Izrek
Teorem je dokazana ideja v matematiki. Teoreme dokazujemo s pomočjo logike in drugih že dokazanih teoremov. Izrek, ki ga mora nekdo dokazati, da lahko dokaže drug izrek, se imenuje lemma. Teoremi so sestavljeni iz dveh delov, in sicer iz hipotez in sklepov.
V nasprotju s teorijami, ki so empirične, teorije temeljijo na dedukciji.
Nekatere trditve so trivialne, izhajajo neposredno iz izrekov. Druge trditve imenujemo "globoke", njihov dokaz je dolg in težaven. Včasih takšni dokazi vključujejo druga področja matematike ali kažejo povezave med različnimi področji. Izrek je lahko preprost za navajanje, a je kljub temu globok. Odličen primer je Fermatov zadnji izrek, veliko pa je tudi drugih primerov preprostih, a globokih izrekov v teoriji števil in kombinatoriki ter na drugih področjih.
Obstajajo tudi druge trditve, za katere je znan dokaz, vendar ga ni mogoče preprosto zapisati. Med najboljšimi primeri sta trditev o štirih barvah in Keplerjeva domneva. Za oba teorema vemo, da sta resnična, le tako, da ju zreduciramo na računsko iskanje, ki ga nato preverimo z računalniškim programom. Sprva mnogi matematiki te oblike dokazovanja niso sprejemali, vendar je v zadnjih letih postala bolj splošno sprejeta. Matematik Doron Zeilberger je šel celo tako daleč, da je trdil, da so to morda edini netrivialni rezultati, ki so jih matematiki kdajkoli dokazali. Številne matematične trditve je mogoče omejiti na preprostejše izračune, vključno s polinomskimi identitetami, trigonometričnimi identitetami in hipergeometričnimi identitetami.
Pitagorov izrek ima vsaj 370 znanih dokazov.
Knjige
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, pridobljeno 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Človek, ki je ljubil samo številke: Erdős: Zgodba o Paulu Erdősu in iskanju matematične resnice. Hyperion, New York.
- Petkovšek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Zunanja povezava v
|title=(pomoč)CS1 maint: več imen: seznam avtorjev (povezava)
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je teorem?
O: Teorem je ideja, katere resničnost je bila dokazana v matematiki z uporabo logike in drugih že dokazanih teoremov.
V: Kaj je lema?
O: Lemma je manjši izrek, ki ga je treba dokazati, da lahko dokažemo glavni izrek.
V: Kako so izreki sestavljeni?
O: Teoremi so sestavljeni iz dveh delov - hipotez in sklepov - in uporabljajo dedukcijo namesto empiričnih teorij.
V: Ali je vse teoreme težko dokazati?
O: Ne, nekateri teoremi so trivialni, saj neposredno izhajajo iz propozicij, drugi pa zahtevajo dolge in zahtevne dokaze, ki vključujejo druga področja matematike ali kažejo povezave med različnimi področji.
V: Ali je lahko trditev preprosta, a globoka?
O: Da, primer tega je Fermatov zadnji izrek, ki je preprost, vendar je njegov dokaz dolg in zahteven.
V: Ali obstajajo izreki, za katere je znan dokaz, vendar ga ni mogoče preprosto zapisati?
O: Da, primera sta teorem štirih barv in Keplerjeva domneva, ki ju je mogoče preveriti le tako, da ju poženemo skozi računalniške programe.
V: Ali lahko matematične trditve včasih zreduciramo na preprostejše izračune?
O: Da, matematične trditve je včasih mogoče zreducirati na preprostejše izračune, kot so polinomske identitete, trigonometrične identitete ali hipergeometrične identitete.
