AlegsaOnline.com

Nedoločeni integral (antiderivat) — definicija in primeri

Nedoločeni integral (antiderivat): jasna definicija, postopki in praktični primeri za hitro razumevanje antidiferenciacije.

Avtor: Leandro Alegsa Datum ustvarjanja: 07. december 2021 Zadnja posodobitev: 24. september 2025

en.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Antidiferenciacija (imenovana tudi nedoločeno integriranje) je operacija v matematiki, ki je obrat diferenciaciji; povezan je z iskanjem funkcije, katere odvod je dana funkcija. Antidiferenciacija je zato pogosto imenovana tudi iskanje antiderivata ali nedoločenega integrala.

Če je f funkcija, potem je funkcija F antiderivativ (antiderivat) funkcije f, če velja F'(x) = f(x) za vse x v ustreznem intervalu. Antiderivativ zapišemo z integralnim simbolom kot

∫ f(x)\,dx — branje: »integral funkcije f glede na x«; rezultat nedoločenega integrala je družina funkcij, ki se razlikujejo za konstanto.

Osnovne lastnosti in pravila

Konstantni člen: pri nedoločenem integralu moramo vedno dodati konstantni člen C, ker odvodi konstante so nič: ∫ f(x)\,dx = F(x) + C, kjer F'(x)=f(x).
Linearnost: ∫(a f(x) + b g(x))\,dx = a ∫ f(x)\,dx + b ∫ g(x)\,dx za konstanti a, b.
Potencno pravilo (n ≠ −1): ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
Poseben primer n = −1: ∫ x^(−1) dx = ∫ 1/x dx = ln|x| + C (za x ≠ 0).

Pogoste integralne formule

∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ e^{ax} dx = (1/a) e^{ax} + C (a ≠ 0)
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C

Primeri

∫ x dx = x^2/2 + C. V izvirnem besedilu je bil primer zapisan kot: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} $\int x\ dx$ in rezultat tega integrala je x^2/2 + C.
∫ x^2 dx = x^3/3 + C.
∫ 1/x dx = ln|x| + C.
∫ e^{2x} dx = (1/2) e^{2x} + C.

Metode za računanje nedoločenih integralov

Substitucija (zamenjava spremenljivke): uporabimo, ko je integrand sestavljen iz funkcije in njenega odvoda. Na primer, ∫ 2x cos(x^2) dx. Z u = x^2 dobimo du = 2x dx in integral postane ∫ cos u du = sin u + C = sin(x^2) + C.
Integracija po delih: izhaja iz formule za odvod produkta: ∫ u dv = u v − ∫ v du. Uporabno pri produktih polinoma in eksponentne ali trigonometrske funkcije. Primer: ∫ x e^x dx. Naj bo u = x, dv = e^x dx, potem du = dx, v = e^x, torej ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.
Metode za racionalne funkcije: partialne ulomke (razčlenitev na parcialne ulomke) — uporabljamo pri integraciji ulomkov polinomov.
Tabulacija in posebne trike: pri ponavljajočih se integracijah (npr. integrali polinomov pomnoženih s sinusoido ali eksponentno funkcijo) lahko uporabimo tabulčno integracijo ali ponavljajočo se uporabo integracije po delih.

Povezava s seznimnimi (določenimi) integrali

Fundamentalni izrek analize povezuje nedoločene in določene integrale: če je F antiderivativ funkcije f na intervalu [a,b], potem je določeni integral enak F(b) − F(a): ∫_a^b f(x)\,dx = F(b) − F(a). Ta izrek tudi zagotavlja, da imajo zvezne funkcije na intervalu antiderivat (lahko ga zapišemo s pomočjo določenega integrala kot funkcijo F(x) = ∫_{x0}^x f(t)\,dt).

Dodatne opombe

Antiderivativi niso enolični: vsi antiderivativi neke funkcije se razlikujejo za konstanto.
Obstoj antiderivata za dano funkcijo je povezan z regularnostjo funkcije; npr. vsaka zvezna funkcija ima antiderivat (po fundamentalnem izreku). Vendar pa obstajajo funkcije, ki nimajo elementarnega (»preprostega«) antiderivata, čeprav antiderivat kot funkcija obstaja (npr. e^{x^2}).
Pri reševanju nalog vedno preverite domeno funkcij (npr. pri ln|x| je treba izključiti x = 0) in dodajte konstanto integracije C.

Enostavna integracija

Integrirati a x n {\displaystyle ax^{n}} $ax^{n}$

Prištejte 1 k številu n {\displaystyle n} tako da je a x n {\displaystyle ax^{n}} $ax^{n}$ zdaj a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} $ax^{n+1}$
Vse to delimo z novo močjo, tako da je zdaj a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}$
Dodamo konstanto c {\displaystyle c} $c$ , tako da je zdaj a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

To je mogoče prikazati kot:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} $\int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

Kadar je veliko x {\displaystyle x} členov, integrirajte vsak del posebej:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} $\int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c$

(To deluje le, če se deli dodajajo ali odvzemajo.)

Primeri

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} $\int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c$

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} $\int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c$

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}} dx=\ln |x+4|krat 1+c=\ln |x+4|+c} $\int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c$

Preoblikovanje ulomkov in korenov v moči je lažje:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}}\x=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} $\int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c$

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}} dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} $\int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c$

Integracija oklepaja ("verižno pravilo")

Če želite integrirati oklepaj, kot je ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} $(2x+4)^{3}$ , moramo to storiti na drugačen način. Imenuje se verižno pravilo. To je podobno preprostemu integriranju. Deluje le, če ima x {\displaystyle x} v oklepaju moč 1 (je linearen), na primer x {\displaystyle x} ali 5 x {\displaystyle 5x} $5x$ (ne x 5 {\displaystyle x^{5}} $x^{5}$ ali x - 7 {\displaystyle x^{-7}} $x^{-7}$ ).

Za izvedbo ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} $\int (2x+4)^{3}\ dx$

Dodamo 1 na moč 3 {\displaystyle 3} $3$ , tako da je zdaj ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} $(2x+4)^{4}$
Vse to delimo z novo močjo in dobimo ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4}}$
Vse to delimo z derivativom oklepaja ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} $\left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)$ da dobimo ( 2 x + 4 ) 4 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}$
Dodamo konstanto c {\displaystyle c} $c$ in dobimo 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c} ${\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c$

Primeri

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\krat 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\brez {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} $\int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)$

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8krat 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} $\int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)$

Sorodne strani

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je protidiferenciacija?

O: Antidiferenciacija (imenovana tudi nedoločeno integriranje) je postopek iskanja določene funkcije v računu. Je nasprotje diferenciacije in vključuje obdelavo funkcije, da dobimo drugo funkcijo (ali razred funkcij), ki se imenuje antiderivativa.

V: Kako je predstavljena?

O: Kadar so antiderivativi predstavljeni kot posamezne črke, imajo pogosto obliko velikih rimskih črk, kot sta F in G. Na splošno je antiderivativ zapisan v obliki ∫f(x) dx.

V: Kaj vključuje antidiferenciacija?

O: Antidiferenciacija vključuje obdelavo funkcije, da dobimo drugo funkcijo (ali razred funkcij), ki se imenuje antiderivativ.

V: Kako se razlikuje od integracije?

O: Antidiferenciacija se od integriranja razlikuje po tem, da ne vključuje mej - zato se imenuje nedoločeno integriranje.

V: Kateri so primeri, kako lahko izrazimo antidiferenciacijo?

O: Primeri, kako lahko izrazimo antidiferenciacijo, so F in G, če ju predstavimo z eno črko, ali ∫f(x) dx, če jo zapišemo v splošni obliki.

Nedoločeni integral (antiderivat) — definicija in primeri

Osnovne lastnosti in pravila

Pogoste integralne formule

Primeri

Metode za računanje nedoločenih integralov

Povezava s seznimnimi (določenimi) integrali

Dodatne opombe

Enostavna integracija

Primeri

Integracija oklepaja (&quot;verižno pravilo&quot;)

Primeri

Sorodne strani

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je protidiferenciacija?

V: Kako je predstavljena?

V: Kaj vključuje antidiferenciacija?

V: Kako se razlikuje od integracije?

V: Kateri so primeri, kako lahko izrazimo antidiferenciacijo?

Integracija oklepaja ("verižno pravilo")