Algebra: definicija, osnovni pojmi, enačbe, funkcije in uporaba
Algebra (iz arabščine: الجبر, transliterirano "al-jabr", kar pomeni "združitev razbitih delov") je veja matematike, ki uporablja simbole in spremenljivke za predstavitev števil in njihovih medsebojnih odnosov. V različnih angleško govorečih državah se pojavlja pod različnimi izrazi (v Združenih državah Amerike se pogosto imenuje matematika, v Združenem kraljestvu pa maths ali numeracy). Algebra omogoča posploševanje pravil in postopkov, zato je osnova za reševanje enačb, modeliranje in analizo v znanosti, tehniki in gospodarstvu.
Kaj so spremenljivke in enačbe?
Spremenljivka je simbol (najpogosteje črka, npr. x, y), ki predstavlja neznano ali spremenljivo vrednost. Ko v izrazu ali enačbi uporabimo znak za enačaj (=), dobimo enačbo — trditev, da sta dve količini enaki. Primer preproste enačbe je:
2 + 3 = x. V tem primeru je x = 5. Postopek iskanja vrednosti spremenljivke imenujemo reševanje ali izločanje te spremenljivke.
Neenačbe in funkcije
Poleg enačb se v algebri pogosto pojavljajo tudi neenačbe (simboli <, >, ≤, ≥), ki izražajo, da je ena količina manjša ali večja od druge. Algebra obravnava tudi funkcije — predpis, ki vsakemu vhodu pripiše natanko en izhod. Funkcije so temelj za risanje grafov in analizo odvisnosti med količinami; npr. linearna funkcija ima obliko y = mx + b, kjer je m naklon, b pa prestreznik osi y.
Osnovne računske operacije in pravila
Pri delu z algebraičnimi izrazi uporabljamo osnovne aritmetične operacije: seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje. Pomembna so tudi pravila vrstnega reda računskih operacij (oklepaji, potenciranje, množenje/deljenje, seštevanje/odštevanje). Naprednejše operacije vključujejo eksponente in korene, kot so kvadrati in kvadratni koreni. Pri poenostavljanju izrazov in reševanju enačb pogosto uporabljamo tudi faktorizacijo in skrajševanje.
Vrste enačb in nekaj primerov
Algebra obsega različne vrste enačb:
- Linearna enačba v eni spremenljivki: npr. 2x + 3 = 11. Rešitev: 2x = 8 ⇒ x = 4.
- Kvadratna enačba: spremenljivka ima največ kvadratni člen, npr. x^2 - 5x + 6 = 0. Faktorizacija: (x - 2)(x - 3) = 0, zato so rešitve x = 2 ali x = 3.
- Polinomi: izrazi z več členi kot so 3x^3 - x^2 + 2x - 5, pri katerih so pomembne operacije faktorizacije in deljenja polinomov.
- Sistemi enačb: skupina dveh ali več enačb, ki jih rešujemo skupaj (npr. metoda substitucije, metoda seštevanja, matrike).
Funkcije, domena in kodomena
Funkcijo pogosto zapišemo kot f(x). Pomembni pojmi so:
- domena — množica vseh dovoljenih vhodov (vrednosti x),
- kodomena oziroma območje vrednosti — množica možnih izhodov (vrednosti f(x)),
- inverzna funkcija — funkcija, ki "obrne" delovanje izvirne funkcije (če obstaja),
- operacije z funkcijami: seštevanje, množenje, kompozicija (sestavljanje funkcij).
Uporaba algebre v praksi
Algebra je orodje za modeliranje in reševanje realnih problemov. Pravila algebre veljajo tudi v resničnem svetu, zato lahko številke in spremenljivke predstavijo količine, kot so dolžine, časa, stroški ali hitrosti. Pogoste uporabe so v:
- fiziki — za opis gibanja in zakonov narave,
- inženirstvu — pri načrtovanju konstrukcij in analizah obremenitev,
- računalniškem programiranju — pri algoritmih, optimizaciji in obdelavi podatkov,
- geodeziji, gradbeništvu in podjetništvu — zlasti v računovodstvu za izračune in načrtovanje.
Praktični postopki reševanja in nasveti
Pri reševanju algebraičnih problemov pomagajo naslednja pravila in koraki:
- Preberite problem in jasno določite, kaj je znano in kaj iščete.
- Uporabite simbole (spremenljivke) za neznane količine.
- Postavite enačbo ali sistem enačb glede na dane odnose.
- Poenostavite izraze, uporabite pravila za okrajševanje in faktorizacijo.
- Rešite enačbo z ustreznimi metodami (linearna, kvadratna, numerična rešitev ipd.).
- Preverite rešitve v izvirnem problemu, še posebej pri neenačbah in pri rešitvah, ki jih omejuje domena.
Kratek zgodovinski pregled
Beseda "algebra" izvira iz arabskega naslova dela matematika Al-Khwarizmija; pomen imena je povezan z idejo združevanja razbitih delov. V zgodovini se je algebra razvila od simbolnih računovanj v antiki do sodobne abstraktne algebre, ki proučuje strukture (grupe, prstane, polja) in je temelj številnih naprednih področij matematike.
Algebra je torej več kot le računanje z neznankami — je sistematičen jezik in orodje, ki omogoča razumevanje in reševanje problemov na širokem spektru področij.
Zgodovina
Zgodnje oblike algebre so razvili Babilonci in grški geometri, kot je bil Hero iz Aleksandrije. Vendar je beseda "algebra" latinska oblika arabske besede Al-Jabr ("litje") in izhaja iz matematične knjige Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah ("Esej o računanju litja in enačbe"), ki jo je v 9. stoletju napisal perzijski matematik Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, musliman, rojen v Khwarizmu v Uzbekistanu. V letih 813-833 n. št. je živel pod vodstvom Al-Ma'muna v Bagdadu v Iraku, umrl pa okoli leta 840 n. št. Knjiga je bila prinesena v Evropo in prevedena v latinščino v 12. stoletju. Knjiga je nato dobila ime "algebra". (Končnica matematikovega imena al-Khwarizmi je bila spremenjena v besedo, ki jo je bilo lažje izgovoriti v latinščini, in je postala angleška beseda algorithm).
Primeri
Tukaj je preprost primer problema algebre:
Sue ima 12 bonbonov, Ann pa 24 bonbonov. Odločita se, da si jih bosta razdelili, tako da bosta imeli enako število bonbonov. Koliko bonbonov bo imela vsaka od njiju?
S temi koraki lahko rešite težavo:
- Da bi imela enako število bonbonov, mora Ann nekaj bonbonov dati Sue. Naj x predstavlja število bonbonov, ki jih Ann da Sue.
- Sueini bonboni plus x morajo biti enaki Anninim bonbonom minus x. To zapišemo kot: 12 + x = 24 - x
- Od obeh strani enačbe odštejte 12. Tako dobimo: x = 12 - x. (Kar se zgodi na eni strani enačbe, se mora zgoditi tudi na drugi strani, da je enačba še vedno resnična. V tem primeru je torej, ko smo od obeh strani odšteli 12, nastala srednja stopnja 12 + x - 12 = 24 - x - 12. Ko je oseba s tem zadovoljna, srednjega koraka ne zapiše.)
- Na obe strani enačbe dodajte x. Tako dobimo: 2x = 12
- Obe strani enačbe delimo z 2. Tako dobimo x = 6. Odgovor je šest. Če Ann da Sue 6 bonbonov, bosta imeli enako število bonbonov.
- To preverite tako, da v prvotno enačbo, kjer je bil x, vstavite 6: 12 + 6 = 24 - 6
- Tako dobimo 18=18, kar je res. Vsak od njiju ima zdaj 18 bonbonov.
Z vajo lahko algebro uporabimo, ko se soočimo s problemom, ki ga je pretežko rešiti na drug način. Pri problemih, kot so gradnja avtoceste, načrtovanje mobilnega telefona ali iskanje zdravila za bolezen, je potrebna algebra.
Pisanje algebre
Tako kot v večini matematike se dodajanje z k y (ali y plus z) zapiše kot y + z. Odštevanje z od y (ali y minus z) se zapiše kot y - z. Deljenje y z z (ali y nad z: y z {\displaystyle y \over z} ) se zapiše kot y ÷ z ali y/z. pogosteje se uporablja y/z.
V algebri lahko množenje y z z (ali y krat z) zapišemo na štiri načine: y × z, y * z, y-z ali samo yz. Simbol za množenje "×" se običajno ne uporablja, ker je preveč podoben črki x, ki se pogosto uporablja kot spremenljivka. Pri množenju večjega izraza lahko uporabimo tudi oklepaje: y (z+1).
Ko v algebri množimo število in črko, zapišemo število pred črko: 5 × y = 5y. Kadar je število 1, 1 ne pišemo, ker je 1 krat katero koli število to število (1 × y = y), zato ga ne potrebujemo.
Kot dodatno opombo naj povem, da v algebri ni treba uporabljati črk x ali y. Spremenljivke so le simboli, ki pomenijo neko neznano število ali vrednost, zato lahko uporabite katero koli spremenljivko, vendar sta x in y najpogostejši.
Funkcije in grafi
Pomemben del algebre je preučevanje funkcij, saj se funkcije pogosto pojavljajo v enačbah, ki jih poskušamo rešiti. Funkcija je kot stroj, v katerega lahko vstavimo število (ali števila) in iz njega dobimo določeno število (ali števila). Pri uporabi funkcij so lahko grafi močno orodje, ki nam pomaga pri preučevanju rešitev enačb.
Graf je slika, na kateri so prikazane vse vrednosti spremenljivk, zaradi katerih je enačba ali neenačba resnična. Običajno je to enostavno narediti, če imamo le eno ali dve spremenljivki. Graf je pogosto premica, in če se premica ne upogiba ali ne poteka naravnost navzgor in navzdol, jo lahko opišemo z osnovno formulo y = mx + b. Spremenljivka b je y-intercept grafa (kjer premica preseka navpično os), m pa je naklon ali strmina premice. Ta formula velja za koordinate grafa, kjer je vsaka točka na premici zapisana (x, y).
V nekaterih matematičnih problemih, kot je enačba premice, je lahko več kot ena spremenljivka (v tem primeru x in y). Za iskanje točk na premici spremenimo eno spremenljivko. Spremenljivka, ki jo spremenimo, se imenuje "neodvisna" spremenljivka. Nato se izvede matematika, da se dobi število. Število, ki ga dobimo, se imenuje "odvisna" spremenljivka. Največkrat je neodvisna spremenljivka zapisana kot x, odvisna spremenljivka pa kot y, na primer y = 3x + 1. To se pogosto prikaže na grafu z osjo x (levo in desno) in osjo y (navzgor in navzdol). Zapišemo ga lahko tudi v obliki funkcije: f(x) = 3x + 1. V tem primeru bi lahko za x vnesli 5 in dobili y = 16. Če bi za x vstavili 2, bi dobili y = 7. Če bi za x vnesli 0, bi dobili y = 1. Tako bi skozi točke (5,16), (2,7) in (0,1) potekala premica, kot je razvidno iz grafa na desni.
Če ima x moč 1, je to premica. Če je kvadrat ali kakšna druga moč, je krivulja. Če uporablja neenakost (< ali > ), je običajno del grafa zasenčen, bodisi nad ali pod premico.


Linearna enačba za y=3x+1
Pravila algebre
V algebri obstaja nekaj pravil, ki jih lahko uporabimo za boljše razumevanje enačb. Imenujemo jih pravila algebre. Čeprav se ta pravila morda zdijo nesmiselna ali očitna, je pametno razumeti, da te lastnosti ne veljajo v vseh vejah matematike. Zato bo koristno vedeti, kako so ta aksiomatska pravila deklarirana, preden jih vzamemo za samoumevna. Preden preidemo k pravilom, razmislimo o dveh definicijah, ki ju bomo podali.
- Nasprotje - nasprotno od {\displaystyle a}
je - a {\displaystyle -a}
.
- Vzajemnost - vzajemnost a {\displaystyle a}
je 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}
.
Pravila
Komutativna lastnost seštevanja
"Komutativni" pomeni, da ima funkcija enak rezultat, če zamenjamo števila. Z drugimi besedami, vrstni red členov v enačbi ni pomemben. Kadar je operator dveh izrazov seštevanje, velja 'komutativna lastnost seštevanja'. V algebrskem jeziku to pomeni a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .
Upoštevajte, da to ne velja za odštevanje! (tj. a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a} )
Komutativna lastnost množenja
Kadar je operator dveh izrazov množenje, velja "komutativna lastnost množenja". V algebrskem smislu to pomeni a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} .
Upoštevajte, da to ne velja za delitev! (tj. a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}}neq {\frac {b}{a}}}}) ko a ≠ b {\displaystyle a\neq b}
)
Asociativna lastnost seštevanja
"Asociativni" se nanaša na združevanje števil. Asociativna lastnost seštevanja pomeni, da pri seštevanju treh ali več členov ni pomembno, kako so ti členi razvrščeni v skupine. Algebrsko to pomeni a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} . Upoštevajte, da to ne velja za odštevanje, npr. 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1}
(glej distributivno lastnost).
Asociativna lastnost množenja
Asociativna lastnost množenja pomeni, da pri množenju treh ali več členov ni pomembno, kako so ti členi razvrščeni v skupine. Algebraično to pomeni a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c} . Upoštevajte, da to ne velja za deljenje, npr. 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2}
.
Distributivna lastnost
Distributivna lastnost pravi, da je množenje števila z drugim izrazom mogoče porazdeliti. Na primer: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac} . (Ne zamenjujte tega z asociativnimi lastnostmi! Na primer, a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c}
.)
Lastnost aditivne identitete
"Identiteta" se nanaša na lastnost števila, da je enako samemu sebi. Z drugimi besedami, obstaja operacija dveh števil, ki je enaka spremenljivki vsote. Lastnost aditivne identitete pravi, da je vsota poljubnega števila in 0 enako temu številu: a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} . To velja tudi za odštevanje: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a}
.
Lastnost multiplikativne identitete
Lastnost multiplikativne identitete pravi, da je produkt poljubnega števila in 1 to število: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a} . To velja tudi za deljenje: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a}
.
Lastnost aditivne inverzije
Lastnost aditivne inverzije je nekako nasprotje lastnosti aditivne identitete. Če je operacija vsota števila in njegovega nasprotja in je enaka 0, je ta operacija veljavna algebrska operacija. Algebrsko je to naslednje: a - a = 0 {\displaystyle a-a=0} . Aditivna inverzija števila 1 je (-1).
Multiplikativna obratna lastnost
Multiplikativna inverzna lastnost pomeni, da če je operacija produkt števila in njegove recipročne vrednosti in je enaka 1, je ta operacija veljavna algebrska operacija. Algebraično je to naslednje: a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}=1} . Multiplikativna inverzija 2 je 1/2.
Napredna algebra
Poleg "elementarne algebre" ali osnovne algebre obstajajo tudi napredne oblike algebre, ki se poučujejo na fakultetah in univerzah, kot so abstraktna algebra, linearna algebra in univerzalna algebra. To vključuje tudi uporabo matrike za reševanje več linearnih enačb naenkrat. Abstraktna algebra je študij stvari, ki jih najdemo v enačbah, in presega števila ter se ukvarja z bolj abstraktnimi skupinami števil.
Veliko matematičnih problemov se nanaša na fiziko in tehniko. V mnogih od teh fizikalnih problemov je čas spremenljivka. Čas uporablja črko t. Z uporabo osnovnih idej algebre lahko matematični problem zmanjšamo na najpreprostejšo obliko in tako lažje rešujemo težke probleme. Energija je e, sila je f, masa je m, pospešek je a, svetlobna hitrost pa je včasih c. To se uporablja v nekaterih znanih enačbah, kot sta f = ma in e=mc^2 (čeprav je bila za zadnjo enačbo potrebna bolj zapletena matematika zunaj algebre).
Sorodne strani
- Seznam matematičnih tem
- Vrstni red operacij
- Parabola
- Sistem računalniške algebre
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je algebra?
O: Algebra je del matematike, ki uporablja spremenljivke za predstavitev vrednosti, ki še ni znana.
V: Kaj v algebri pomeni znak enakosti?
O: Znak enakosti (=) označuje enačbo v algebri.
V: Kaj je funkcija v algebri?
O: Funkcija v algebri je posebna vrsta enačbe, ki vedno spremeni en vhod v en izhod.
V: Kako lahko algebro uporabimo za reševanje resničnih problemov?
O: Algebro lahko uporabimo za reševanje resničnih problemov, ker pravila algebre delujejo tudi v resničnem življenju in ker lahko s števili predstavimo vrednosti resničnih stvari. Fizika, inženirstvo in računalniško programiranje so področja, kjer se algebra uporablja ves čas. Koristno jo je poznati tudi v geodeziji, gradbeništvu in podjetništvu, zlasti v računovodstvu.
V: Katere matematične operacije se v algebri uporabljajo za števila?
O: V algebri uporabljamo pravila števil in matematične operacije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje števil. Naprednejše operacije vključujejo eksponente, začenši s kvadrati in kvadratnimi koreni.
V: Kateri so primeri enačb, ki se uporabljajo v algebri?
O: Primeri enačb, ki se uporabljajo v algebri, so linearne enačbe (enačba ravne črte) in kvadratne enačbe, ki imajo spremenljivke v kvadratu (pomnožene same s seboj).