Integral

V računstvu je integral prostor pod grafom enačbe (včasih se uporablja izraz "površina pod krivuljo"). Integral je obratno od derivata in je nasprotje diferencialnega računa. Derivat je strmina (ali "naklon") kot hitrost spremembe krivulje. Beseda "integral" se lahko uporablja tudi kot pridevnik, ki pomeni "povezan s celimi števili".

Simbol za integracijo v računu je: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ kot visoka črka "S". Ta simbol je prvi uporabil Gottfried Wilhelm Leibniz, ki ga je uporabil kot stilizirano črko "ſ". (za summa, latinsko summa), da bi označil seštevek površine, ki jo pokriva enačba, na primer y = f(x).

Integrali in derivati so del veje matematike, ki se imenuje računstvo. Povezava med njima je zelo pomembna in se imenuje temeljni stavek računa. Izrek pravi, da lahko integral obrnemo z odvodom, podobno kot lahko seštevanje obrnemo z odštevanjem.

Integracija pomaga, ko poskušate pomnožiti enote v problemu. Na primer, če je problem s stopnjo, ( razdalja čas ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ potrebuje odgovor samo z razdaljo, je ena od rešitev integracija glede na čas. To pomeni, da pomnožimo s časom, da izničimo čas v ( razdalja čas ) × čas {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . To naredimo tako, da združimo majhne rezine grafa hitrosti. Širina rezin je blizu ničle, vendar se zaradi njihovega večnega seštevanja sestavijo v celoto. To se imenuje Riemannova vsota.

Če seštejemo te rezine, dobimo enačbo, ki je izpeljanka prve enačbe. Integrali so kot način za ročno seštevanje številnih majhnih stvari. To je podobno seštevanju, ki je seštevanje 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Razlika pri integriranju je v tem, da moramo sešteti tudi vsa vmesna decimalna števila in ulomke.

Integracija je koristna tudi pri iskanju prostornine trdne snovi. Dvodimenzionalne (brez širine) rezine trdnega telesa lahko sešteva v nedogled, dokler ne dobimo širine. To pomeni, da ima predmet zdaj tri dimenzije: prvotni dve in širino. Tako dobimo prostornino opisanega trirazsežnega predmeta.

Kaj je integral (animacija)

Pri integraciji gre za iskanje površine s, če so dani a, b in y = f(x). Enačba za integral od a do b, ki je prikazana na zgornjem grafu, je:
Enačba: \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Metode integracije

Antiderivacija

Po temeljnem stavku računa je integral antiderivativ.

Če vzamemo funkcijo 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ in jo antidiferenciramo, lahko rečemo, da je integral funkcije 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Rečemo integral in ne integral, ker antiderivat funkcije ni enoličen. Na primer, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ se prav tako diferencira na 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Zaradi tega je treba pri antiderivativi dodati konstanto C. To imenujemo nedoločeni integral. To je zato, ker so pri iskanju derivata funkcije konstante enake 0, kot pri funkciji

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Upoštevajte 0: ne moremo ga najti, če imamo samo derivativ, zato je integral

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Enostavne enačbe

Enostavno enačbo, kot je y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , lahko integriramo glede na x z uporabo naslednje tehnike. Integriranje poteka tako, da se k moči, na katero je dvignjen x, prišteje 1, nato pa se x deli z vrednostjo te nove moči. Integracija normalne enačbe torej poteka po naslednjem pravilu: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ na koncu kaže, da integriramo glede na x, tj. pri spremembi x. To je obratno od diferenciranja. Vendar se pri integriranju doda konstanta C. To se imenuje konstanta integriranja. Potrebna je zato, ker je rezultat diferenciranja celega števila ničla, zato je rezultat integriranja ničle (ki jo lahko postavimo na konec vsakega integranda) celo število C. Vrednost tega celega števila bi našli z uporabo danih pogojev.

Enačbe z več kot enim členom preprosto integriramo tako, da integriramo vsak posamezen člen:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integracija, ki vključuje e in ln

Za integriranje z uporabo e in naravnega logaritma veljajo določena pravila. Najpomembnejše je, da je e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ integral samega sebe (z dodatkom integracijske konstante): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Naravni logaritem, ln, je uporaben pri integriranju enačb z 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Teh ni mogoče integrirati z zgornjo formulo (dodaj ena na moč, deli z močjo), ker dodajanje ena na moč da 0, deljenje z 0 pa ni mogoče. Namesto tega je integral 1 x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

V bolj splošni obliki: f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Dve navpični črti označujeta absolutno vrednost; znak (pozitiven ali negativen) f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) se ne upošteva. To je zato, ker za naravni logaritem negativnih števil ni vrednosti.

Lastnosti

Vsota funkcij

Integral vsote funkcij je vsota integralov posameznih funkcij, torej,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Dokaz za to je preprost: Definicija integrala je limita vsot. Tako je

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Upoštevajte, da imata oba integrala enake meje.

Konstante pri integraciji

Kadar je konstanta v integralu s funkcijo, jo lahko odstranimo. Kadar konstanta c ni povezana s funkcijo, je njena vrednost c * x. To pomeni,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ in

To lahko storite le s konstanto.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Dokaz je spet z definicijo integrala.

Drugo

Če so točke a, b in c v zaporedju (tj. druga za drugo na osi x), je integral f(x) od točke a do točke b plus integral f(x) od točke b do c enak integralu od točke a do c. To pomeni,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ če so v zaporedju. (To velja tudi, kadar a, b, c niso v zaporedju, če definiramo ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . To izhaja iz temeljnega teorema računa (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Spet sledimo FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je integral?

O: Integral je prostor pod grafom enačbe, znan tudi kot "površina pod krivuljo". Je obratno od derivata in je del veje matematike, ki se imenuje računstvo.

V: Kako je videti simbol za integracijo?

O: Simbol za integracijo v računstvu je videti kot visoka črka "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

V: Kako so integrali povezani z derivati?

O: Integrale in derivate povezuje temeljni stavek računa, ki pravi, da lahko integral obrnemo z derivatom, podobno kot lahko seštevanje obrnemo z odštevanjem.

V: Kdaj lahko uporabimo integracijo?

O: Integracijo lahko uporabimo, kadar želimo pomnožiti enote v problemu ali kadar želimo ugotoviti prostornino telesa. Pomaga pri seštevanju dvodimenzionalnih rezin, dokler ne dobimo širine, s čimer dobimo tri dimenzije predmeta in njegovo prostornino.

V: V čem je integracija podobna seštevanju?

O: Integracija je podobna seštevanju, saj sešteva veliko drobnih stvari, vendar moramo pri integraciji sešteti tudi vsa decimalna števila in deleže vmes.

V: Kaj pomeni Riemannova vsota?

O: Riemannova vsota se nanaša na seštevanje majhnih delčkov grafa hitrosti, dokler se ne seštejejo v eno celotno enačbo.