Kongruenca (skladnost) v geometriji — definicija, lastnosti in primeri
Kongruenca (skladnost) v geometriji: jasna definicija, ključne lastnosti in praktični primeri o izometrijah, premikih, rotacijah in zrcaljenju — preberi in utrdi znanje.
Definicija
V geometriji sta dva lika ali predmeta skladna (kongruentna), če imata enako obliko in velikost. Bolj formalno rečemo, da sta dve množici točk kongruentni, če in samo če lahko eno spremenimo v drugo z izometrijo. Izometrije so togi gibi, torej transformacije, ki ohranjajo razdalje (in posledično kote).
Praktično to pomeni, da lahko en predmet premaknemo, zavrtimo ali zrcalno prikažemo (odbijemo) tako, da se natančno ujema z drugim predmetom, brez da bi spreminjali njegovo velikost. Če bi morali spremeniti velikost (npr. povečati ali pomanjšati), gre za podobnost, ne za kongruenco — taka telesa imenujemo podobni.
Izometrije (togi gibi)
- Translacija (prenesek): premik celotnega lika za neko vektorje.
- Rotacija (vrtenje): obračanje okoli točke za določeni kot.
- Refleksija (zrcaljenje): odboj preko premice (v ravnini) ali ravnine (v prostoru).
- Sestavljena izometrija, npr. glide reflection (zrcaljenje + premik): tudi ohranja razdalje in daje kongruentne like.
Rotacije in translacije ohranjajo orientacijo lika (direktne izometrije), refleksije pa orientacijo obrnejo (indirektne izometrije).
Lastnosti skladnih likov
- Skladna telesa imajo enake dolžine ustreznih segmentov in enake velikosti ustreznih kotov.
- Razdalje med katerima koli dvema točkama v enem liku so enake kot razdalje med pripadajočima točkama v drugem liku.
- Kongruenca je refleksivna, simetrična in tranzitivna: A ≅ A, če A ≅ B potem B ≅ A, in če A ≅ B ter B ≅ C potem A ≅ C.
- Za poljubne mnogokotnike velja: če jim lahko ujemajoč se množico premikamo in obračamo tako, da se ujemajo, so skladni. Enostavna metoda v praksi: izrežemo obliko in jo položimo na drugo; če se popolnoma prekrivata, sta skladni.
Kriteriji skladnosti trikotnikov (pogosto uporabljeni)
Trikotniki so najpogostejši liki pri preučevanju kongruence. Glavni kriteriji, ki zagotavljajo, da sta trikotnika skladna (brez dodatnega preverjanja z izometrijo), so:
- Tri strani enake (SSS): če so dolžine vseh treh strani enake v obeh trikotnikih, sta trikotnika skladna.
- Dve strani in vmesni kot (SAS): če sta paroma enaki dve strani in kot med njima, sta trikotnika skladna.
- Stran in dva kota (ASA ali AAS): če je enaka stran in sta paroma enaka dva pripadajoča kota (npr. kot–stran–kot ali kot–kot–stran), sta trikotnika skladna.
- Pravokotni trikotnik — hipotenuza in kateta (RHS/Hypotenuse-Leg): pri pravokotnih trikotnikih sta skladna, če imata enaki hipotenuzi in eno enako kateto.
Ti kriteriji omogočajo sklepe o skladnosti brez neposredne konstrukcije izometrije in se pogosto uporabljajo v dokazih.
Zapis kongruence in primeri
Kongruenco običajno zapišemo z znakom ≅. Na primer:
- Če sta skladna trikotnika ABC in DEF, zapišemo: trikotnik ABC ≅ trikotnik DEF. To pomeni, da ustreza A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F (upoštevati moramo tudi vrstni red, ki pove, kateri koti in strani se ujemajo).
- Za daljice lahko zapišemo AB ≅ CD, ko sta dolžini enaki.
Primeri in uporaba
- Pri risanju načrtov in pri arhitekturi se uporablja koncept kongruence, da so deli enaki in zamenljivi (npr. enaki paneli).
- V konstrukcijah z linealom in šestilom pogosto uporabimo kriterije trikotnikov (SSS, SAS, ...), da dokažemo, da je neka konstrukcija pravilno narejena.
- V dokazih v geometriji kongruenca omogoča prenašanje dolžin in kotov iz enega lika na drugega ter sklepanje o enakosti stranic in kotov.
- V praksi: izrežemo dva dela iz enakega papirja; če se popolnoma ujemata po premiku/obratu/zrcaljenju, so sklepi o skladnosti takoj vidni.
Razlika med kongruenco in podobnostjo
Čeprav sta oba pojma povezana z obliko, sta različna:
- Kongruenca zahteva enako velikost in obliko (ti dve lastnosti sta identični po izometriji).
- Podobnost dopušča spreminjanje velikosti (skalarni faktor). Podobna telesa imajo enak oblikni odnos (razmerja stranic in koti), vendar niso nujno iste velikosti.
Kratek povzetek
Kongruenca (skladnost) pomeni, da se dva lika ujemata po obliki in velikosti. Realizirana je z izometrijami — translacijo, rotacijo ali zrcaljenjem (ali njunimi sestavi). Pri trikotnikih so za prepoznavanje skladnosti še posebej uporabni kriteriji, kot so SSS, SAS in ASA. Če je potrebna le enaka oblika, ne pa velikost, govorimo o podobnosti namesto kongruenci.
Primer skladnosti. Trikotnika na levi sta skladna, tretji pa jima je podoben. Zadnji trikotnik ni niti podoben niti kongruenten nobenemu drugemu. Upoštevajte, da kongruenca omogoča spreminjanje nekaterih lastnosti, kot sta lega in orientacija, druge lastnosti, kot sta razdalja in kot, pa ostanejo nespremenjene. Nespremenjene lastnosti imenujemo invariantne.
Primeri
- vsi kvadrati, ki imajo enako dolge stranice, so skladni.
- vsi enakostranični trikotniki, ki imajo enako dolge stranice, so skladni.
Preizkusi skladnosti
- Dva kota in stranica med njima sta enaka v dveh trikotnikih (ASA kongruenca)
- Dva kota in stranica, ki ni med njima, sta enaka v obeh trikotnikih (skladnost AAS)
- Vse tri stranice obeh trikotnikov so enake (SSS kongruenca)
- dve stranici in kot med njima naredita 2 trikotnika skladna (SAS congruence)
Kako lahko dobimo nove skladne oblike?
Imamo kar nekaj možnosti in nekaj pravil, kako ustvariti nove oblike, ki so skladne s prvotnimi.
- Če geomentrično obliko premaknemo v ravnini, dobimo obliko, ki je kongruentna prvotni obliki.
- Če namesto premikanja vrtimo, dobimo obliko, ki je skladna s prvotno obliko.
- Tudi če vzamemo zrcalno sliko prvotne oblike, še vedno dobimo kongruentno obliko.
- Če združimo vse tri dejavnosti eno za drugo, še vedno dobimo skladne oblike.
- Ni več skladnih oblik. Natančneje to pomeni, da če je oblika kongruentna prvotni obliki, potem jo lahko dosežemo z zgoraj opisanimi tremi dejavnostmi.
Razmerje, da je oblika kongruentna z drugo obliko, ima tri znane lastnosti.
- Če prvotno obliko pustimo na njenem prvotnem mestu, je skladna sama s seboj. To vedenje, to lastnost imenujemo refleksivnost.
Na primer, če zgornji premik ni pravilen premik, temveč le premik, ki naredi gibanje dolžine nič. Ali podobno, če zgornja rotacija ni pravilna rotacija, ampak le rotacija, ki naredi kot nič.
- Če je oblika kongruentna z drugo obliko, potem je tudi ta druga oblika kongruentna s prvotno obliko. To vedenje, to lastnost imenujemo simetrija.
Če na primer novo obliko premaknemo nazaj, obrnemo nazaj ali zrcalno preslikamo nazaj na prvotno obliko, je prvotna oblika kongruentna z novo obliko.
- Če je oblika C skladna z obliko B in je oblika B skladna s prvotno obliko A, potem je tudi oblika C skladna s prvotno obliko A. To vedenje, to lastnost imenujemo tranzitivnost.
Če na primer najprej uporabimo premik in nato rotacijo, je nova oblika še vedno skladna s prvotno.
Znane tri lastnosti, refleksivnost, simetričnost in tranzitivnost, skupaj tvorijo pojem enakovrednosti. Zato je lastnost kongruenca ena od vrst ekvivalenčnih relacij med oblikami ravnine.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj v geometriji pomeni, da sta dva lika skladna?
O: Dva lika sta v geometriji skladna, če imata enako obliko in velikost ali če ima eden enako obliko in velikost kot zrcalna slika drugega.
V: Kako se dve množici točk imenujeta kongruentni?
O: Dve množici točk sta kongruentni, če in samo če lahko eno spremenimo v drugo z izometrijo.
V: Za kaj se pri izometriji uporabljajo togi gibi?
O: Togi gibi se v izometriji uporabljajo za spreminjanje položaja, vrtenje ali odbijanje geometrijskih likov brez spreminjanja njihove velikosti, tako da natančno sovpadajo z drugimi predmeti.
V: Ali sta lahko dva lika skladna, če mora eden od njiju spremeniti svojo velikost, da se ujema z drugim?
O: Ne, če mora eden od objektov spremeniti svojo velikost, da se ujema z drugim, potem objekta nista kongruentna, ampak ju imenujemo podobna.
V: Kaj lahko rečemo o skladnosti dveh različnih ravninskih likov na listu papirja?
O: Dva različna ravninska lika na listu papirja sta skladna, če ju lahko izrežemo in nato popolnoma uskladimo, po potrebi pa papir obrnemo.
V: Kaj so skladni mnogokotniki?
O: Skladni mnogokotniki so mnogokotniki, ki jih lahko prepognemo na polovico in tvorijo drug pravilni mnogokotnik, ki je prav tako skladen.
V: Kaj je merilo za to, da lahko dva predmeta v geometriji označimo kot kongruentna?
O: Merilo za kongruentnost dveh predmetov v geometriji je, da je mogoče en predmet prestaviti, zavrteti ali odbiti tako, da natančno sovpada z drugim predmetom, ne da bi se spremenila njegova velikost.
Iskati