Young-Laplaceova enačba (Laplaceov zakon): kapilarni tlak in uporaba

Young-Laplaceova enačba: razumevanje kapilarnega tlaka, površinske napetosti in uporabe Laplaceovega zakona v fiziki in fiziologiji — primeri, izpeljave in praktične aplikacije.

V fiziki je Young-Laplaceova enačba (/ləˈplɑːs/) nelinearna parcialna diferencialna enačba, ki opisuje razliko kapilarnega tlaka na meji med dvema statičnima tekočinama, kot sta voda in zrak. Ta razlika je posledica pojava površinske ali stenske napetosti. Stensko napetost lahko uporabimo le za zelo tanke stene. Young-Laplaceova enačba povezuje tlačno razliko z obliko površine ali stene. Je zelo pomembna pri preučevanju statičnih kapilarnih površin.

V fiziologiji je znan kot Laplaceov zakon. Uporablja se za opis tlaka v votlih organih.

Enačba je poimenovana po Thomasu Youngu, ki je leta 1805 razvil kvalitativno teorijo površinske napetosti, in Pierru-Simonu Laplaceu, ki je naslednje leto dokončal matematični opis. Včasih se imenuje tudi enačba Younga-Laplacea-Gaussa: Carl Friedrich Gauss je leta 1830 poenotil delo Younga in Laplacea. Gauss je diferencialno enačbo in robne pogoje izpeljal z uporabo načel virtualnega dela Johanna Bernoullija.

Matematični zapis

Young-Laplaceova enačba v najbolj splošni obliki povezuje razdaljo tlaka Δp preko plastične površinske napetosti γ in povprečne krivine površine:

Δp = γ (1/R1 + 1/R2),

kjer sta R1 in R2 glavna (principalna) krivina v dveh pravokotnih smereh v točki površine. Pogosto se uporablja tudi pojem srednje krivine H = (1/2)(1/R1 + 1/R2), zato se enačba v nekaterih virih zapiše kot Δp = 2 γ H.

Za posebne oblike se ta izraz poenostavi:

• Za sferično kapljico: R1 = R2 = R, torej Δp = 2 γ / R.
• Za cilindrično površino: R1 = R, R2 = ∞, torej Δp = γ / R.

Fizikalni pomen in enote

Parameter γ (površinska napetost) ima enoto N/m, tlak pa je v paskalih (Pa). Tipična vrednost površinske napetosti voda–zrak pri 20 °C je približno 0,072 N/m. To pomeni, da bo sferična kapljica z radijem 1 mm imela notranji pretlak približno Δp = 2·0,072 / 0,001 ≈ 144 Pa.

Pomembna je tudi predznakna konvencija: če je površina konveksna v smeri plina z višjim tlakom, je Δp pozitivno. V odvisnosti od definicije srednje krivine se lahko pojavi faktor 2 v zapisu enačbe (paziti na definicije v literaturi).

Primeri in uporaba

• Mehurčki in kapljice: manjšim mehurčkom v tekočini odgovarja večji notranji tlak, zato manjši mehurčki hitreje izgubijo plin v večje (mehanizem Ostwaldovega zorenja pri penah in emulzijah).
• Capilarni pojav: v kapilari z radijem r se višina dviga tekočine (Jurinov zakon) poda z izražkom h = 2 γ cosθ / (ρ g r), kjer je θ kot stika, ρ gostota tekočine in g gravitacijski pospešek. Ta pojav izhaja iz ravnotežja med kapilarnim tlakom in hidrostatiko.
• Biologija in medicina: Laplaceov zakon razlaga razmerje med napetostjo stene in pritiskom v votlih organih. Za tanjo steno sferične oblike velja T = p R / 2 (kjer je T tangencialna napetost stene), za cilindrično obliko pa T = p R. To je pomembno pri razumevanju stabilnosti alveolov, žilnih aneurizm in srca.
• Tehnologija mikrofluidike in tiskanja: kapilarni tlaki določajo obliko in gibanje majhnih kapljic v ceveh in šobah (inkjet tisk, emulzije, mikrokanali).
• Površine z enako srednjo krivino: rešitve Young-Laplaceove enačbe za stalno srednjo krivino so npr. sfera, unduloid, nodoid in drugo (Delaunayjeve površine). Minimalne površine (npr. katenoida) so posebni primeri z ničelno srednjo krivino.

Robni pogoji in stik s trdno površino

V praksi se pogosto obravnava meja tekočina–trdna površina. Pri stiku v kotičku nastopa Youngovo razmerje za kontaktni kot θ:

γ_SG − γ_SL = γ_LG cos θ,

kjer so γ_SG, γ_SL in γ_LG površinske napetosti med trdo površino (solid–gas), trdo površino in tekočino (solid–liquid) ter tekočino in plinom (liquid–gas). Kontaktni kot močno vpliva na kapilarni dvig, širjenje kapljic in način, kako se tekočina prilepi na površine.

Numerične metode in rešitve

Young-Laplaceova enačba je nelinearna PDE za obliko površine. Za pridobitev oblike realnih kapilarnih površin se uporabljajo:

• analitične rešitve za simetrične primere (sferične, cilindrične, aksialno simetrične oblike),
• numerične metode (npr. meja elementov, metoda končnih elementov, parametrizirane krivulje za aksialno simetrijo),
• energetske metode, kjer se minimizira skupna energija (površinska energija + gravitacija + volumski pogoji).

Omejitve in pomembne pripombe

• Young-Laplace predvideva homogeno in izotropno površinsko napetost γ; ne upošteva površinskih gradientov (Marangonijevi učinki), adsorpcije ali kemijskih sprememb, ki lahko spremenijo lokalno γ.
• Uporaben je za statične ali quasistatične situacije; pri hitrih tokovih ali viskoznih procesih je treba vključiti hidrodinamiko in dinamiko stika.
• V primerih, kjer je meja elastična (npr. celična membrana ali tanek film s upogibno togostjo), se morajo pri ravnotežju upoštevati dodatne sile (bending stiffness), zato osnovna Young-Laplaceova enačba ni zadostna.

Young-Laplaceova enačba je temeljni zakon za razumevanje mnogih pojavov na meji dveh faz in povezuje geometrijo površine s tlakom in energijo. Njena razširitev in kombinacija z robnimi pogoji (kontaktni kot, gravitacija, elastičnost sten) omogočata razlago širokega nabora eksperimentalnih in naravnih pojavov — od kapilarnega dviga do stabilnosti organov v biologiji.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je Young-Laplaceova enačba?

V: Na kaj se nanaša?

V: Kdo je razvil to teorijo?

V: Kako se uporablja v fiziologiji?

V: Kateri pojav pojasnjuje?

Išči po črki