AlegsaOnline.com

Deljenje z ničlo: zakaj sta 0/0 in A/0 nedoločljiva

Deljenje z ničlo razloženo: zakaj sta 0/0 in A/0 nedoločljiva, kaj pomeni indeterminiranost in kako neskončnost poruši običajna matematična pravila.

Avtor: Leandro Alegsa Datum ustvarjanja: 17. maj 2021 Zadnja posodobitev: 21. oktober 2025

en.wikipedia.org · CC BY-SA 4.0

V matematiki števila ni mogoče deliti z ničlo. Razložimo, zakaj je tako in v čem se razlikujeta primera 0/0 in A/0 (ko A ≠ 0).

Osnovni pomen deljenja

Deljenje je definirano kot inverzna operacija množenja. Trditev

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

pomeni, da če želimo poiskati A = C / B, iščemo takšno A, da množenje B * A da C:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

Primer: B = 0

Če je B = 0, potem ima izraz B * A vedno vrednost 0 za poljuben A, torej je rezultat C = 0. To je pravilno. Posledica je:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Težava pri 0/0 je v tem, da je A {\displaystyle A} $A$ lahko katero koli število — za vsak A velja 0 * A = 0. Zato izraz 0/0 nima ene same določne vrednosti in ga imenujemo nedoločljiva oblika.

A/0 za A ≠ 0

Če je A ≠ 0, potem ni nobenega števila X, za katerega bi veljalo 0 * X = A, ker je 0 * X vedno 0. Zato izraz A/0 (A ≠ 0) nima rešitve v običajnih realnih številih — ni števila, ki bi zadostilo definiciji deljenja. Zato tak izraz imenujemo nedoločljiv ali nenedavni (pogovorno: vodi v "neskončnost", vendar neskončnost sama ni realno število).

Intuitivna pojasnila in primeri

Množična inverznost: Deljenje A/B obstaja natanko takrat, kadar obstaja multiplikativni inverz za B (številu B obstaja inverz 1/B). Za B = 0 tak inverz ne obstaja.
A/0, A ≠ 0: Poskus definiranja privede do nezdružljivosti z množenjem — zato rečemo, da je izraz nedoločen. V analizi se pogosto opisuje, da se funkcije obnašajo kot "grejo v +∞ ali −∞", a to ni isto kot enačba z realno vrednostjo.
0/0 (indeterminata) v limitah: V računu limit 0/0 pomeni, da sama oblika ne določa končne vrednosti — različne izraze, ki v števcu in imenovalcu oba gredo proti 0, lahko dajo različne limite. Na primer:
- (sin x)/x → 1, ko x → 0;
- x^2/x = x → 0, ko x → 0.
Zato 0/0 ni "ena vrednost" — odvisno je, kako število nastopa kot rezultat limita.
Orodja: V primeru limit, kjer dobimo 0/0, uporabimo tehnike kot je L'Hôpitalovo pravilo ali algebrske poenostavitve, da določimo končno vrednost (če obstaja).

Tehnična opomba o neskončnosti

V razširjenih številskih sistemih (npr. razšireni realni premici ali projektivni premici) se včasih uvedejo simboli za neskončnost, vendar operacije z njimi niso enake kot z običajnimi realnimi številkami. Tudi v teh razširitvah deljenje z ničlo ni v splošnem smiselno brez dodatnih pravil — zato je varneje reči, da je deljenje z ničlo nedoločljivo v standardni aritmetiki.

Praktični nasvet

Ne delajte operacij, ki delijo z ničlo v računih in programih; v računalništvu bo tak izraz pogosto povzročil napako ali posebno vrednost (NaN ali izraze, ki predstavljajo neskončnost). Če se pojavi 0/0 v kontekstu limit ali zgolj algebraične poenostavitve, poiščite dodatne informacije (poenostavite izraze ali uporabite metode iz analize), saj sama oblika ne pove dovolj.

Kadar sta dve števili enaki isti stvari, sta navadno enaki drug drugemu. To ne velja, kadar je stvar, ki sta ji obe enaki, 0/0. To pomeni, da običajna pravila matematike ne delujejo, kadar je število deljeno z nič.

Za več o pojmu neskončnosti si lahko preberete tudi članek o neskončnosti.

Nepravilni dokazi, ki temeljijo na deljenju z ničlo

Poseben primer deljenja z ničlo je mogoče prikriti z algebrskim argumentom. To lahko privede do neveljavnih dokazov, kot je 1=2, kot v naslednjem primeru:

Z naslednjimi predpostavkami:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\časov 1&=0\0\časov 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Velja naslednje:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\krat 1=0\krat 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Če delimo z nič, dobimo:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}krat 1={\frac {0}{0}}krat 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Poenostavite:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Napačna je predpostavka, da je deljenje z 0 legitimna operacija, pri kateri je 0/0 = 1.

Večina ljudi bi zgornji "dokaz" verjetno prepoznala kot napačen, vendar lahko isti argument predstavimo tako, da je napako težje opaziti. Na primer, če 1 zapišemo kot x, se lahko 0 skriva za x-x, 2 pa za x+x. Zgoraj omenjeni dokaz lahko nato prikažemo na naslednji način:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

zato:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Z deljenjem z x - x dobimo:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

in deljenjem z x dobimo:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Zgornji "dokaz" je napačen, ker se pri deljenju z x-x deli z ničlo, saj je vsako število, ki je minus samo po sebi, enako nič.

Calculus

V računu so zgornje "nedoločene oblike" tudi posledica neposredne zamenjave pri vrednotenju limit.

Deljenje z ničlo v računalnikih

Če računalniški program poskuša deliti celo število z nič, operacijski sistem to običajno zazna in ustavi program. Običajno izpiše "sporočilo o napaki" ali pa programerju svetuje, kako naj izboljša program^[]. Deljenje z ničlo je pogosta napaka v računalniškem programiranju. Pri deljenju števil s plavajočo vejico (decimalk) z ničlo se običajno pojavi neskončnost ali posebna vrednost NaN (ni število), odvisno od tega, kaj se deli z ničlo.

Deljenje z ničlo v geometriji

V geometriji 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Ta neskončnost (projektivna neskončnost) ni niti pozitivno niti negativno število, tako kot nič ni niti pozitivno niti negativno število

Vprašanja in odgovori

V: Kakšen je rezultat deljenja števila z ničlo?

O: Rezultat deljenja števila z ničlo je "nedoločena" ali "nedoločljiva oblika", kar pomeni, da število nima ene same vrednosti.

V: Kaj pomeni 0/0?

O: Za 0/0 pravimo, da ima "nedoločeno obliko", ker nima ene same vrednosti.

V: Kaj se zgodi, če sta dve števili enaki isti stvari, vendar je ta stvar 0/0?

O: Običajna pravila matematike ne delujejo, kadar je število deljeno z ničlo, zato obe števili ne bi bili enaki drug drugemu.

V: Ali je res, da bo vsak poskus definiranja števila v obliki A/0 privedel do vrednosti neskončnosti?

O: Da, vsak poskus definiranja števila v obliki A/0 (kjer A ni 0) ima za posledico vrednost neskončnosti, ki sama po sebi ni definirana.

V: Kako lahko ugotovimo, ali sta si dve števili enaki?

O: Če sta dve števili enaki drug drugemu, lahko ugotovimo, ali sta obe enaki isti stvari. Običajno to deluje, vendar to ne velja, kadar sta obe števili enaki 0/0.

V: Ali obstajajo izjeme, ko števila ne moremo deliti z nič? O: Da, v matematiki ni mogoče deliti števila z ničlo.