Število e (Eulerjeva/Napierjeva konstanta) — definicija, vrednost, uporaba

e je matematična konstanta, približno 2,7182818284590452353602874713527. Imena, ki se ji pogosto pripisujejo, so Eulerjevo število (po švicarskem matematiku Leonhardu Eulerju) in Napierjeva konstanta (po škotskem matematiku Johnu Napierju). Je v matematiki enako pomembna kot π ali imaginarna enota i. Število e je iracionalno število — njegova decimalna zapis ne ponavlja in nima konca — in je tudi transcendentno (ni koren nobene nenadne polinomske enačbe z racionalnimi koeficienti). Decimalna zaporedja, kot je 2,71828182845904523536..., so le približki prave vrednosti.

Definicije in izrazi

Število e lahko definiramo na več enakovrednih načinov. Najpogosteje uporabljeni so:

  • Limit sestavljenega obrestovanja: e = limn→∞ (1 + 1/n)n. Ta definicija izhaja iz problema neprekinjenega (neskončno gostega) obrestovanja.
  • Zapis kot vrsta (Taylorjeva vrsta): e = ∑k=0∞ 1/k! = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ….
  • Logaritemska/izvedena definicija: e je edino pozitivno število a, za katerega velja ln(a) = 1 (kjer je ln naravni logaritem) oziroma integrala ∫1e (1/x) dx = 1.
  • Eksponentna funkcija: exp(x) = ex ima lastnost, da je njena odvodna funkcija enaka sama sebi: d/dx ex = ex. To daje e poseben pomen v diferencialnih enačbah.

Lastnosti

  • Iracionalnost – e ni mogoče izraziti kot ulomek dveh celih števil.
  • Transcendentalnost – Charles Hermite je leta 1873 dokazal, da je e transcendentno, torej ni ničelna vrednost nobenega nenadne polinomske funkcije z racionalnimi koeficienti.
  • Edinstvena lastnost rasti – med vsemi bazami a>0 eksponenta ax ima samo a=e lastnost, da je odvod pri x=0 enak 1 (splošno velja d/dx ax = ax ln(a)).
  • Vrste in približki – vrsta ∑ 1/k! konvergira zelo hitro, zato je uporabna za izračun decimalk e z veliko natancnostjo.
  • Povezave s kontinuiranimi ulomki in nadaljnimi predstavitvami – e ima znane kontinuirane ulomke, periodične vzorce v nekaterih predstavitvah in pojavlja se v mnogih asimptotičnih formulah (npr. v Stirlingovi aproksimaciji za n!).

Uporabe

Število e se pojavlja v številnih področjih matematike in naravoslovja:

  • Finančna matematika: pojavi se pri izpeljavi limita za neprekinjeno obrestovanje: če je obrestna mera 100% letno in se obrestovanje izvaja n-krat letno, je končni znesek limn→∞(1+1/n)n = e.
  • Analiza in diferencialne enačbe: ex je rešitev osnovnih linearnih diferencialnih enačb z konstanto, zato je temeljna funkcija pri modeliranju rasti in razpada (eksponentna rast/razpad).
  • Kompleksna analiza: Eulerjeva formula eiθ = cos θ + i sin θ povezuje eksponentno funkcijo s trigonometrijo; posebni primer eiπ + 1 = 0 je znana kot Eulerjeva identiteta in pove pet osnovnih matematičnih konstant.
  • Verjetnost in statistika: pojavlja se v Poissonovi porazdelitvi, normalni porazdelitvi (natančneje v konstanti 1/√(2π)), v izračunih pričakovane vrednosti in različnih limitnih izrekih.
  • Numerične metode in kombinatorika: e se pojavlja v asimptotah (npr. v Stirlingovi formuli n! ≈ √(2πn) (n/e)n), pri ocenjevanju kombinatoričnih izrazov in v analizi algoritmov.

Zgodovina in imena

Prve opažanja o številu, ki se povezuje z naravno rastjo in logaritmi, segajo do dela Johna Napierja (logaritmi, začetek 17. stoletja). Konkretno število e se je pojavilo pri Jakobu Bernoulliju (Jacob Bernoulli) konec 17. stoletja, ko je preučeval limit neprekinjenega obrestovanja (okoli leta 1683). Leonhard Euler je v 18. stoletju utemeljil številne lastnosti eksponentne funkcije in je prve take predstavitve in širšo uporabo e populariziral; Euler je tudi izračunal več decimalk e. Dokaz transcendence e je podal Hermite leta 1873.

Praktičen primer in računanje

Primer iz obrestovanja: če vložimo 1 enoto denarja pri letni obrestni meri 100 % in obrestovanje poteka n‑krat letno, je znesek po enem letu (1 + 1/n)n. Ko povečujemo frekvenco obrestovanja n proti neskončnosti, znesek konvergira k e.

Za izračun e v praksi je koristna vrsta:

  • e ≈ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... . Z nekaj členih dobimo že dobro natančnost (npr. vsota do 10! daje več decimalk pravilno).
  • Za izračune z računalniki se pogosto uporabljajo algoritmi, ki izkoriščajo hitro konvergenco serij ali deljenj z veliki n v limitni definiciji.

Opomba: v članku so omenjene povezave na sorodne teme (matematiki, π, i itd.), ki lahko bralcu nudijo dodatne razlage in primerjave.

Magični heiroglifi

Obstaja veliko različnih načinov za opredelitev e. Jacob Bernoulli, ki je odkril e, je poskušal rešiti ta problem:

lim n → ∞ ( +1 n1 ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}. } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Z drugimi besedami, obstaja število, ki {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}se mu izraz ( + 1n1 ) n {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}} približuje, ko je n večji. To število je e.

Druga definicija je iskanje rešitve naslednje formule:

2 + +22 + + 33+44 + 556⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{\ddots \,}}}}}}}}}}} {\displaystyle 2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{\ddots \,}}}}}}}}}}}



Modro označeno območje (pod grafom enačbe y=1/x), ki se razteza od 1 do e, je natanko 1.Zoom
Modro označeno območje (pod grafom enačbe y=1/x), ki se razteza od 1 do e, je natanko 1.

Prvih 200 mest števila e

Prvih 200 številk za decimalno vejico je:

e = .      271828182845904523536028747135266249775724709369995     {\displaystyle e=2{.}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\; 77572\;47093\;69995} {\displaystyle e=2{.}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995}

95749669676277240766303535475945713821785251664274          {\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274} {\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274}

27466391932003059921817413596629043572900334295260          {\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260} {\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260}

59563073813232862794349076323382988075319525101901          … {\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots } {\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots }.



Vprašanja in odgovori

V: Kaj je število e?


O: Število e je matematična konstanta, ki je osnova naravnega logaritma in ima vrednost približno 2,71828.

V: Kdo je Euler in zakaj se e včasih imenuje Eulerjevo število?


O: Euler je bil švicarski matematik in e se včasih po njem imenuje Eulerjevo število, ker je pomembno prispeval k njegovemu preučevanju.

V: Kdo je Napier in zakaj se e včasih imenuje Napierjeva konstanta?


O: Napier je bil škotski matematik, ki je uvedel logaritme, zato se e včasih po njem imenuje Napierjeva konstanta.

V: Ali je e pomembna matematična konstanta?


O: Da, e je pomembna matematična konstanta, ki je enako pomembna kot π in i.

V: Kakšno število je e?


O: e je iracionalno število, ki ga ni mogoče predstaviti kot razmerje celih števil in je tudi transcendentalno (ni koren nobenega neničelnega polinoma z racionalnimi koeficienti).

V: Zakaj je število e pomembno v matematiki?


O: Število e je v matematiki pomembno, ker ima velik pomen za eksponentne funkcije in je del skupine petih pomembnih matematičnih konstant, ki se pojavljajo v eni od formulacij Eulerjeve identitete.

V: Kdo in kdaj je odkril število e?


O: Število e je odkril švicarski matematik Jacob Bernoulli leta 1683, ko je preučeval sestavljene obresti.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3