Funkcija
V matematiki je funkcija matematični objekt, ki daje izhod, ko dobi vhodni podatek - lahko je število, vektor ali kar koli, kar lahko obstaja znotraj niza stvari.
Funkcija je torej kot stroj, ki sprejme vrednosti x in vrne izhodno vrednost y. Množica vseh vrednosti, ki jih lahko ima x, se imenuje domena. Množica, ki vsebuje vse vrednosti, ki jih lahko ima y, se imenuje kodomen.
Če se to zgodi, rečemo, da je y funkcija x, in zapišemo y =f(x). f je ime funkcije in zapišemo f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 
(funkcija iz X v Y), da bi predstavili tri dele funkcije: domeno (x), sorodno domeno (y) in postopek parjenja (puščica).
Primer funkcije je f(x)=x+1. Kot vhod podamo naravno število x {\displaystyle x}
(0,1,2,3...) in dobimo naravno število y {\displaystyle y} 
ki je x {\displaystyle x} +1 (1,2,3,4...) Zamisel o funkciji je bila oblikovana tako, da zajema vse vrste možnosti. Ni nujno, da je funkcija enačba. Glavna ideja je, da so vhodi in izhodi nekako povezani v par, tudi če je postopek zelo zapleten.
Metafore
Tabele
Vhode in izhode lahko vnesete v tabelo, kot je prikazana na sliki; to je enostavno, če ni preveč podatkov.
Grafi
Na sliki je razvidno, da sta 2 in 3 povezana s c; v drugo smer to ni dovoljeno, 2 ne bi mogla izvesti c in d, vsak vhod ima lahko le en izhod. Vsi f ( x ) {\displaystyle f(x)} 
(c in d na sliki) običajno imenujemo slikovna množica f {\displaystyle f}, 
slikovna množica pa je lahko celotna kodomena ali ne. Lahko rečemo, da je podmnožica A kodomena s slikovno množico f(A). Če imajo vhodi in izhodi določen vrstni red, jih je enostavno narisati na graf:
To bo omogočilo, da se 2 in 3 spari z ni dovoljeno v drugo smer, tudi med kodno domeno lahko naredimo sliko ali ne. Zaključimo lahko, da je podmnožica A kodomene slika množice F(A).
Zgodovina
Leta 1690 sta GottfriedLeibniz in Johann Bernoulli uporabila besedo funkcija v medsebojnih črkah, tako da se je sodobni koncept začel hkrati z računom.
Leta 1748 je Leonhard Euler podal: "Če so nekatere količine tako odvisne od drugih količin, da se ob spremembi slednjih spremenijo tudi prve, potem se prve količine imenujejo funkcije slednjih. Ta opredelitev velja precej široko in vključuje vse načine, na katere je mogoče eno količino določiti z drugo. Če torej x označuje spremenljivo količino, potem vse količine, ki so kakor koli odvisne od x ali jih ta določa, imenujemo funkcije x.", kar je zelo sodobno.
Dirichlet je običajno avtor različice, ki se je v šolah uporabljala do druge polovice 20. stoletja: "y je funkcija spremenljivke x, definirana na intervalu a < x < b, če vsaki vrednosti spremenljivke x na tem intervalu ustreza določena vrednost spremenljivke y. Prav tako ni pomembno, na kakšen način je to ujemanje ugotovljeno."
Leta 1939 je Bourbaki posplošil Dirichletovo definicijo in podal teoretično različico definicije množic kot korespondenco med vhodi in izhodi; ta se je v šolah uporabljala približno od leta 1960.
Leta 1970 je Bourbaki podal sodobno definicijo kot trojico f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} 
s F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\podskupina X\časov Y,(x,f(x))\in F}
(tj. f : X → Y {\displaystyle f:X\v Y} in F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}} 
).
Vrste funkcij
- Osnovne funkcije - funkcije, ki se jih običajno učimo v šoli: ulomki, kvadratni koreni, funkcije sinus, kosinus in tangens ter nekatere druge funkcije.
- Funkcije, ki niso osnovne - Večina jih ne uporablja operacij, ki se jih ne učimo v šoli (na primer + ali - ali moči). Mnogi integrali so neelementarni.
- Inverzne funkcije - funkcije, ki razveljavijo drugo funkcijo. Na primer: če je F(x) inverzna funkcija f(x)=y, potem je F(y)=x. Vse funkcije nimajo inverznih funkcij.
- Posebne funkcije: Funkcije, ki imajo imena. Na primer: sinus, kosinus in tangens. Funkcije, kot je f(x)=3x (trikrat x), se ne imenujejo posebne funkcije. Lahko so elementarne, neelementarne ali inverzne.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je funkcija v matematiki?
O: Funkcija v matematiki je objekt, ki ustvari izhod, ko dobi vhod, ki je lahko število, vektor ali karkoli, kar lahko obstaja znotraj množice stvari.
V: Kateri sta dve množici, povezani s funkcijami?
O: Množica vseh vrednosti, ki jih lahko ima x, se imenuje domena, množica, ki vsebuje vse vrednosti, ki jih lahko ima y, pa se imenuje sopomena.
V: Kako se pogosto označujejo funkcije?
O: Funkcije so pogosto označene s poševnimi črkami, kot so f, g, h.
V: Kako predstavimo funkcijo?
O: Funkcijo predstavimo tako, da zapišemo y = f(x), kjer je f ime funkcije, f : X → Y (funkcija iz X v Y) pa predstavlja tri dele funkcije - domeno (X), kodomeno (Y) in postopek parjenja (puščica).
V: Ali lahko navedete primer funkcije?
O: Primer funkcije je f(x) = x + 1. Na vhodu dobimo naravno število x in dobimo naravno število y, ki je x + 1. Če na primer damo 3 kot vhodni podatek za f, dobimo izhodno število 4.
V: Ali mora biti vsaka funkcija enačba?
O: Ne, ni nujno, da je vsaka funkcija enačba. Glavna ideja funkcij je, da se vhodi in izhodi nekako povežejo v par - tudi če je to morda zelo zapleteno.
