Hamiltonova mehanika: definicija, Hamiltonian in Hamiltonove enačbe

Hamiltonova mehanika je matematični okvir za opis gibanja mehanskih sistemov z uporabo spreminjanja energij in kanoničnih spremenljivk. Leta 1833 jo je zapisal irski matematik William Rowan Hamilton. Namesto neposrednega reševanja sile ali pospeška (kot v Newtonovem pristopu) Hamiltonov formalizem uporablja par koordinat — generalizirane koordinate in pripadajoče kanonične gibalne količine — ter funkcijo, imenovano Hamiltonian, ki opisuje energijo sistema in določa časovni potek gibanja.

Vrednost hamiltoniana je pogosto skupna energija opisanega sistema. Za zaprt (izoliran) sistem, brez odvisnosti od časa, je to običajno vsota njegove kinetične in potencialne energije. Hamiltonian zapišemo kot H(q,p,t), kjer sta q in p vektorja kanoničnih koordinat in kanoničnih impulzov. Iz Hamiltoniana izpeljemo sistem prvoga reda diferencialnih enačb, znanih kot Hamiltonove enačbe, ki za i-to komponento glasijo:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i,  dp_i/dt = −∂H/∂q_i.

Če H ne vsebuje časovne eksplicitne odvisnosti (autonomni Hamiltonian), je H ohranjen — torej je skupna energija stalna skozi čas. Pri časovno odvisnem Hamiltonianu energija običajno ni ohranjena in pojavijo se dodatni učinki (npr. prisilno gibanje).

Kanonične spremenljivke in fazni prostor

Sistem s f stopnjami prostosti ima f parov kanoničnih spremenljivk (q_i, p_i). Vsi možni pari (q,p) tvorijo fazni prostor, v katerem enačbe gibanja določajo krivulje (trajektorije). Fazni prostor je opremljen z naravno geometrijsko strukturo, imenovano symplektična (dvo-forma), ki ohranja volumen v faznem prostoru (Liouvilleova teorema) in zagotavlja, da so Hamiltonove transformacije oblike ohranjene.

Povezava z Lagrangovo mehaniko

Hamiltonov formalizem je tesno povezan z Lagrangovo mehaniko. Če je L(q, q̇, t) Lagrangian, definiramo kanonični impulz p_i = ∂L/∂q̇_i in izvedemo Legendreovo transformacijo:

H(q,p,t) = Σ_i p_i q̇_i − L(q, q̇, t), pri čemer q̇ izrazimo v funkciji (q,p,t). Ta pretvorba je v osnovi zamenjava opisa iz hitrosti v impulze in pogosto olajša reševanje nalog, zlasti pri ohranitvah in simetrijah.

Poissonovi oklepaji, simetrije in ohranitve

Operater časovnega razvoja funkcije F(q,p,t) nad faznim prostorom poda Poissonov oklepaj:

dF/dt = {F,H} + ∂F/∂t, kjer je

{F,G} = Σ_i (∂F/∂q_i ∂G/∂p_i − ∂F/∂p_i ∂G/∂q_i).

Poissonovi oklepaji izražajo zaključenost algebraičnih pravil Hamiltonove mehanike; če {F,H} = 0 in ∂F/∂t = 0, potem je F ohranjena količina. Simetrije sistema pogosto vodijo do ohranitvenih zakonov (Noetherjev izrek v Lagrangovem okviru ima ekvivalent v Hamiltonovem).

Kanonične transformacije in poenostavitve

Kanonične (ali symplektične) transformacije so spremembe spremenljivk (q,p) → (Q,P), ki ohranijo Hamiltonovo obliko enačb. Z uporabo primernih transformacij ali generirajočih funkcij lahko včasih poenostavimo Hamiltonian, ločimo spremenljivke ali celo integriramo enačbe gibanja. V študiju nelinearnih sistemov so take transformacije temeljne tudi pri iskanju akcijsko- kot frekvenčnih spremenljivk (action-angle variables) za integrabilne sisteme.

Primeri

• Harmonijsko nihalo (poenostavljen leseni primer): za enodimenzionalni harmonski oscilator je H = p^2/(2m) + ½ k q^2. Hamiltonove enačbe vodijo do klasičnega nihanja, pri katerem se energija izmenjuje med kinetično in potencialno obliko.
• Matematično nihalo in nihalo: za majhne kote se nihalo obnaša kot harmonski oscilator, za večje kote je potencial sinusoidalen (npr. V(θ) = m g L (1 − cos θ)), kar vodi do nelinearnih enačb gibanja.
• Planetarne tirnice: gravitacijski potencial V(r) = −G m M / r v Hamiltonovem pristopu vodi do enačb, ki opisujejo Keplerjeve elipse in omogočajo analizo stabilnosti in motenj.

Hamiltonian v kvantni mehaniki

Hamiltonov formalizem ima neposreden analog v kvantni mehaniki — Hamiltonian postane linearni operator Ĥ, ki predstavlja skupno energijo kvantnega sistema. Evolucijo kvantnega stanja opisuje Schrödingerjeva enačba:

i ħ ∂|ψ>/∂t = Ĥ |ψ>.

S tem Hamiltonian ohranja osrednjo vlogo tudi v kvantnem svetu: spekter njegovih lastnih vrednosti predstavlja dovoljene energijske ravni, entanglement in kvantne prehode pa so določeni z lastnostmi Ĥ in zunanjo odvisnostjo od časa.

Naprednejše teme in uporabe

Hamiltonova mehanika se razširi v številna področja: teorija kaosa (nelinearni Hamiltonovi sistemi lahko kažejo kaotično vedenje), statistična mehanika (korak k Liouvilleovi teoriji porazdelitve v faznem prostoru), klasična polja in teorija polj (Hamiltonski formalizem se uporablja tudi pri poljih, kot sta elektromagnetizem in splošna relativnost), ter numerične metode, ki ohranjajo symplektično strukturo za stabilno integracijo dolgotrajnega gibanja.

Zaključek

Hamiltonova mehanika ponuja močan in splošno uporaben formalizem za analizo gibanja tako preprostih kot zapletenih sistemov. Z uporabo Hamiltoniana, kanoničnih spremenljivk in Poissonovih oklepajev lahko razumemo ohranitve, simetrije in dinamiko v faznem prostoru; istočasno prehod v kvantni formalizem ohranja vlogo Hamiltoniana kot generatorja časovnega razvoja.

Hamiltonian in Hamiltonove enačbe so torej temeljni del klasične in kvantne fizike ter nudijo osnovo za številne napredne metode v fiziki in matematiki.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je Hamiltonova mehanika?

V: Kdo in kdaj je izumil Hamiltonovo mehaniko?

V: Kakšna je vrednost Hamiltonovega mehanika?

V: Kakšen je Hamiltonian za zaprt sistem?

V: Kaj so Hamiltonove enačbe?

V: Kateri so primeri preprostih sistemov, ki jih lahko opišemo s Hamiltonovo mehaniko?

V: Katera je še uporaba Hamiltonove mehanike?

Išči po črki