Skladnost
V geometriji sta dva lika ali predmeta skladna, če imata enako obliko in velikost. Prav tako, če ima eden enako obliko in velikost kot zrcalna slika drugega.
Bolj formalno se dve množici točk imenujeta kongruentni, če in samo če lahko eno spremenimo v drugo z izometrijo. Za izometrijo se uporabljajo togi gibi.
To pomeni, da je mogoče en predmet premakniti in odbiti (ne pa spremeniti njegove velikosti), tako da se natančno ujema z drugim predmetom. Tako sta dva različna ravninska lika na listu papirja skladna, če ju lahko izrežemo in nato popolnoma uskladimo. Obračanje papirja je dovoljeno.
Skladni mnogokotniki so mnogokotniki, ki so skladni, če pravilen mnogokotnik prepognete na pol.
Dve geometrijski obliki sta skladni, če lahko eno premaknemo ali zasučemo tako, da se prilega natanko tam, kjer je druga. Če mora eno od teles spremeniti svojo velikost, telesi nista kongruentni: imenujemo ju le podobni.
Če sta dva lika ali predmeta skladna, imata enako obliko in velikost, vendar ju lahko zavrtimo, premaknemo, zrcalno prikažemo (odbijemo) ali prevedemo, tako da se natančno ujemata z drugim likom ali predmetom.
Primer skladnosti. Trikotnika na levi sta skladna, tretji pa jima je podoben. Zadnji trikotnik ni niti podoben niti kongruenten nobenemu drugemu. Upoštevajte, da kongruenca omogoča spreminjanje nekaterih lastnosti, kot sta lega in orientacija, druge lastnosti, kot sta razdalja in kot, pa ostanejo nespremenjene. Nespremenjene lastnosti imenujemo invariantne.
Primeri
- vsi kvadrati, ki imajo enako dolge stranice, so skladni.
- vsi enakostranični trikotniki, ki imajo enako dolge stranice, so skladni.
Preizkusi skladnosti
- Dva kota in stranica med njima sta enaka v dveh trikotnikih (ASA kongruenca)
- Dva kota in stranica, ki ni med njima, sta enaka v obeh trikotnikih (skladnost AAS)
- Vse tri stranice obeh trikotnikov so enake (SSS kongruenca)
- dve stranici in kot med njima naredita 2 trikotnika skladna (SAS congruence)
Kako lahko dobimo nove skladne oblike?
Imamo kar nekaj možnosti in nekaj pravil, kako ustvariti nove oblike, ki so skladne s prvotnimi.
- Če geomentrično obliko premaknemo v ravnini, dobimo obliko, ki je kongruentna prvotni obliki.
- Če namesto premikanja vrtimo, dobimo obliko, ki je skladna s prvotno obliko.
- Tudi če vzamemo zrcalno sliko prvotne oblike, še vedno dobimo kongruentno obliko.
- Če združimo vse tri dejavnosti eno za drugo, še vedno dobimo skladne oblike.
- Ni več skladnih oblik. Natančneje to pomeni, da če je oblika kongruentna prvotni obliki, potem jo lahko dosežemo z zgoraj opisanimi tremi dejavnostmi.
Razmerje, da je oblika kongruentna z drugo obliko, ima tri znane lastnosti.
- Če prvotno obliko pustimo na njenem prvotnem mestu, je skladna sama s seboj. To vedenje, to lastnost imenujemo refleksivnost.
Na primer, če zgornji premik ni pravilen premik, temveč le premik, ki naredi gibanje dolžine nič. Ali podobno, če zgornja rotacija ni pravilna rotacija, ampak le rotacija, ki naredi kot nič.
- Če je oblika kongruentna z drugo obliko, potem je tudi ta druga oblika kongruentna s prvotno obliko. To vedenje, to lastnost imenujemo simetrija.
Če na primer novo obliko premaknemo nazaj, obrnemo nazaj ali zrcalno preslikamo nazaj na prvotno obliko, je prvotna oblika kongruentna z novo obliko.
- Če je oblika C skladna z obliko B in je oblika B skladna s prvotno obliko A, potem je tudi oblika C skladna s prvotno obliko A. To vedenje, to lastnost imenujemo tranzitivnost.
Če na primer najprej uporabimo premik in nato rotacijo, je nova oblika še vedno skladna s prvotno.
Znane tri lastnosti, refleksivnost, simetričnost in tranzitivnost, skupaj tvorijo pojem enakovrednosti. Zato je lastnost kongruenca ena od vrst ekvivalenčnih relacij med oblikami ravnine.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj v geometriji pomeni, da sta dva lika skladna?
O: Dva lika sta v geometriji skladna, če imata enako obliko in velikost ali če ima eden enako obliko in velikost kot zrcalna slika drugega.
V: Kako se dve množici točk imenujeta kongruentni?
O: Dve množici točk sta kongruentni, če in samo če lahko eno spremenimo v drugo z izometrijo.
V: Za kaj se pri izometriji uporabljajo togi gibi?
O: Togi gibi se v izometriji uporabljajo za spreminjanje položaja, vrtenje ali odbijanje geometrijskih likov brez spreminjanja njihove velikosti, tako da natančno sovpadajo z drugimi predmeti.
V: Ali sta lahko dva lika skladna, če mora eden od njiju spremeniti svojo velikost, da se ujema z drugim?
O: Ne, če mora eden od objektov spremeniti svojo velikost, da se ujema z drugim, potem objekta nista kongruentna, ampak ju imenujemo podobna.
V: Kaj lahko rečemo o skladnosti dveh različnih ravninskih likov na listu papirja?
O: Dva različna ravninska lika na listu papirja sta skladna, če ju lahko izrežemo in nato popolnoma uskladimo, po potrebi pa papir obrnemo.
V: Kaj so skladni mnogokotniki?
O: Skladni mnogokotniki so mnogokotniki, ki jih lahko prepognemo na polovico in tvorijo drug pravilni mnogokotnik, ki je prav tako skladen.
V: Kaj je merilo za to, da lahko dva predmeta v geometriji označimo kot kongruentna?
O: Merilo za kongruentnost dveh predmetov v geometriji je, da je mogoče en predmet prestaviti, zavrteti ali odbiti tako, da natančno sovpada z drugim predmetom, ne da bi se spremenila njegova velikost.
