Integral v matematičnem računu: definicija, Riemannova vsota in temeljni izrek

V računstvu je integral običajno razumljen kot prostor pod grafom enačbe (pogovorno tudi "površina pod krivuljo"). Integral je v tesni zvezi z derivatom in tvori drugi del matematike, ki se imenuje računstvo. Medtem ko je derivat in merilo lokalne spremembe (strmina ali "naklon" funkcije), integral meri vsoto prispevkov te funkcije po določenem intervalu.

Simbolika in zgodovina

Simbol za integracijo v računu je: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ , oblikovan kot podolgovata črka "S". Ta simbol je prvi uporabil Gottfried Wilhelm Leibniz, kot stilizirano ſ od latinske besede summa (seštevek), da bi poudaril idejo seštevanja malih prispevkov, ki tvorijo celoto.

Definicija prek Riemannove vsote

Pod formalnim vidikom je določen integral funkcije f na intervalu [a, b] definiran kot meja Riemannovih vsot. Razdelimo interval [a, b] na n podintervalov z dolžinami Δx_i in izberemo v vsakem podintervalu točko x_i*. Riemannova vsota je

S_n = Σ f(x_i*) Δx_i.

Če meja S_n za n → ∞ obstaja in je neodvisna od izbire točk x_i*, potem je ta meja enaka integralu ∫_a^b f(x) dx. Ta postopek pomeni združevanje zelo majhnih "rezin" površine, katerih širina gre proti nič, vendar njihov skupni prispevek konvergira k določenemu vrednosti. To je prav tisto, kar opisuje pojem Riemannove vsote v običajnih primerih.

Temeljni izrek računa

Povezava med integrali in odvodi je izražena v temeljnem izreku računa (Fundamental Theorem of Calculus), ki ima dve osnovni izjavi:

Če je funkcija f zvezna na [a, b] in definiramo F(x) = ∫_a^x f(t) dt, potem je F odvedljiva in F'(x) = f(x). To pove, da integral kot funkcija zgoraj daje antiodvod f.
Če je F antiodvod funkcije f (torej F'(x) = f(x)) na intervalu [a, b], potem je ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Tako lahko izračun določenega integrala zmanjšamo na razliko vrednosti antiodvoda.

Ta izrek omogoča preprostejše računanje določenih integralov in razkriva, da sta integracija in diferenciranje v bistvu nasprotni operaciji.

Vrste integralov

Določen integral ∫_a^b f(x) dx: meri neto površino med grafom funkcije in x-osjo na intervalu [a, b] (upošteva predznak, torej pod x-osjo prispevki štejejo negativno).
Nedoločen integral ∫ f(x) dx: predstavlja družino antiodvodov funkcije f in vključuje konstanto integracije C (F(x) + C).
Nepravilni integrali: obravnavajo primere, kjer je interval nedokončen (npr. ∫_a^∞) ali ima integrand singularnost v intervala; vrednosti lahko obstajajo kot končne meje.

Fizikalni pomen in enote

Integracija pogosto prihaja v poštev pri pretvarjanju enot ali pri zbiranju prispevkov skozi čas in prostor. Na primer, če je hitrost v odvisnosti od časa v obliki ( ( razdalja čas ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ ), potem je integral hitrosti skozi čas enota razdalje. Izračun je v praksi integracija glede na čas, kar v slikovnem smislu pomeni seštevanje majhnih premikov. V matematičnem zapisu gre za množenje majhnega prispevka hitrosti s časovno širino Δt in limitno seštevanje:

( ( razdalja čas ) × čas {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ )

Integrali kot seštevanje

Integrali so načeloma način, kako "sešteti" nešteto majhnih prispevkov. Podoben primer iz diskretne matematike je seštevek 1 + 2 + 3 + ... + n, vendar pri integriranju seštejemo tudi neprekinjena vmesna vrednosti (decimalke, ulomke) in upoštevamo limitni postopek. Zato pravi integral zajame natančno površino, ne le približka.

Uporaba pri izračunu prostornin

Integracija se uporablja tudi za računanje prostornine trdnih teles. Če objekt razdelimo na tanke dvodimenzionalne (brez širine) rezine in seštejemo njihove ploščine ter pomnožimo z majhno širino, dobimo prostornino. To je osnova metod, kot so metoda diskov, obročev (washers) in metoda presek (shell method), ki omogočajo izračun prostornin tela okoli osi.

Lastnosti integrala in praktični primeri

Linearnost: ∫ (a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.
Monotonost: če je f(x) ≥ g(x) na [a,b], potem je ∫_a^b f(x) dx ≥ ∫_a^b g(x) dx.
Razbitje intervala: ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx za vsak c v [a,b].

Primer: če želimo izračunati skupno prepotovano razdaljo, kjer je hitrost dana z v(t) = 3 t^2 (m/s) za t v [0,2] s, potem je razdalja s = ∫_0^2 3 t^2 dt = [t^3]_0^2 = 8 m.

Zaključek

Integral je temeljni pojem v računu, ki povezuje geometrijski pomen (površina/volumen) z analitičnim pojmovanjem antiodvodov preko temeljnega izreka. Riemannove vsote dajejo intuitivno in formalno osnovo za definicijo integrala, medtem ko praktične metode in lastnosti omogočajo izračune v številnih aplikacijah — od fizike do inženirstva in statistike.

Kaj je integral (animacija)

Pri integraciji gre za iskanje površine s, če so dani a, b in y = f(x). Enačba za integral od a do b, ki je prikazana na zgornjem grafu, je:
Enačba: \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Metode integracije

Antiderivacija

Po temeljnem stavku računa je integral antiderivativ.

Če vzamemo funkcijo 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ in jo antidiferenciramo, lahko rečemo, da je integral funkcije 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Rečemo integral in ne integral, ker antiderivat funkcije ni enoličen. Na primer, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ se prav tako diferencira na 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Zaradi tega je treba pri antiderivativi dodati konstanto C. To imenujemo nedoločeni integral. To je zato, ker so pri iskanju derivata funkcije konstante enake 0, kot pri funkciji

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Upoštevajte 0: ne moremo ga najti, če imamo samo derivativ, zato je integral

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Enostavne enačbe

Enostavno enačbo, kot je y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , lahko integriramo glede na x z uporabo naslednje tehnike. Integriranje poteka tako, da se k moči, na katero je dvignjen x, prišteje 1, nato pa se x deli z vrednostjo te nove moči. Integracija normalne enačbe torej poteka po naslednjem pravilu: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ na koncu kaže, da integriramo glede na x, tj. pri spremembi x. To je obratno od diferenciranja. Vendar se pri integriranju doda konstanta C. To se imenuje konstanta integriranja. Potrebna je zato, ker je rezultat diferenciranja celega števila ničla, zato je rezultat integriranja ničle (ki jo lahko postavimo na konec vsakega integranda) celo število C. Vrednost tega celega števila bi našli z uporabo danih pogojev.

Enačbe z več kot enim členom preprosto integriramo tako, da integriramo vsak posamezen člen:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integracija, ki vključuje e in ln

Za integriranje z uporabo e in naravnega logaritma veljajo določena pravila. Najpomembnejše je, da je e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ integral samega sebe (z dodatkom integracijske konstante): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Naravni logaritem, ln, je uporaben pri integriranju enačb z 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Teh ni mogoče integrirati z zgornjo formulo (dodaj ena na moč, deli z močjo), ker dodajanje ena na moč da 0, deljenje z 0 pa ni mogoče. Namesto tega je integral 1 x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

V bolj splošni obliki: f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Dve navpični črti označujeta absolutno vrednost; znak (pozitiven ali negativen) f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) se ne upošteva. To je zato, ker za naravni logaritem negativnih števil ni vrednosti.

Lastnosti

Vsota funkcij

Integral vsote funkcij je vsota integralov posameznih funkcij, torej,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Dokaz za to je preprost: Definicija integrala je limita vsot. Tako je

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Upoštevajte, da imata oba integrala enake meje.

Konstante pri integraciji

Kadar je konstanta v integralu s funkcijo, jo lahko odstranimo. Kadar konstanta c ni povezana s funkcijo, je njena vrednost c * x. To pomeni,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ in

To lahko storite le s konstanto.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Dokaz je spet z definicijo integrala.

Drugo

Če so točke a, b in c v zaporedju (tj. druga za drugo na osi x), je integral f(x) od točke a do točke b plus integral f(x) od točke b do c enak integralu od točke a do c. To pomeni,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ če so v zaporedju. (To velja tudi, kadar a, b, c niso v zaporedju, če definiramo ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . To izhaja iz temeljnega teorema računa (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Spet sledimo FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je integral?

O: Integral je prostor pod grafom enačbe, znan tudi kot "površina pod krivuljo". Je obratno od derivata in je del veje matematike, ki se imenuje računstvo.

V: Kako je videti simbol za integracijo?

O: Simbol za integracijo v računstvu je videti kot visoka črka "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

V: Kako so integrali povezani z derivati?

O: Integrale in derivate povezuje temeljni stavek računa, ki pravi, da lahko integral obrnemo z derivatom, podobno kot lahko seštevanje obrnemo z odštevanjem.

V: Kdaj lahko uporabimo integracijo?

O: Integracijo lahko uporabimo, kadar želimo pomnožiti enote v problemu ali kadar želimo ugotoviti prostornino telesa. Pomaga pri seštevanju dvodimenzionalnih rezin, dokler ne dobimo širine, s čimer dobimo tri dimenzije predmeta in njegovo prostornino.

V: V čem je integracija podobna seštevanju?

O: Integracija je podobna seštevanju, saj sešteva veliko drobnih stvari, vendar moramo pri integraciji sešteti tudi vsa decimalna števila in deleže vmes.

V: Kaj pomeni Riemannova vsota?

O: Riemannova vsota se nanaša na seštevanje majhnih delčkov grafa hitrosti, dokler se ne seštejejo v eno celotno enačbo.