Distributivnost v algebri: definicija, lastnosti in primeri

Distribucija je osnovni koncept iz algebre, ki opisuje, kako naj ena binarna operacija deluje glede na drugo. Najpogostejši primer je razmerje med seštevanjem in množenjem števil. V aritmetiki denimo velja:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), vendar 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Na levi strani prve enačbe 2 pomnoži vsoto 1 in 3; na desni je seštevek dveh zmnožkov. Ker obe strani dajeta enak rezultat (8), pravimo, da množenje s številom 2 distribuira (porazdeli) seštevanje 1 in 3. Ker ista zveza velja za poljubna realna števila, pogosto rečemo, da je množenje realnih števil distributivno glede na seštevanje realnih števil.

Formalna definicija

Naj bosta * in + dve binarni operaciji na množici M. Operacija * je levosmerno distributivna glede na +, če za vse a, b, c v M velja:

a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Analogno, * je desnosmerno distributivna glede na +, če za vse a, b, c v M velja:

(a + b) * c = (a * c) + (b * c).

Če sta obe lastnosti izpolnjeni, rečemo, da je * preprosto distributivna glede na +.

Primeri in protieksmplei

Realna števila (polje): množenje je distributivno glede na seštevanje: a(b+c)=ab+ac in (a+b)c=ac+bc. To temelji na aksiomih polja.
Cela števila in racionalna števila: enako kot pri realnih številih — množenje distributira čez seštevanje.
Matrično množenje: matrike pomnožene po običajnem pravilniku distributirajo čez seštevanje: A(B + C) = AB + AC in (A + B)C = AC + BC. Vendar matrično množenje običajno ni komutativno (AB ≠ BA v splošnem).
Polinomi: množenje polinomov distributira čez seštevanje (priprava na pravilo množenja terms-to-terms).
Funkcije z običajnim seštevanjem in množenjem: točkovno množenje funkcij je distributivno glede na točkovno seštevanje: (f·(g+h))(x) = f(x)g(x) + f(x)h(x).
Boolova algebra in množice: v Boolovi algebri operacija AND distributira čez OR in v mnogih sistemih tudi obratno; v teoriji množic velja:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) in A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Kontraprimeri: odštevanje in deljenje nista distributivna nad seštevanjem na splošno. Na primer, 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). Prav tako potenca ni distributivna glede na seštevanje (npr. (1+2)^2 ≠ 1^2 + 2^2).

Zakaj distributivnost pomembna

Distributivnost omogoča poenostavljanje izrazov in račune (razširjanje oklepajev, zbiranje podobnih členov).
Je ena od osnovnih lastnosti struktur, kot so kolobarji, polja in algebre. V kolobarju se množenje običajno zahteva, da je distributivno glede na seštevanje.
V linearnem algebraju je distributivnost povezava s linearnostjo map (linearen operator f zadošča f(x+y)=f(x)+f(y) in f(αx)=αf(x)).

Kratek dokaz za realna števila (intuicija)

Za cele števila lahko distributivnost razumemo kot posledico ponavljajočega se seštevanja: n·(a+b) pomeni a+b sešteto n-krat, kar je enako n·a + n·b. Za racionalna in realna števila se ta lastnost izpelje iz aksiomov polja ter gostote racionalnih/vsebinskih konstrukcij realnih števil. V natančnejših matematičnih sistemih (polja, kolobarji) je distributivnost ena izmed osnovnih aksiomatskih zahtev in se ne dokazuje, temveč se vključi v definicijo strukture.

Opombe o nerazširljivosti

Pomembno je razumeti, da nekatere operacije ne distributirajo čez druge. Če ena operacija ni distributivna glede na drugo, ne moremo enostavno razširjati oklepajev ali deliti členov. Vedno preverite, ali velja distributivno pravilo v kontekstu danih operacij (še posebej v nekomutativnih ali nestandardnih algebrskih strukturah).

Zaključek

Distribucija je temeljna lastnost v algebri, ki pove, kako se ena operacija "porazdeli" čez drugo. Razumevanje, kdaj distributivnost velja in kdaj ne, je ključnega pomena za poenostavljanje izrazov, reševanje enačb in razumevanje lastnosti algebraičnih struktur.

Opredelitev

Ob dani množici $S$ in dveh binarnih operatorjih ∗ in + na $S$ pravimo, da je operacija:

∗ je levo-distributivna nad +, če so dani poljubni elementi $x, y$ in $z$ v $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ je desno-distributivna nad +, če so dani katerikoli elementi $x, y$ in $z$ iz $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ in

∗ je distributivna nad +, če je levo- in desno-distributivna. Upoštevajte, da so zgornji trije pogoji logično enakovredni, če je ∗ komutativen.

Aplikacije

Distributivno lastnost lahko uporabimo tudi za:

Realna števila
Kompleksna števila
Matrike (veljajo posebna pravila)
Vektorji (veljajo posebna pravila)
Nastavitve
Propozicijska logika

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je porazdelitev v algebri?

O: Porazdelitev je pojem v algebri, ki opisuje, kako potekajo binarne operacije, kot sta seštevanje in množenje.

V: Ali lahko navedete primer porazdelitve v aritmetiki?

O: Da, primer porazdelitve v aritmetiki je 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), kjer na levi strani 2 pomnoži vsoto 1 in 3, na desni strani pa 2 pomnoži 1 in 3 posebej, nato pa se produkti seštejejo.

V: Zakaj je v algebri pomemben pojem porazdelitve?

O: Pojem porazdelitve je v algebri pomemben, ker pomaga poenostaviti enačbe in jih lažje rešiti.

V: Ali se množenje porazdeli na seštevanje vseh realnih števil?

O: Da, množenje realnih števil se porazdeli na seštevanje realnih števil, kar pomeni, da lahko namesto vrednosti v enačbi, uporabljeni za primer porazdelitve v aritmetiki, vstavimo poljubna realna števila in še vedno dobimo pravo enačbo.

V: Ali je seštevanje v vseh primerih porazdeljivo v primerjavi z množenjem?

O: Ne, seštevanje ni distributivno v primerjavi z množenjem v vseh primerih; to velja le za nekatere množice števil, kot so realna števila.

V: Ali lahko navedeš primer, kjer porazdelitev ne drži?

O: Da, primer, kjer porazdelitev ne drži, je 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). V tem primeru enačba na levi strani ni enaka enačbi na desni strani, ker deljenje ni porazdeljeno na seštevanje.

V: Kako se porazdelitev uporablja pri binarnih operacijah?

O: Porazdelitev v algebri se uporablja zlasti pri binarnih operacijah, kot sta seštevanje in množenje, kjer opisuje, kako naj se operacije izvedejo, kadar je vključen več kot en operand.