Kalkulus: Uvod in definicija diferencialnega in integralnega računa

V sedemdesetih in osemdesetih letih 16. stoletja sta sir Isaac Newton v Angliji in Gottfried Leibniz v Nemčiji istočasno, ločeno drug od drugega, razvila računalo. Newton je želel imeti nov način za napovedovanje, kje na nebu lahko vidimo planete, saj je bila astronomija že od nekdaj priljubljena in uporabna oblika znanosti, poznavanje gibanja teles na nočnem nebu pa je bilo pomembno za navigacijo ladij. Leibniz je želel izmeriti prostor (površino) pod krivuljo (črto, ki ni ravna). Mnogo let pozneje sta se prepirala, kdo je prvi odkril krivuljo. Znanstveniki iz Anglije so podpirali Newtona, znanstveniki iz preostale Evrope pa Leibniza. Večina matematikov se danes strinja, da si zasluge za to enakovredno delita oba moška. Nekateri deli sodobnega računa izvirajo od Newtona, na primer njegova uporaba v fiziki. Drugi deli, na primer simboli, ki se uporabljajo za zapisovanje, so delo Leibniza.

Nista bila prva, ki sta za opisovanje fizičnega sveta uporabljala matematiko - prej sta jo uporabljala Aristotel in Pitagora, pa tudi Galileo Galilei, ki je dejal, da je matematika jezik znanosti. Vendar sta bila Newton in Leibniz prva, ki sta oblikovala sistem, ki opisuje, kako se stvari spreminjajo skozi čas, in lahko predvidi, kako se bodo spreminjale v prihodnosti.

Ime "calculus" je latinska beseda za majhen kamen, ki so ga stari Rimljani uporabljali pri štetju in igrah na srečo. Angleška beseda "calculate" izhaja iz iste latinske besede.

Diferencialni račun se uporablja za ugotavljanje hitrosti spreminjanja spremenljivke v primerjavi z drugo spremenljivko.

V resničnem svetu ga lahko uporabimo za ugotavljanje hitrosti premikajočega se predmeta ali za razumevanje delovanja elektrike in magnetizma. Je zelo pomemben za razumevanje fizike in številnih drugih področij znanosti.

Diferencialni račun je uporaben tudi za izdelavo grafov. Z njim lahko poiščemo naklon krivulje ter najvišjo in najnižjo točko krivulje (imenovano maksimum in minimum).

Spremenljivke lahko spremenijo svojo vrednost. To se razlikuje od števil, saj so števila vedno enaka. Na primer, število 1 je vedno enako 1, število 200 pa je vedno enako 200. Spremenljivke pogosto zapišemo kot črke, na primer črko x. "X" je lahko v eni točki enak 1, v drugi pa 200.

Primera spremenljivk sta razdalja in čas, saj se lahko spreminjata. Hitrost predmeta je, kako daleč se premakne v določenem času. Če je mesto oddaljeno 80 kilometrov in oseba z avtomobilom pride tja v eni uri, je potovala s povprečno hitrostjo 80 kilometrov na uro. Vendar je to le povprečje - morda je v nekaterih trenutkih (na avtocesti) potovala hitreje, v drugih pa počasneje (pri semaforju ali v majhni ulici, kjer živijo ljudje). Predstavljajte si voznika, ki poskuša ugotoviti hitrost avtomobila samo s pomočjo števca prevožene razdalje in ure, brez merilnika hitrosti!

Dokler ni bil izumljen račun, je bilo to mogoče ugotoviti le tako, da smo čas razrezali na vedno manjše dele, tako da se je povprečna hitrost v manjšem času vedno bolj približevala dejanski hitrosti v določenem trenutku. To je bil zelo dolgotrajen in zahteven postopek, ki ga je bilo treba opraviti vsakič, ko so ljudje želeli nekaj ugotoviti.

Zelo podoben problem je iskanje naklona (kako strm je) v kateri koli točki na krivulji. Naklon ravne črte je enostavno ugotoviti - preprosto je to, koliko gre navzgor (y ali navpičnica), deljeno s tem, koliko gre čez (x ali vodoravnica). Na krivulji pa je naklon spremenljivka (v različnih točkah ima različne vrednosti), ker se premica upogiba. Če pa bi krivuljo razrezali na zelo, zelo majhne koščke, bi bila krivulja v točki videti skoraj kot zelo kratka ravna črta. Da bi ugotovili njen naklon, lahko skozi točko potegnemo premico z enakim naklonom, kot ga ima krivulja v tej točki. Če je ravna črta narejena povsem pravilno, bo imela enak naklon kot krivulja in jo imenujemo tangenta. Vendar ni načina, da bi vedeli (brez zelo zapletene matematike), ali je tangenta povsem prava, naše oči pa niso dovolj natančne, da bi se lahko prepričali, ali je natančna ali pa je le zelo blizu.

Newton in Leibniz sta našla način, kako s preprostimi in logičnimi pravili natančno določiti naklon (ali hitrost v primeru razdalje). Krivuljo sta razdelila na neskončno število zelo majhnih delov. Nato sta izbrala točke na obeh straneh območja, ki ju je zanimalo, in na vsaki od njih določila tangente. Ko so se točke približale točki, ki jih je zanimala, se je naklon približal določeni vrednosti, saj so se tangente približale dejanskemu naklonu krivulje. Posebna vrednost, ki se ji je približala, je bila dejanski naklon.

Recimo, da imamo funkcijo y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f je kratica za funkcijo, zato ta enačba pomeni "y je funkcija x". To nam pove, da je višina y na navpični osi odvisna od trenutne vrednosti x (vodoravna os). Na primer z enačbo y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} vemo, da če je x {\displaystyle x} 1, potem bo y {\displaystyle y} 1; če je x {\displaystyle x} 3, potem bo y {\displaystyle y} 9; če je x {\displaystyle x} 20, potem bo y {\displaystyle y} 400. Izpeljava, dobljena s to metodo, je x 2{\displaystyle 2x} ali 2, pomnoženo z x {\displaystyle x}. Tako vemo, ne da bi nam bilo treba narisati kakršne koli tangente, da je v katerikoli točki na krivulji f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , izpeljanka f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (označen s simbolom praštevil), bo v vsaki točki enak x 2{\displaystyle 2x}. Ta postopek določanja naklona z uporabo mej se imenuje diferenciranje ali iskanje derivata.

Matematični zapis derivata je f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz je prišel do istega rezultata, vendar je h " d x {\displaystyle dx} ", kar pomeni "glede na x". Nastalo spremembo f ( x ) je imenoval {\displaystyle f(x)}. " d y {\displaystyle dy} ", kar pomeni "majhen del y". Leibnizov zapis je uporabljen v več knjigah, ker ga je lažje razumeti, ko enačbe postanejo bolj zapletene. V Leibnizovem zapisu: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matematiki so to osnovno teorijo razvili v preprosta algebrska pravila, ki jih lahko uporabimo za iskanje derivata skoraj vsake funkcije.

Integralni račun je postopek računanja površine pod grafom funkcije. Primer je izračun razdalje, ki jo prevozi avtomobil: če poznamo hitrost avtomobila v različnih časovnih točkah in narišemo graf te hitrosti, potem je razdalja, ki jo prevozi avtomobil, površina pod grafom.

To storimo tako, da graf razdelimo na veliko zelo majhnih delov in pod vsak del narišemo zelo tanke pravokotnike. Ko pravokotniki postajajo vse tanjši in tanjši, vedno bolje pokrivajo območje pod grafom. Površino pravokotnika je enostavno izračunati, zato lahko izračunamo skupno površino vseh pravokotnikov. Pri tanjših pravokotnikih se ta skupna površina približuje površini pod grafom. Končno vrednost površine imenujemo integral funkcije.

V matematiki se integral funkcije f(x) od a do b zapiše kot ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Glavna misel v računu se imenuje temeljni teorem v računu. Ta glavna misel pravi, da sta si dva računska postopka, diferencialni in integralni račun, nasprotna. To pomeni, da lahko oseba uporabi diferencialni račun za razveljavitev postopka integralnega računa. Prav tako lahko oseba uporabi integralni račun za razveljavitev metode diferencialnega računa. To je enako, kot če bi z deljenjem "izničili" množenje ali s seštevanjem "izničili" odštevanje.

Temeljni stavek se v enem stavku glasi približno takole: "Izpeljava integrala funkcije f je funkcija sama".

Kalkul se uporablja za opis stvari, ki se spreminjajo, kot so stvari v naravi. Uporablja se lahko za prikaz in učenje vseh teh stvari:

• Kako se gibljejo valovi. Valovi so v naravi zelo pomembni. Na primer, zvok in svetlobo si lahko predstavljamo kot valovanje.
• Kjer se toplota premika, kot v hiši. To je koristno za arhitekturo (gradnjo hiš), da je ogrevanje hiše čim cenejše.
• Kako delujejo zelo majhne stvari, kot so atomi.
• Kako hitro bo nekaj padlo, znano tudi kot gravitacija.
• Delovanje strojev, znano tudi kot mehanika.
• Pot Lune, ki se giblje okoli Zemlje. Prav tako pot Zemlje, ko se giblje okoli Sonca, in vsakega planeta ali lune, ki se giblje okoli česar koli v vesolju.