Zakon velikih števil
Zakon velikih števil (LLN) je izrek iz statistike. Upoštevajmo nek proces, v katerem se pojavljajo naključni izidi. Na primer, naključna spremenljivka se večkrat opazuje. Potem bo povprečje opazovanih vrednosti dolgoročno stabilno. To pomeni, da se bo na dolgi rok povprečje opazovanih vrednosti vedno bolj približevalo pričakovani vrednosti.
Pri metanju kocke so možni izidi številk 1, 2, 3, 4, 5 in 6. Vsi so enako verjetni. Populacijska srednja vrednost (ali "pričakovana vrednost") izidov je:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Naslednji graf prikazuje rezultate poskusa metanja kocke. Pri tem poskusu je razvidno, da se povprečje metov kocke sprva močno spreminja. Kot je napovedal LLN, se povprečje ustali okoli pričakovane vrednosti 3,5, ko število opazovanj postane veliko.
Zgodovina
Jacob Bernoulli je prvi opisal LLN. Po njegovih besedah je bila tako preprosta, da tudi najbolj neumen človek instinktivno ve, da je resnična. Kljub temu je potreboval več kot 20 let, da je razvil dober matematični dokaz. Ko ga je našel, ga je leta 1713 objavil v knjigi Ars Conjectandi (Umetnost sklepanja). Poimenoval ga je "zlati izrek". Postal je splošno znan kot "Bernoullijev izrek" (ne smemo ga zamenjati z istoimenskim zakonom v fiziki). Leta 1835 ga je S. D.Poisson dodatno opisal pod imenom "La loi des grands nombres" (Zakon velikih števil). Pozneje je bil znan pod obema imenoma, vendar se najpogosteje uporablja "zakon velikih števil".
K izboljšanju zakona so prispevali tudi drugi matematiki. Med njimi so bili Čebišev, Markov, Borel, Cantelli in Kolmogorov. Po teh študijah sta zdaj na voljo dve različni obliki zakona: Ena se imenuje "šibki" zakon, druga pa "močni" zakon. Ti obliki ne opisujeta različnih zakonov. Imata različna načina opisovanja konvergence opazovane ali izmerjene verjetnosti k dejanski verjetnosti. Močna oblika zakona implicira šibko obliko zakona.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je zakon velikih števil?
O: Zakon velikih števil je statistični izrek, ki pravi, da če naključni proces večkrat opazujemo, bo povprečje opazovanih vrednosti dolgoročno stabilno.
V: Kaj pomeni zakon velikih števil?
O: Zakon velikih števil pomeni, da se bo s povečevanjem števila opazovanj povprečje opazovanih vrednosti vedno bolj približevalo pričakovani vrednosti.
V: Kaj je pričakovana vrednost?
O: Pričakovana vrednost je populacijsko povprečje rezultatov naključnega procesa.
V: Kakšna je pričakovana vrednost metanja kocke?
O: Pričakovana vrednost metanja kocke je vsota možnih izidov, deljena s številom izidov: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
V: Kaj kaže graf v besedilu v povezavi z zakonom velikih števil?
O: Iz grafa je razvidno, da povprečje metov kock sprva divje niha, vendar se, kot napoveduje zakon o velikih številih, z večjim številom opazovanj povprečje ustali okoli pričakovane vrednosti 3,5.
V: Kako zakon velikih števil velja za metanje kock?
O: Zakon velikih števil velja za metanje kocke, saj se s povečevanjem števila metov povprečje metov vse bolj približuje pričakovani vrednosti 3,5.
V: Zakaj je zakon velikih števil pomemben v statistiki?
O: Zakon velikih števil je v statistiki pomemben, ker predstavlja teoretično podlago za idejo, da podatki težijo k povprečju pri velikem številu opazovanj. Na njem temeljijo številne statistične metode, kot so intervali zaupanja in preverjanje hipotez.
