Deljenje v matematiki: definicija, simboli, primeri in ostanki

V matematiki beseda "deljenje" pomeni operacijo, ki je nasprotna množenju. Nekateri simboli za deljenje so lahko poševnica, črta ali znak za deljenje ( ÷ {\displaystyle \div }{\displaystyle \div } ), kot npr:

6 / 3 {\displaystyle 6/3\,} ali{\displaystyle 6/3\,}6 3 {\displaystyle {\frac {6}{3}}} ali {\displaystyle {\frac {6}{3}}}6 ÷ 3. {\displaystyle 6\div 3.} {\displaystyle 6\div 3.}

Vsaka od teh treh vrst pomeni "6 deljeno s 3", odgovor pa je 2. Prvo število je dividenda (6), drugo pa delitelj (3). Rezultat (ali odgovor) je količnik. Pri celih številih se vsak preostanek imenuje "ostanek" (na primer 14/4 da 3, pri čemer je ostanek 2, kot število 3+2⁄4, enako kot 3+1⁄2 ali 3,5).

Številke so lahko zelo velike, na primer dvesto: 200/5 = 40 ali 7 milijard: 7.000.000.000.000 / 1000 = 7.000.000 (enako 7 milijonov).

Osnovne lastnosti deljenja

  • Obratna operacija množenju: za katerakoli števila a in b (b ≠ 0) velja a ÷ b = a × (1/b).
  • Deljenje z nič: deljenje z deliteljem 0 ni definirano. Ni števila q, ki bi zadovoljilo a = 0 × q razen če a = 0 — tudi 0 ÷ 0 je nedoločeno (ima več možnih "odgovorov").
  • Različni zapisi: deljenje lahko zapišemo kot a/b, a ÷ b ali v šolski obliki s poševnico; v nekaterih jezikih se uporablja tudi dvopičje (a : b).
  • Racionalnost rezultata: deljenje dveh celih števil vedno da racionalno število (kateri je lahko cela številka, ulomek ali decimalno število, morebiti ponavljajoče se).

Deljenje z ostankom (Evklidska delitev)

Pri deljenju celih števil pogosto zanima količnik brez decimalnega dela in ostanek. Evklidska delitev pravi: za cela števila a in b > 0 obstajata natanko en taki celi števili q (količnik) in r (ostanek), da velja

a = b·q + r s pogojem 0 ≤ r < b.

Primer: 14 = 4·3 + 2, torej 14 ÷ 4 = 3 z ostankom 2. V programiranju in matematiki se ostanek pogosto zapiše z operacijo mod, npr. 14 mod 4 = 2.

Deljenje negativnih števil in predznak

  • Če delimo dve pozitivni ali dve negativni števili, je količnik pozitiven (npr. 6 ÷ 3 = 2, −6 ÷ −3 = 2).
  • Če je eno od števil negativno, je količnik negativen (npr. −6 ÷ 3 = −2, 6 ÷ −3 = −2).
  • Pravila za ostanek pri negativnih deljenjih so odvisna od konvencije; v računalništvu so različne implementacije (npr. ostanek lahko ohranja predznak deljenca ali delitelja).

Ulomki, decimalke in poenostavljanje

Rezultat deljenja lahko zapišemo kot ulomek a/b. Ta ulomek se lahko poenostavi z deljenjem števec in imenovalec z njihovim največjim skupnim deliteljem (NSD). Na primer 6/8 = 3/4 po deljenju z NSD = 2. Če ulomek izrazimo v decimalni obliki, so rezultati lahko končni (npr. 1/4 = 0,25) ali ponavljajoči se (npr. 1/3 = 0,333...).

Algoritem dolgega deljenja

Pri ročnem deljenju večjih števil uporabljamo postopek dolgega deljenja:

  1. Primerjamo najvišje števke deljenca z deliteljem, poiščemo kolikokrat delitelj gre v to števko ali skupino števk.
  2. Pomnožimo delitelj s tem delom količnika, odštejemo od deljenca in spustimo naslednjo števko.
  3. Ponovimo, dokler ne porabimo vseh števk deljenca; ostanek je preostanek pri zadnjem odštevanju.

To je enak postopek, ki ga obravnavajo v šolah, in omogoča računanje količnika in ostanka ročno.

Praktični primeri

  • 200 ÷ 5 = 40 (brez ostanka).
  • 7.000.000.000.000 ÷ 1000 = 7.000.000 (tako kot v zgornjem primeru velikega števila).
  • 7 ÷ 4 = 1,75 (količnik z decimalami) — če želimo samo cel del, je to 1 z ostankom 3, saj 7 = 4·1 + 3.
  • 14 ÷ 4 = 3 z ostankom 2; kot ulomek 14/4 = 7/2 = 3,5.

Uporaba v računalništvu in matematiki

V računalništvu sta pogosta operaciji deljenja z vsemi decimalkami (floating point division) in deljenje z ostankom (modulo). Deljenje je temeljna operacija v algebri, analizi, verjetnosti in pri reševanju enačb — pogosto ga nadomestimo z množenjem z obratnim številom (reciprokom).

Povzetek

Deljenje je osnovna aritmetična operacija, obravnava razmerje med dvema številoma, ima več zapisov in posebnosti (kot so ostanki, decimalke, deljenje z nič). Razumevanje deljenja, njegovih pravil in zapisov je ključno za nadaljnje matematično učenje.

Zoom

20 : 4 = 5 {\displaystyle 20:4=5} {\displaystyle 20:4=5}

Z množenjem

Če je c krat b enako a, je zapisano kot:

c × b = a {\displaystyle c\krat b=a} {\displaystyle c\times b=a}

če b ni nič, potem je a, deljeno z b, enako c, kar je zapisano kot:

a b = c {\displaystyle {\frac {a}{b}}=c} {\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}

Na primer,

6 3 = 2 {\displaystyle {\frac {6}{3}}=2} {\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}

od .

2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\krat 3=6}{\displaystyle 2\times 3=6} .

V zgornjem izrazu se a imenuje dividenda, b delitelj, c pa kvocient.

Deljenje z ničlo

x 0 = ? {\displaystyle {\frac {x}{0}}=? } {\displaystyle {\frac {x}{0}}=?}

...ni opredeljen.

Zapis

Deljenje najpogosteje prikažemo tako, da dividendo postavimo nad delitelja, med njima pa je vodoravna črta, imenovana tudi vinkula. Na primer, a deljeno z b je zapisano

a b . {\displaystyle {\frac {a}{b}}. } {\displaystyle {\frac {a}{b}}.}

To lahko glasno preberete kot "a deljeno z b" ali "a nad b". Delitev lahko izrazimo v eni vrstici tako, da zapišemo dividendo, nato poševnico in nato delitelja, kot sledi:

a / b . {\displaystyle a/b.\,} {\displaystyle a/b.\,}

To je običajen način določanja delitve v večini računalniških programskih jezikov, saj jo je mogoče preprosto vnesti kot preprosto zaporedje znakov.

Tipografska različica, ki je na pol poti med tema dvema oblikama, uporablja poševnico, vendar dviga dividendo in znižuje delitelj:

a⁄b .

Za prikaz ulomka lahko uporabite katero koli od teh oblik. Ulomek je izraz za deljenje, kjer sta tako dividenda kot delitelj celi števili (čeprav ju običajno imenujemo števec in imenovalec). Ulomek je sprejet način zapisovanja števil. Ni vedno pričakovano, da je rezultat deljenja zapisan z decimalnimi števili.

Manj pogost način prikazovanja delitve je uporaba obeležja (ali znaka za delitev) na ta način:

a ÷ b . {\displaystyle a\div b. } {\displaystyle a\div b.}

V osnovni aritmetiki pa se ta oblika uporablja precej pogosto. Obelus se uporablja tudi za predstavitev same operacije deljenja, na primer kot oznaka na tipki kalkulatorja.

V nekaterih neangleško govorečih kulturah je "a deljeno z b" zapisano a : b. Vendar je v angleščini dvopičje omejeno na izražanje sorodnega pojma razmerja (a : b pomeni "a je do b").

Sorodne strani

Vprašanja in odgovori

V: Kaj pomeni beseda "delitev" v matematiki?


O: V matematiki je deljenje operacija, ki je nasprotna množenju.

V: Kateri so simboli za deljenje?


O: Simbola za deljenje sta poševnica ( / ) in črta za ulomek.

V: Kaj je dividenda v problemu deljenja?


O: Prvo število v problemu deljenja se imenuje dividenda.

V: Kaj je delitelj v delitveni nalogi?


O: Drugo število v delitveni nalogi se imenuje delitelj.

V: Kako se imenuje rezultat delitvenega problema?


O: Rezultat delitvenega problema se imenuje količnik, preostali del v obliki celih števil pa se imenuje "ostanek".

V: Ali lahko pri deljenju uporabimo velika števila?


O: Da, pri deljenju lahko uporabimo zelo velika števila, na primer dvesto ali sedem milijard.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3