Poincaréjeva domneva
Poincaréjeva domneva je vprašanje o kroglah v matematiki. Poimenovana je po francoskem matematiku in fiziku Henriju Poincaréju, ki jo je formuliral leta 1904.
Krogla (imenovana tudi 2-krogla, saj je dvodimenzionalna površina, čeprav jo običajno vidimo v tridimenzionalnem prostoru) ima lastnost, da se lahko vsaka zanka na njej skrči v točko (če okrog krogle ovijemo gumico, jo lahko potisnemo navzdol do točke). Matematiki pravijo, da je 2-sfera preprosto povezana. Drugi prostori nimajo te lastnosti, na primer krof: gumijastega traku, ki enkrat obkroži celoten krof, ni mogoče potisniti navzdol do točke, ne da bi zapustil površino.
Matematiki so vedeli, da je ta lastnost edinstvena za 2-sfero, saj je vsak drug preprosto povezan prostor, ki nima robov in je dovolj majhen (v matematičnem smislu je kompakten), pravzaprav 2-sfera. Vendar to ne drži več, če odstranimo pojem majhnosti, saj je tudi neskončno velika ravnina preprosto povezana. Tudi pravilen disk (krog in njegova notranjost) je preprosto povezan, vendar ima rob (omejitveni krog).
Domneva se sprašuje, ali to velja tudi za 3-sfero, ki je objekt, ki naravno živi v štirih dimenzijah. To vprašanje je spodbudilo velik del sodobne matematike, zlasti na področju topologije. Vprašanje je leta 2002 dokončno razrešil ruski matematik Grigorij Perelman in z metodami iz geometrije pokazal, da je to res res. Za svoje delo je prejel Fieldsovo medaljo in nagrado tisočletja v vrednosti 1 milijon dolarjev, ki ju je zavrnil.
Poincaréjevo domnevo lahko razširimo tudi na višje dimenzije: to je posplošena Poincaréjeva domneva. Presenetljivo je bilo dejstvo lažje dokazati za krogle višjih dimenzij: leta 1960 je Smale dokazal, da velja za 5-sfere, 6-sfere in višje. Leta 1982 je Freedman dokazal, da to velja tudi za 4-sfere, za kar je prejel Fieldsovo medaljo.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Poincaréjeva domneva?
O: Poincaréjeva domneva je vprašanje o kroglah v matematiki, poimenovano po Henriju Poincaréju, ki se sprašuje, ali nekatere lastnosti 2-krogle veljajo tudi za 3-kroglo.
V: Katero lastnost ima 2-sfera?
O: 2-sfera ima lastnost, da se lahko vsaka zanka na njej skrči v točko.
V: Ali je ta lastnost značilna samo za 2-sfero?
O: Ta lastnost je edinstvena za 2-sfero v smislu majhnih prostorov, ki nimajo robov. Vendar sta neskončno velika ravnina in pravilen disk (krog in njegova notranjost) preprosto povezana, vendar imata robove.
V: Kdo je dokazal, da to velja za krogle večjih dimenzij?
O: Leta 1960 je Smale dokazal, da to velja za 5-sfere, 6-sfere in višje, leta 1982 pa je Freedman dokazal, da to velja tudi za 4-dimenzionalne sfere.
V: Kdo je rešil Poincaréjevo domnevo?
O: Poincaréjevo domnevo je rešil Grigorij Perelman, ruski matematik, ki je z metodami iz geometrije dokazal, da je domneva res resnična.
V: Katere nagrade je Perelman prejel za svoje delo?
O: Perelman je za svoje delo pri reševanju Poincaréjeve domneve prejel Fieldsovo medaljo in nagrado tisočletja v višini 1 milijona dolarjev, vendar je obe nagradi zavrnil.
