Vrtinčnost v dinamiki tekočin — definicija, enačbe in primeri

Razumejte vrtinčnost v dinamiki tekočin: definicija, matematične enačbe, fizikalni pomen in praktični primeri za inženirje ter študente.

Vrtinčenje je matematični pojem, ki se pogosto uporablja v dinamiki tekočin. Povezan je s količino lokalnega »kroženja« ali »vrtenja« tekočine v okolici neke točke in predstavlja merilo, kako močno in v kakšni smeri se majhen element tekočine vrti.

Definicija preko kroženja

Povprečna vrtinčnost v majhnem območju toka tekočine je enaka kroženju Γ {\displaystyle \Gamma } okrog meje majhnega območja, deljenemu s površino A tega območja. To je praktična interpretacija, ki povezuje vrtinčnost z opaznim kroženjem hitrosti okoli zaprtih zarez:

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

Pojmovno je vrtinčnost v točki meja, ko površina majhnega območja v tej točki teoretično zasledi ničli:

ω = d Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}}

Matematična oblika: rotacija hitrosti

Matematično je vrtinčnost v točki vektor, ki jo najpogosteje definiramo kot rotacijo (curl) vektorskega polja hitrosti. Če je v → hitrostno polje, je vektorska vrtinčnost:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}krat {\vec {v}}. }

Za dvodimenzionalen tok (npr. le v mnogoterih smeri x in y) ima vrtinčnost le komponento pravokotno na ravnino toka, ki jo lahko izrazimo kot:

• ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y, kjer sta u in v komponente hitrosti v smereh x oziroma y.

Enote in fizični pomen

• Enota: vrtinčnost ima enoto 1/s (recipročna sekunda), ker predstavlja lokalno kotno hitrost vrtenja tekočinskega elementa.
• Fizični pomen: za majhen krogli element tekočine vrtinčnost približno enaka dvema kratni kotni hitrosti, s katero se element vrti. Pozitivna ali negativna vrednost (oz. smer vektorske vrtinčnosti) pove smer vrtenja glede na izbrane osi.

Vorteksi, vrtinčne črte in cevi

Vorteks je področje, kjer je vrtinčnost močno koncentrirana. V tridimenzionalnem polju je naraven pojem vrtinčna črta (vortex line) — krivulja, ki je v vsakem točkovnem elementu vzporedna vektorski vrtinčnosti. Zbir takih črt, ki tvorijo cevaste strukture, imenujemo vortex tube (vrtinčna cev). Pri idealnih tokovih brez viskoznosti so ti objekti pomembni in imajo ohranjevalne lastnosti (videti spodaj).

Enačbe gibanja in prenos vrtinčnosti

Pri analizi dinamike vrtinčnosti izstopajo trije glavni procesi:

• Vrtinčno raztezanje ((ω·∇)v): spremeni intenziteto vrtinčnosti, kadar delci tečejo v smeri vrtinčnosti — posledica ohranjanja kota vrtenja ob stiskanju oziroma raztezanju cevi vrtinčnosti.
• Difuzija (viskozni člen ν∇²ω): viskoznost razprši vrtinčnost znotraj tekočine in jo lahko tudi prenaša iz sten v preostali tok.
• Baroklinski vir (pri spremenljivi gostoti): če sta gradient tlaka in gradient gostote neusklajena, lahko nastaja vrtinčnost; ta učinek je pomemben npr. v atmosferi in pri mešanju plinov.

Za nespremenljivo (incompressible) viskozno tekočino se enačba prenosa vrtinčnosti pogosto zapiše v obliki materialne derivacije:

Dω/Dt = (ω·∇)v + ν ∇²ω + (baroklinski člen, če obstaja)

Za idealne (neviskozne) tekočine velja Kelvinov izrek o kroženju, ki pravi, da je kroženje ob sledilnem (materialnem) zaprtem krogu konstantno — posledica, da se v idealnem toku brez zunanjih sil vrtinčnost ne ustvarja iz nič, temveč se le premika in razteza.

Potencialni (irrotacijski) tok

Ena od osnovnih predpostavk teorije potencialnega toka je, da je vrtinčnost ω {\displaystyle \omega } skoraj povsod enaka nič, razen v mejnih slojih, na površini toka in v zavetrjih, kjer viskoznost in neidealni učinki ustvarijo koncentrirane regije vrtinčnosti. Zaradi tega se neničelno vrtinčnost v posebnih območjih pogosto modelira z idealiziranimi vrtinci (vortex filamenti) ali z mejnično plastjo/zavetrjem.

Primeri v naravi in tehniki

• Vrtinci v vodi pri spuščanju vode skozi odtok (»bathtub vortex«).
• Vrtenje tornadojev in tropskih ciklonov — močni atmosferski vorteksi z izrazito koncentrirano vrtinčnostjo.
• Vrtinci na špičnikih kril letal (wing-tip vortices), ki vplivajo na vzletno-pristajalne in varnostne razmere.
• Mešanje in prenos snovi v industrijskih gomilah, kjer vrtinčenje poveča difuzijo in mešanje.

Zaključek

Vrtinčnost je temeljni koncept v dinamiki tekočin, ker kvantificira lokalno vrtenje tekočine in igra ključno vlogo pri prenosu gibalne količine, nastanku turbulenc in strukturiranju toka (vorteksi, zavetrja, mejni sloji). Razumevanje nastanka, prenosa in razpada vrtinčnosti je bistveno za modeliranje realnih tokov v naravi in tehniki.

Ker je vrtinec območje zgoščene vrtinčnosti, lahko neničelno vrtinčnost v teh posebnih območjih modeliramo z vrtinci.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je vrtinčnost?

V: Kako se izračuna vrtinčnost?

V: Ali obstaja kakšna osnovna predpostavka, povezana z vrtinčnostjo?

V: Kaj se zgodi, če obstajajo območja z neničelno vrtinčnostjo?

V: Kaj predstavlja Γ?

V: Kaj predstavlja ω?

Išči po črki