Interval v matematiki: definicija, odprti in zaprti intervali, primeri
Interval v matematiki: jasna definicija, odprti in zaprti intervali, pravilna notacija, praktični primeri in vaje za hitro razumevanje.
V matematiki je interval množica realnih števil, ki vsebuje vse vrednosti med dvema točkama (začetkom in koncem). Če sta a in b meji intervala (a ≤ b), potem so v intervalu vsa števila x takšna, da je a ≤ x ≤ b (če sta meji vključeni) ali a < x < b (če meji nista vključeni). Številke, ki so manjše od začetne meje ali večje od končne meje, v intervalu niso. Začetna in končna meja sta lahko vključeni ali izključeni; glede na to ločimo različne vrste intervalov. Primer intervala je od 3,3 do 15. Številke, kot so 4, 8, 9,5, 14 in celo 14,999, so znotraj tega intervala. Številke, kot so −4, 2, 3,2, 20 in 15,000001, niso znotraj tega intervala.
Vrste intervalov
- Zaprt interval [a, b]: vključuje obe meji a in b. Primer: [-100, 100].
- Odprt interval (a, b): ne vključuje nobene meje. Primer: (4, 9.6) ali z decimalno vejico (4; 9,6) — o zapisu spodaj več.
- Polodprt (ali polzaprt) interval [a, b) ali (a, b]: vključuje le eno mejo (levo ali desno).
- Neskončni intervali: intervali, ki se raztezajo do ±∞, npr. (a, ∞), (−∞, b], ipd. Ker ∞ ni realno število, se za neskončnost vedno uporablja okrogla oklepaja.
- Prazni in enosmérični intervali: če je a > b, je običajno množica prazna; če je a = b, interval [a, a] vsebuje točno eno številko a, medtem ko (a, a) predstavlja prazno množico.
Zapis in notacija intervalov
Interval običajno zapišemo z oklepaji: kvadratni oklepaj [ ali ] pomeni, da je meja vključena; navaden (okrogel) oklepaj ( ali ) pomeni, da meja ni vključena. Zapis vsebuje začetno število, ločilo (vejico) in končno število, npr. (4, 9.6) ali [-30, -4). V izvirnem besedilu se pojavi primer (4, 9,6), kar je lahko dvoumno, ker se v slovenskem zapisu običajno uporablja vejica kot decimalna ločnica. Da se izognemo zmedi, se pogosto uporablja en od naslednjih pristopov:
- za decimalne številke uporabljamo decimalno piko in ločimo meje z vejico: (4, 9.6);
- če uporabljamo decimalno vejico, ločilo med mejama nadomestimo s podpičjem: (4; 9,6).
Primeri pripadnosti
- Za interval [3,3; 15] (v zapisu z decimalno vejico): število 3,3 je v intervalu (meja vključena), 15 je v intervalu; 3,2 ni.
- V intervalu (4, 9,6) z desnim oklepajem, ki pomeni izključitev desne meje: 4 ni v intervalu, 9,6 ni (če sta oklepaja obe okrogle), število 6,5 pa je.
- Interval (−∞, 0] vsebuje vsa negativna števila in 0, ne vsebuje pa pozitivnih števil.
Lastnosti intervalov
- Intervali v realnih številih so povezane množice: med katerima koli dvema točkama v intervalu je cela množica točk intervala.
- Dolžina (merilo) končnega intervala [a, b] ali (a, b) je b − a (isto za polodprte intervale). Če je interval neskončen, dolžine ni (je neskončna).
- Unija in presek intervalov sta lahko spet intervala ali združek intervalov. Na primer, presek [0, 3] ∩ (2, 5) je (2, 3], unija [0, 1] ∪ [2, 3] pa ni en sam interval, temveč zveza dveh ločenih intervalov.
Kje se intervali uporabljajo
Intervali so osnovni gradnik analize, geometrije, verjetnosti in numeričnih metod. Uporabljamo jih pri definicijah funkcij (domena), reševanju neenačb, integracijah (meje integrala), pri označevanju preglasitve mer (confianza) v statistiki in še marsikje drugje.
Kratka povzetek
- Interval je množica števil med dvema mejama.
- Oklepaji [ ] pomenijo vključeno mejo, ( ) pomenita izključeno mejo.
- Pri zapisovanju bodite pozorni na decimalno ločnico in ločilo med mejama (uporabite piko ali podpičje, če uporabljate vejico za decimalke).
Različne vrste intervalov
Intervale lahko ločimo glede na to, kako delujejo na svojih koncih. Intervali so lahko zaprti, odprti ali mešani.
Zaprti intervali
Interval, ki je zaprt, vključuje tudi začetek in konec. Zaprti interval, ki ima na začetku število 3, na koncu pa 5,4, vključuje 3, 5,4 in vsa števila med 3 in 5,4. Če želite zapisati zaprt interval, uporabite oglate oklepaje ( [ in ] ). Primer zaprtega intervala je [136, 450].
Odprti intervali
Interval, ki je odprt, ne vključuje začetka ali konca. Odprt interval, ki ima na začetku število 3, na koncu pa število 5, bi vključeval vsa števila med 3 in 5, ne bi pa vključeval števila 3 ali 5. Za zapis odprtega intervala uporabite oklepaje ( ( in ) ). Primer odprtega intervala je (2, 5).
Mešani intervali
Mešani interval je na enem koncu odprt, na drugem pa zaprt. To pomeni, da interval lahko vključuje začetek, ne pa tudi konca, ali pa vključuje konec, ne pa tudi začetka. Interval [9, 23] bi vključeval 9, ne bi pa vključeval 23.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je interval v matematiki?
O: Interval v matematiki je skupina števil, ki vključuje vsa števila med začetkom in koncem.
V: Kako določite, katera števila so znotraj intervala?
O: Številke, ki so večje od začetnega in manjše od končnega števila, so znotraj intervala, številke, ki so manjše od začetnega ali večje od končnega števila, pa niso znotraj intervala.
V: Ali morata biti začetno in končno število vključena v interval?
O: Začetno in končno število sta lahko znotraj intervala, lahko pa tudi ne.
V: Kako zapišemo interval?
O: Interval zapišete tako, da zapišete oglati oklepaj ( [ ) ali oklepaj ( ( ), nato vključite začetno številko, ki ji sledi vejica ( , ), nato vključite končno številko, ki ji sledi zaključni oglati oklepaj ( ] ) ali zaključni oklepaj ( ).
V: Ali lahko navedete primere intervalov?
O: Primeri intervalov so (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).
V: Ali so znotraj intervala dovoljena negativna števila?
O: Da, negativna števila so lahko vključena v interval.
Iskati