Deljenje z ničlo

V matematiki števila ni mogoče deliti z ničlo. Opazuj:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Če je B = 0, potem je C = 0. To je res. Toda:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(kjer je B=0, torej smo samo delili z nič)

Kar je enako kot:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Težava je v tem, da je A {\displaystyle A} $A$ lahko katero koli število. To bi delovalo, če bi bilo A {\displaystyle A} $A$ 1 ali če bi bilo 1,000,000,000,000. 0/0 je iz tega razloga "nedoločljive oblike", saj nima ene same vrednosti. Za števila oblike A/0, kjer A {\displaystyle A} $A$ ni 0, pa pravimo, da so "nedoločena" ali "nedoločena". To je zato, ker bo vsak poskus njihove definicije privedel do vrednosti neskončnosti, ki je sama po sebi nedoločena. Kadar sta dve števili enaki isti stvari, sta navadno enaki drug drugemu. To ne velja, kadar je stvar, ki sta ji obe enaki, 0/0. To pomeni, da običajna pravila matematike ne delujejo, kadar je število deljeno z nič.

Nepravilni dokazi, ki temeljijo na deljenju z ničlo

Poseben primer deljenja z ničlo je mogoče prikriti z algebrskim argumentom. To lahko privede do neveljavnih dokazov, kot je 1=2, kot v naslednjem primeru:

Z naslednjimi predpostavkami:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\časov 1&=0\0\časov 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Velja naslednje:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\krat 1=0\krat 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Če delimo z nič, dobimo:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}krat 1={\frac {0}{0}}krat 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Poenostavite:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Napačna je predpostavka, da je deljenje z 0 legitimna operacija, pri kateri je 0/0 = 1.

Večina ljudi bi zgornji "dokaz" verjetno prepoznala kot napačen, vendar lahko isti argument predstavimo tako, da je napako težje opaziti. Na primer, če 1 zapišemo kot x, se lahko 0 skriva za x-x, 2 pa za x+x. Zgoraj omenjeni dokaz lahko nato prikažemo na naslednji način:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

zato:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Z deljenjem z x - x dobimo:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

in deljenjem z x dobimo:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Zgornji "dokaz" je napačen, ker se pri deljenju z x-x deli z ničlo, saj je vsako število, ki je minus samo po sebi, enako nič.

Calculus

V računu so zgornje "nedoločene oblike" tudi posledica neposredne zamenjave pri vrednotenju limit.

Deljenje z ničlo v računalnikih

Če računalniški program poskuša deliti celo število z nič, operacijski sistem to običajno zazna in ustavi program. Običajno izpiše "sporočilo o napaki" ali pa programerju svetuje, kako naj izboljša program^[]. Deljenje z ničlo je pogosta napaka v računalniškem programiranju. Pri deljenju števil s plavajočo vejico (decimalk) z ničlo se običajno pojavi neskončnost ali posebna vrednost NaN (ni število), odvisno od tega, kaj se deli z ničlo.

Deljenje z ničlo v geometriji

V geometriji 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Ta neskončnost (projektivna neskončnost) ni niti pozitivno niti negativno število, tako kot nič ni niti pozitivno niti negativno število

Vprašanja in odgovori

V: Kakšen je rezultat deljenja števila z ničlo?

O: Rezultat deljenja števila z ničlo je "nedoločena" ali "nedoločljiva oblika", kar pomeni, da število nima ene same vrednosti.

V: Kaj pomeni 0/0?

O: Za 0/0 pravimo, da ima "nedoločeno obliko", ker nima ene same vrednosti.

V: Kaj se zgodi, če sta dve števili enaki isti stvari, vendar je ta stvar 0/0?

O: Običajna pravila matematike ne delujejo, kadar je število deljeno z ničlo, zato obe števili ne bi bili enaki drug drugemu.

V: Ali je res, da bo vsak poskus definiranja števila v obliki A/0 privedel do vrednosti neskončnosti?

O: Da, vsak poskus definiranja števila v obliki A/0 (kjer A ni 0) ima za posledico vrednost neskončnosti, ki sama po sebi ni definirana.

V: Kako lahko ugotovimo, ali sta si dve števili enaki?

O: Če sta dve števili enaki drug drugemu, lahko ugotovimo, ali sta obe enaki isti stvari. Običajno to deluje, vendar to ne velja, kadar sta obe števili enaki 0/0.

V: Ali obstajajo izjeme, ko števila ne moremo deliti z nič? O: Da, v matematiki ni mogoče deliti števila z ničlo.