Algebrska enačba
V matematiki je algebrska enačba, imenovana tudi polinomska enačba v danem polju, enačba v obliki
P = Q {\displaystyle P=Q} 
kjer sta P in Q polinoma nad tem poljem in imata eno (univariatno) ali več kot eno (multivariatno) spremenljivko. Na primer:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
je algebrska enačba nad racionalnimi števili.
Dve enačbi sta enakovredni, če imata enako množico rešitev. To pomeni, da morajo biti vse rešitve druge enačbe tudi rešitve prve enačbe in obratno. Enačba P = Q {\displaystyle P=Q} je ekvivalentna enačbi P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Tako je preučevanje algebrskih enačb enakovredno preučevanju polinomov.
Če je algebrska enačba v racionalnih številih, jo je vedno mogoče pretvoriti v ekvivalentno enačbo, kjer so vsi koeficienti cela števila. V zgornji enačbi na primer pomnožimo z 42 = 2-3-7 in člene združimo v prvi člen. Enačba se pretvori v
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Rešitve enačbe so vrednosti spremenljivk, za katere velja enačba. Pri algebrskih enačbah pa obstajajo tudi korenine. Pri reševanju enačbe moramo povedati, v kateri množici so dovoljene rešitve. Na primer, za enačbo nad racionalnimi števili lahko najdemo rešitve v celih številih. Potem je enačba diofantska enačba. Rešitve lahko iščemo tudi v polju kompleksnih števil. Rešitve lahko iščemo tudi v realnih številih.
Starodavni matematiki so želeli rešitve enorazsežnih enačb (tj. enačb z eno spremenljivko) v obliki radikalnih izrazov, kot je x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
za pozitivno rešitev x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Stari Egipčani so znali na ta način reševati enačbe stopnje 2 (to so enačbe, v katerih je največja moč spremenljivke 2). V renesansi je Gerolamo Cardano rešil enačbo stopnje 3, Lodovico Ferrari pa enačbo stopnje 4. Nazadnje je Niels Henrik Abel leta 1824 dokazal, da enačbe stopnje 5 in enačb višje stopnje ni mogoče vedno rešiti z uporabo radikalov. Galoisova teorija, poimenovana po Évaristu Galoisu, je bila uvedena, da bi podala merila za odločanje, ali je enačba rešljiva z uporabo radikalov.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je algebrska enačba?
O: Algebrska enačba je enačba v obliki P = Q, kjer sta P in Q polinoma nad danim poljem z eno ali več spremenljivkami.
V: Kako sta lahko dve enačbi enakovredni?
O: Dve enačbi sta enakovredni, če imata enako množico rešitev, kar pomeni, da morajo biti vse rešitve ene enačbe tudi rešitve druge enačbe in obratno.
V: Kaj pomeni rešiti enačbo?
O: Reševanje enačbe pomeni iskanje vrednosti spremenljivk, s katerimi je enačba resnična. Te vrednosti imenujemo korenine.
V: Ali lahko algebrske enačbe nad racionalnimi števili vedno pretvorimo v enačbe s celimi koeficienti?
O: Da, z množenjem obeh strani s številom, kot je 42 = 2-3-7, in s grupiranjem členov v prvem členu lahko vsako algebrsko enačbo nad racionalnimi števili pretvorimo v enačbo s celimi koeficienti.
V: Kdaj so starodavni matematiki želeli radikalne izraze za enolične enačbe?
O: Antični matematiki so v obdobju renesanse želeli radikalne izraze (kot je x=1+√5/2) za enomerne enačbe (enačbe z eno spremenljivko).
V: Kdo je v tem času reševal enačbe 3. in 4. stopnje?
O: Gerolamo Cardano je v tem času rešil enačbe stopnje 3, Lodovico Ferrari pa enačbe stopnje 4.
V: Kdo je dokazal, da enačb višje stopnje ni mogoče vedno rešiti z uporabo radikalov?
O: Niels Henrik Abel je leta 1824 dokazal, da enačb višje stopnje ni mogoče vedno rešiti z uporabo radikalov.
