V matematiki je funkcija matematični objekt, ki vsakemu elementu iz neke množice (vhodu) priredi natanko en element iz druge množice (izhoda). Vhodi so pogosto števila, vektorji ali drugi objekti, izhodi pa so objekti iste ali druge vrste — bistvo pa je, da so parjenje vhoda in izhoda jasno določeni.
Funkcijo si lahko predstavljamo kot "stroj", ki sprejme vrednost x in vrne izhodno vrednost y. Množica vseh možnih vhodnih vrednosti se imenuje domena. Množica, znotraj katere ležijo vsi možni izhodi funkcije, se imenuje kodomen (ang. codomain). Pogosto se razlikuje med kodomenom in dejansko množico vrednosti, ki jih funkcija doseže — to zadnjo množico imenujemo vrednostna množica ali image (obseg).
Če za neko pravilo zapišemo, da iz x nastane y, pišemo, da je y funkcija x in zapišemo y = f(x). Črka f je ime funkcije. Pogosta simbolna oblika za funkcijo je:
f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 
Ta zapis pomeni: f je funkcija, katere domena je X, kodomen pa Y. Puščica predstavlja pravilo, ki vsakemu elementu iz X priredi en element iz Y.
Preprost primer
Enostaven primer funkcije je f(x) = x + 1. Če kot vhod vzamemo naravna števila x {\displaystyle x}
(0, 1, 2, 3, ...), dobimo kot izhode naravna števila y {\displaystyle y} 
, kjer je y {\displaystyle y} + 1 — torej za vhod 0 je izhod 1, za vhod 1 je izhod 2 itd. Ta primer kaže osnovno lastnost funkcije: vsakemu vhodu je prirejen natanko en izhod.
Notacija in lastnosti
- Domena (X): množica vseh dovoljenih vhodov.
- Kodomen (Y): množica, v kateri naj bi bili izhodi; nekatere vrednosti iz kodomena morda niso dosežene.
- Vrednostna množica (image): dejanska množica izhodov f(X) = { f(x) : x ∈ X }.
- Enoličnost: za vsak x ∈ X obstaja natanko en y ∈ Y tak, da y = f(x).
Vrste funkcij (kratka razlaga)
- Injektivna (ena na ena): različni vhodi dajo različne izhode. Formalno: če f(x1)=f(x2), potem x1=x2.
- Surjektivna (na): za vsak y ∈ Y obstaja x ∈ X, da je f(x)=y; torej je image enak kodomenu.
- Bijektivna: funkcija, ki je hkrati injektivna in surjektiv; ima obratno funkcijo (inverz).
- Kompozicija funkcij: če sta f : X → Y in g : Y → Z, je (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Kompozicija povezuje procese.
Primeri različnih funkcij
- f(x) = x^2 z domeno R (realnih števil) je funkcija, katere image je [0, ∞); ni injektivna na celotnih R (ker f(-1)=f(1)), vendar je surjektivna na [0, ∞).
- f(x) = 2x + 3 na R je bijektivna (ima inverz f^{-1}(y) = (y-3)/2).
- Absolutna vrednost g(x) = |x| je funkcija z domeno R in image [0, ∞); ni injektivna, razen če domeno omejimo na [0, ∞).
- Diskretna funkcija: npr. f: {a,b,c} → {1,2} s parjenji f(a)=1, f(b)=2, f(c)=1. Tu lahko jasno vidimo mapping med končnimi množicami.
- Delno definirane funkcije in členaste (piecewise) funkcije: funkcija je lahko definirana z različnimi obrazci na različnih delih domene, npr. f(x)=x^2 za x≤0 in f(x)=x+1 za x>0.
Graf funkcije
Graf funkcije f : R → R je množica točk v ravnini {(x, f(x)) : x ∈ R}. Graf daje vizualen prikaz obnašanja funkcije — npr. kjer raste, pada, kje ima maksimum ali minimum, asimptote in podobno.
Kaj funkcija ni
Funkcija ni le matematična formula; lahko je pravilo, tabela, račun ali celo zapleten algoritem, ki vsakemu vhodu priredi točno en izhod. Bistveno je pravilo parjenja, ne oblika zapisa.
Zaključek
Funkcija je temeljni koncept v matematiki, uporaben v skoraj vseh vejah (analiza, algebra, statistika, računalništvo). Razumevanje domene, kodomena, image in lastnosti (injektivnost, surjektivnost, bijektivnost) pomaga pri analizi in uporabi funkcij v praktičnih in teoretičnih primerih.
