Algebrska (polinomska) enačba: definicija, primeri in rešitve

Algebrska (polinomska) enačba: jasna definicija, korak-po-korak primeri in metode reševanja (racionalno, realno, kompleksno) za študente in učitelje.

V matematiki je algebrska (polinomska) enačba enačba oblike

P = Q {\displaystyle P=Q}

kjer sta P in Q polinoma nad nekim poljem (na primer nad racionalnimi, realnimi ali kompleksnimi števili). Polinoma sta lahko univariatna (ena spremenljivka) ali multivariatna (več spremenljivk). Na primer:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}

je algebrska enačba nad racionalnimi števili.

Kaj pomeni ekvivalenca enačb

Dve enačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če imata enako množico rešitev — torej vsaka rešitev prve je rešitev druge in obratno. Enačbo P = Q {\displaystyle P=Q} pogosto pretvorimo v ekvivalentno obliko

P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}

Tako preučevanje algebrskih enačb pogosto zmanjšamo na preučevanje polinomov in njihovih ničel.

Koeficienti in pretvorbe

Če ima enačba koeficiente v racionalnih številih, jo lahko vedno množimo z ustreznim nenegativnim celoštevilskim faktorjem, da dobimo ekvivalentno enačbo s koeficienti v celih številih. V zgornjem primeru, da bi se znebili imenovalcev (2, 3 in 7), množimo z 42 = 2·3·7 in združimo člene. Enačba se pretvori v

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Rešitve, koreni in množice dovoljenih rešitev

Rešitve enačbe so vrednosti spremenljivk, za katere enačba drži. Pri polinomskih enačbah pogosto govorimo tudi o korenih ali ničlah polinoma (to so vrednosti za katere P−Q = 0). Pri navajanju rešitev moramo navesti, v kateri množici jih iščemo — to lahko vpliva na obstoj in naravo rešitev:

• v racionalnih številih;
• v celih številih — če iščemo take rešitve, je enačba znana tudi kot diofantska enačba;
• v realnih številih;
• v kompleksnih številih — najpopolnejša možnost, saj po fundamentalnem izreku algebre polinom stopnje n nad kompleksnimi števili ima natanko n korenov, štejejoč večkratnosti.

Stopnja polinoma, večkratnost korenov in lastnosti

Stopnja (deg) enovariatega polinoma je največja potenca spremenljivke z nenicelim koeficientom. Koren ima večkratnost m, če je tudi njegova prva m−1 odvoda nič pri tem korenu. Večkratni koreni so pomembni za analizo grafa polinoma ter pri numeričnem reševanju.

Metode reševanja

Obstaja veliko pristopov, odvisno od vrste in stopnje polinoma:

• Faktorizacija — razcep na linearne in kvadratne faktorje (če je mogoče). Za polinoma z racionalnimi koeficienti koristita teorema o racionalnem korenu in Vietaove formule.
• Analitične formule — rešitve z radikali obstajajo za stopnje 1–4: linearne, kvadratne (kvadratna formula), kubične (Cardanove formule) in kvartične (Ferrari). Za stopnjo ≥5 ni splošne formule z radikali (Abel-Ruffini).
• Galoisova teorija — povezuje simetrijo korenov s strukturo skupin in daje kriterije, kdaj je polinom rešljv z radikali.
• Numerične metode — če analitično reševanje ni mogoče ali praktično, uporabimo metode kot so Newton–Raphson, Durand–Kerner, Bairstow, ali iskanje lastnih vrednosti kompaktne (companion) matrike; te metode dajejo približne kompleksne rešitve.
• Eliminacija in rezultanta — pri multivariatnih problemih uporabimo eliminacijske metode (npr. izračun resultantov) ali Gröbnerjeve baze, da zmanjšamo sistem na enovariaten polinom.

Multivariatne polinomske enačbe in sistemi

Multivariatne enačbe (več spremenljivk) vodijo v sisteme polinomskih enačb. Reševanje takih sistemov je bistveno zahtevnejše in pogosto vključuje tehnike iz računalniške algebre, kot so:

• račun Gröbnerjevih baz za iskanje vseh kompleksnih rešitev ali za odločanje o številu rešitev;
• analizo dimenzije in množice rešitev (algebraične množice ali varietete);
• uporabo numeričnih metod (homotopijska kontinuiteta), kadar iščemo približne rešitve.

Primer: kvadratna enačba

Najbolj poznan primer so kvadratne enačbe stopnje 2. Za enačbo

x^{2}+x-1=0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}

pozitivna rešitev je

x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

kar je znan tudi kot zlat rez ali zlat delež.

Zgodovina reševanja polinomov

Starodavni matematiki so že znali reševati določene enovariate enačbe z radikali, zlasti kvadratne. V renesansi so matematični mojstri, kot sta Gerolamo Cardano in Lodovico Ferrari, razvili formule za kubične in kvartične enačbe. V 19. stoletju je Niels Henrik Abel dokazal, da splošne enačbe stopnje 5 ali višje niso rešljive z radikali v splošnem (Abelov rezultat). Évariste Galois je z uvedbo Galoisove teorije dal sistematična merila za odločanje, kdaj je polinom mogoče razrešiti z radikali in kdaj ne.

Praktične opombe in orodja

• Pri reševanju konkretnih enačb uporabimo kombinacijo simbolnih orodij (računalnična algebra) in numeričnih algoritmov.
• Za diofantske enačbe obstajajo posebne metode in rezultati (npr. metode iz teorije števil), ker rešitve v celih številih niso neposredno odvisne od rešitve v racionalnih ali realnih številih.
• Pri obravnavi večspremenljivčnih problemskih sklopov je pogosto koristno vedeti topološke in geometrijske lastnosti reševalne množice (algebraične varietete).

Na kratko: algebrske (polinomske) enačbe so temeljni predmet v matematiki z bogato teorijo in številnimi praktičnimi metodami reševanja — od preprostih faktorizacij do globokih rezultatov Galoisove teorije in sodobnih numeričnih algoritmov.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je algebrska enačba?

V: Kako sta lahko dve enačbi enakovredni?

V: Kaj pomeni rešiti enačbo?

V: Ali lahko algebrske enačbe nad racionalnimi števili vedno pretvorimo v enačbe s celimi koeficienti?

V: Kdaj so starodavni matematiki želeli radikalne izraze za enolične enačbe?

V: Kdo je v tem času reševal enačbe 3. in 4. stopnje?

V: Kdo je dokazal, da enačb višje stopnje ni mogoče vedno rešiti z uporabo radikalov?

Išči po črki