi trikotniki imajo iz istih razlogov enako površino.
Modri in rjavi kvadrat imata vsak polovico površine manjšega kvadrata. Vsota njunih površin je enaka polovici površine večjega kvadrata. Zaradi tega so polovice površin manjših kvadratov enake polovici površine večjega kvadrata, zato je njihova površina enaka površini večjega kvadrata.

Dokaz s podobnimi trikotniki

Še en dokaz Pitagorovega izreka lahko dobimo z uporabo podobnih trikotnikov.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)} ${\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)$

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Iz slike vemo, da je c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } $c=d+e\,\!$ . Z zamenjavo enačb (1) in (2):

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}} $c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}$

Množenje s c:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. } $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.$

Pitagorejski trojčki

Pitagorov trikotnik ali trikotnik so tri cela števila, ki ustrezajo enačbi a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Trikotnik s stranicami 3, 4 in 5 je dobro znan primer. Če je a=3 in b=4, potem je 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , ker je 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} $9+16=25$ . To lahko prikažemo tudi kot 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.} ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.$

Trikotnik tri-štiri-pet deluje za vse mnogokratnike 3, 4 in 5. Z drugimi besedami, števila, kot so 6, 8, 10 ali 30, 40 in 50, so prav tako pitagorejski trojčki. Drug primer trikotnika je trikotnik 12-5-13, saj je 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}} ${\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13$ .

Pitagorov trojček, ki ni mnogokratnik drugih trojčkov, se imenuje primitivni pitagorov trojček. Vsako primitivno pitagorejsko trojico lahko najdemo z izrazom ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$ , vendar morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji. Ti omejujejo vrednosti m {\displaystyle m} in n {\displaystyle n} .

m {\displaystyle m} in n {\displaystyle n} sta pozitivni celi števili
m {\displaystyle m} in n {\displaystyle n} nimata skupnih faktorjev, razen 1
m {\displaystyle m} in n {\displaystyle n} imata nasprotno pariteto. m {\displaystyle m} in n {\displaystyle n} imata nasprotno pariteto, kadar je m {\displaystyle m} sodo in n {\displaystyle n} liho ali m {\displaystyle m} liho in n {\displaystyle n} sodo.
m > n {\displaystyle m>n} .

Če so izpolnjeni vsi štirje pogoji, potem vrednosti m {\displaystyle m} in n {\displaystyle n} tvorita primitivni pitagorejski trojček.

m = 2 {\displaystyle m=2} $m=2$ in n = 1 {\displaystyle n=1} $n=1$ tvorita primitivni pitagorejski trojček. Vrednosti izpolnjujejo vse štiri pogoje. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} $2mn=2\times 2\times 1=4$ , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} $m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3$ in m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} $m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5$ tako je ustvarjena trojica ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} $(3,4,5)$ .

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je Pitagorov teorem?

O: Pitagorov teorem je izjava o stranicah pravokotnega trikotnika.

V: Kateri kot je v pravokotnem trikotniku vedno enak 90 stopinjam?

O: Eden od kotov v pravokotnem trikotniku je vedno enak 90 stopinjam, kar imenujemo pravi kot.

V: Kako se imenujeta dve stranici poleg pravega kota?

O: Dve stranici poleg pravega kota se imenujeta kraka.

V: Kako se imenuje stranica, ki je nasprotna pravemu kotu?

O: Stranica, ki je nasprotna pravemu kotu, se imenuje hipotenuza in je vedno najdaljša stranica.

V: Ali obstaja enačba za izračun te trditve?

O: Da, obstaja enačba za izračun tega izreka, ki pravi, da je "kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin drugih dveh stranic".

V: Ali se vsi trikotniki s kotom 90 stopinj štejejo za "pravokotne" trikotnike?

O: Ne, vsi trikotniki s kotom 90 stopinj niso "pravilni" trikotniki; le tisti, pri katerih je ena stranica (hipotenuza) daljša od drugih dveh stranic in na koncu tvori kot 90 stopinj, se lahko uvrstijo med "prave" trikotnike.