V matematiki beseda "deljenje" pomeni operacijo, ki je nasprotna množenju. Nekateri simboli za deljenje so lahko poševnica, črta ali znak za deljenje ( ÷ {\displaystyle \div }{\displaystyle \div } ), kot npr:

6 / 3 {\displaystyle 6/3\,} ali{\displaystyle 6/3\,}6 3 {\displaystyle {\frac {6}{3}}} ali {\displaystyle {\frac {6}{3}}}6 ÷ 3. {\displaystyle 6\div 3.} {\displaystyle 6\div 3.}

Vsaka od teh treh vrst pomeni "6 deljeno s 3", odgovor pa je 2. Prvo število je dividenda (6), drugo pa delitelj (3). Rezultat (ali odgovor) je količnik. Pri celih številih se vsak preostanek imenuje "ostanek" (na primer 14/4 da 3, pri čemer je ostanek 2, kot število 3+2⁄4, enako kot 3+1⁄2 ali 3,5).

Številke so lahko zelo velike, na primer dvesto: 200/5 = 40 ali 7 milijard: 7.000.000.000.000 / 1000 = 7.000.000 (enako 7 milijonov).

Osnovne lastnosti deljenja

  • Obratna operacija množenju: za katerakoli števila a in b (b ≠ 0) velja a ÷ b = a × (1/b).
  • Deljenje z nič: deljenje z deliteljem 0 ni definirano. Ni števila q, ki bi zadovoljilo a = 0 × q razen če a = 0 — tudi 0 ÷ 0 je nedoločeno (ima več možnih "odgovorov").
  • Različni zapisi: deljenje lahko zapišemo kot a/b, a ÷ b ali v šolski obliki s poševnico; v nekaterih jezikih se uporablja tudi dvopičje (a : b).
  • Racionalnost rezultata: deljenje dveh celih števil vedno da racionalno število (kateri je lahko cela številka, ulomek ali decimalno število, morebiti ponavljajoče se).

Deljenje z ostankom (Evklidska delitev)

Pri deljenju celih števil pogosto zanima količnik brez decimalnega dela in ostanek. Evklidska delitev pravi: za cela števila a in b > 0 obstajata natanko en taki celi števili q (količnik) in r (ostanek), da velja

a = b·q + r s pogojem 0 ≤ r < b.

Primer: 14 = 4·3 + 2, torej 14 ÷ 4 = 3 z ostankom 2. V programiranju in matematiki se ostanek pogosto zapiše z operacijo mod, npr. 14 mod 4 = 2.

Deljenje negativnih števil in predznak

  • Če delimo dve pozitivni ali dve negativni števili, je količnik pozitiven (npr. 6 ÷ 3 = 2, −6 ÷ −3 = 2).
  • Če je eno od števil negativno, je količnik negativen (npr. −6 ÷ 3 = −2, 6 ÷ −3 = −2).
  • Pravila za ostanek pri negativnih deljenjih so odvisna od konvencije; v računalništvu so različne implementacije (npr. ostanek lahko ohranja predznak deljenca ali delitelja).

Ulomki, decimalke in poenostavljanje

Rezultat deljenja lahko zapišemo kot ulomek a/b. Ta ulomek se lahko poenostavi z deljenjem števec in imenovalec z njihovim največjim skupnim deliteljem (NSD). Na primer 6/8 = 3/4 po deljenju z NSD = 2. Če ulomek izrazimo v decimalni obliki, so rezultati lahko končni (npr. 1/4 = 0,25) ali ponavljajoči se (npr. 1/3 = 0,333...).

Algoritem dolgega deljenja

Pri ročnem deljenju večjih števil uporabljamo postopek dolgega deljenja:

  1. Primerjamo najvišje števke deljenca z deliteljem, poiščemo kolikokrat delitelj gre v to števko ali skupino števk.
  2. Pomnožimo delitelj s tem delom količnika, odštejemo od deljenca in spustimo naslednjo števko.
  3. Ponovimo, dokler ne porabimo vseh števk deljenca; ostanek je preostanek pri zadnjem odštevanju.

To je enak postopek, ki ga obravnavajo v šolah, in omogoča računanje količnika in ostanka ročno.

Praktični primeri

  • 200 ÷ 5 = 40 (brez ostanka).
  • 7.000.000.000.000 ÷ 1000 = 7.000.000 (tako kot v zgornjem primeru velikega števila).
  • 7 ÷ 4 = 1,75 (količnik z decimalami) — če želimo samo cel del, je to 1 z ostankom 3, saj 7 = 4·1 + 3.
  • 14 ÷ 4 = 3 z ostankom 2; kot ulomek 14/4 = 7/2 = 3,5.

Uporaba v računalništvu in matematiki

V računalništvu sta pogosta operaciji deljenja z vsemi decimalkami (floating point division) in deljenje z ostankom (modulo). Deljenje je temeljna operacija v algebri, analizi, verjetnosti in pri reševanju enačb — pogosto ga nadomestimo z množenjem z obratnim številom (reciprokom).

Povzetek

Deljenje je osnovna aritmetična operacija, obravnava razmerje med dvema številoma, ima več zapisov in posebnosti (kot so ostanki, decimalke, deljenje z nič). Razumevanje deljenja, njegovih pravil in zapisov je ključno za nadaljnje matematično učenje.