Lorentzev faktor: definicija in enačba γ ter vpliv na čas, dolžino in maso
Lorentzev faktor je faktor, s katerim se spreminjajo čas, dolžina in masa predmeta, ki se giblje s hitrostmi, ki so blizu hitrosti svetlobe (relativistične hitrosti).
Enačba je:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
pri čemer je v hitrost predmeta, c pa hitrost svetlobe. Veličino (v/c) pogosto označujemo kot β {\displaystyle \beta } 
(beta), zato lahko zgornjo enačbo prepišemo:
γ = 1 / sqrt(1 − β²), kjer je β = v/c.
Osnovne lastnosti Lorentzovega faktorja
- γ ≥ 1. Pri v = 0 (mirujočem predmetu) je γ = 1. Z naraščajočo hitrostjo γ raste in pri v → c teži proti neskončnosti.
- Izraz ima smisel le za v < c. Za v ≥ c bi imenovalec postal nič ali negativen in γ bi postal neskončno velik ali imaginaren — to pomeni, da masivni delci ne morejo doseči hitrosti svetlobe.
- Za fotone (v = c) običajni γ ni uporaben, saj imajo fotoni ničelno počivajočo maso; njihove lastnosti se opisujejo z energijo in gibanjem (impulzom).
Vpliv na čas, dolžino in maso
Lorentzev faktor se pojavi v temeljnih relativističnih pojavih:
- Čas (časovna dilatacija): Relativno do opazovalca, ki vidi predmet v gibanju, se intervali časa daljšajo. Če je Δτ "lastni čas" (čas, izmerjen v mirovanju objekta), potem je koordinatni čas Δt = γ Δτ. V praksi: gibajoči se kljukaste ure "tiktakajo" počasneje glede na opazovalca.
- Dolžina (kontrakcija dolžine): Dolžina predmeta v smeri gibanja je krajša v primerjavi z njegovo lastno dolžino. Če je L0 lastna dolžina (izmerjena v mirovanju predmeta), potem je dolžina glede na opazovalca L = L0 / γ.
- Masa in energija: V klasčnem besednjaku se pogosto srečamo s pojmom "relativistična masa" m = γ m0, kjer je m0 počivajoča (invariantna) masa. V sodobni fiziki je jasnejše uporabljati počivajočo maso m0 in energijo: skupna energija E = γ m0 c² in relativistični gibalni moment p = γ m0 v. Kinetična energija delca je KE = (γ − 1) m0 c².
Primeri vrednosti γ
- v = 0,6 c → γ = 1,25
- v = 0,8 c → γ ≈ 1,667
- v = 0,9 c → γ ≈ 2,294
- v = 0,99 c → γ ≈ 7,089
- v = 0,999 c → γ ≈ 22,37
Kje se Lorentzev faktor pojavlja v enačbah
- Lorentzove transformacije (premik koordinat med inercialnimi opazovalci, ki se gibljejo z relativno hitrostjo v):
t' = γ ( t − v x / c² ),
x' = γ ( x − v t ).
- Relativistični impulz in energija: p = γ m0 v, E = γ m0 c².
- Enačba za kinetično energijo in povezava z delom potrebnim za pospeševanje delca — zaradi rasti γ je za pospešitev masivnega delca bližje c potrebno vedno več energije in nikoli končno veliko količino energije, da bi ga dosegel c.
Dodatne opombe
- Izraz "relativistična masa" je zgodovinski in v sodobni literaturi manj uporabljen; raje govorimo o invariantni (počivajoči) masi in o energiji/impulzu, ki vključujeta γ.
- Lorentzev faktor je osrednji element posebne teorije relativnosti in se uporablja v astrofiziki, delcem pospeševalnikih, satelitskih navigacijskih sistemih (npr. pri korekcijah časa za GPS) in drugih aplikacijah, kjer so hitrosti ali natančnost meritev blizu relativističnih učinkov.
Če želite, lahko dodam še izpeljavo enačbe za γ iz osnovnih postulatov posebne teorije relativnosti ali prikazim, kako se časovne in prostorske koordinate spremenijo med dvema opazovalcema korak za korakom.
Klasična relativnost
Klasična teorija relativnosti pravi, da če vržeš žogo s hitrostjo 50 km/h, medtem ko tečeš s hitrostjo 5 km/h, žoga leti s hitrostjo 55 km/h. Seveda se žogica še vedno oddaljuje od vas s hitrostjo 50 mil na uro, zato ste videli, da žogica potuje s hitrostjo 50 mil na uro, če bi vas kdo vprašal. Vaš prijatelj Rory pa je videl, da ste tekli s hitrostjo 5 milj na uro. Rekel bi, da je žogica potovala s hitrostjo 55 milj na uro. Oba imata prav, le da ste se gibali skupaj z žogo.
Hitrost svetlobe, c, je 670 616 629 mph. Če ste torej v avtomobilu, ki vozi s polovično hitrostjo svetlobe (0,5 c), in prižgete žaromete, se svetloba od vas oddaljuje s hitrostjo 1 c ... ali 1,5 c? Na koncu se izkaže, da je c ne glede na vse c. V naslednjem razdelku je pojasnjeno, zakaj ni c - 0,5c.
Časovna dilatacija
Ko je ura v gibanju, tiktaka počasneje za majhen faktor γ {\displaystyle \gamma } 
. Slavni paradoks dvojčkov pravi, da če bi obstajala dva dvojčka in bi dvojček A ostal na Zemlji, medtem ko bi dvojček B nekaj let potoval blizu c, bi bil dvojček B, ko bi se vrnil na Zemljo, veliko let mlajši od dvojčka A (ker je doživel manj časa). Na primer, če bi dvojček B odšel pri 20 letih in 10 let potoval s hitrostjo .9c, bi bil dvojček B, ko bi se vrnil na Zemljo, star 30 let (20 let + 10 let), dvojček A pa skoraj 43 let:
20 + ( 10 ∗ 1 1 - . 9 2 ) = 42,9416 {\displaystyle 20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42,9416} 
Dvojček B sploh ne bi opazil, da se je čas upočasnil. Če bi pogledal skozi okno, bi se mu zdelo, da se vesolje premika mimo njega in je zato počasnejše (ne pozabite, da je on v mirovanju). Čas je torej relativen.
Krčenje dolžine
Pri relativističnih hitrostih se stvari krajšajo v smeri gibanja. Med potovanjem dvojčka B bi opazil nekaj nenavadnega v vesolju. Opazil bi, da se krajša (krči v smeri njegovega gibanja). Faktor, za katerega se stvari krajšajo, je γ {\displaystyle \gamma }. .
Relativistična masa
Poveča se tudi relativistična masa. Zato jih je težje potiskati. Ko dosežete 0,9999c, potrebujete zelo veliko silo, da bi šli hitreje. Zaradi tega je nemogoče, da bi karkoli doseglo svetlobno hitrost.
Če potujete nekoliko počasneje, na primer 90 % svetlobne hitrosti, se vaša masa poveča le za 2,3-krat. Čeprav je nemogoče doseči svetlobno hitrost, se ji je mogoče približati, če imate dovolj goriva.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Lorentzev faktor?
O: Lorentzev faktor je faktor, s katerim se spreminjajo čas, dolžina in masa pri predmetu, ki se giblje z relativistično hitrostjo (blizu hitrosti svetlobe).
V: Po kom je poimenovan?
O: Lorentzev faktor je poimenovan po nizozemskem fiziku Hendriku Lorentzu.
V: Katera enačba opisuje Lorentzev faktor?
O: Enačba za Lorentzev faktor je gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), kjer je v hitrost predmeta, c pa hitrost svetlobe.
V: Kaj pomeni (v/c) v tej enačbi?
O: V tej enačbi (v/c) predstavlja beta (beta) ali razmerje med hitrostjo predmeta in svetlobno hitrostjo.
V: Kako lahko to enačbo prepišemo?
O: To enačbo lahko prepišemo kot gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)).
