Podobnost v geometriji: definicija, lastnosti in primeri
Podobnost je osnovna ideja v geometriji: pomeni, da imata dva mnogokotnika, odseka ali drug lika enako obliko, čeprav nista nujno enako velika. Dva lika sta si podobna, če imata kota enako mero in sta njuni stranici sorazmerni. Zaradi tega sta si vedno podobna na primer dva kroga, dva kvadrata ali dva enaka odseka, saj se njihovi koti in razmerja med stranicami ujemajo.
Trikotniki so pri preučevanju podobnosti še posebej pomembni, saj se lahko izkazujejo za podobne že, če izpolnjujejo le enega izmed posebnih pogojev: dovolj je, da so enaki njuni koti ali da so sorazmerne njihove stranice. Za druge mnogokotnike običajno veljata oba pogoja hkrati: enaki koti in sorazmerne ustrezne stranice.
Podobnost je blizu pojmu skladnosti, vendar ni enaka. Skladne oblike (kongruentne) imajo enake stranice in kote, medtem ko podobne oblike lahko niso iste velikosti — le obrazi so enaki. Vsaka skladna figura je torej tudi podobna, ne velja pa obratno.
Osnovne lastnosti podobnosti
- Ujemanje kotov: ustrezni koti podobnih likov so enaki.
- Sorazmernost stranic: razmerja dolžin ustreznih strani so enaka; to razmerje imenujemo lestvilo podobnosti ali razmerje (običajno označeno s k). Če ima izvirna stranica dolžino a, ustrezna stranica podobne figure pa a', velja a' = k·a.
- Ohranjanje razmerij: razmerja med zbirkami dolžin (npr. razmerje diagonale, višine) se ohranijo.
- Razmerje površin: površina podobne figure je k^2-kratnik izvirne površine (A' = k^2·A).
- Ohranjanje oblike, ne nujno velikosti: znotraj podobnosti se koti ohranijo, dolžine se skalirajo z enotnim faktorjem k.
Kriteriji podobnosti trikotnikov
Pri trikotnikih so najpomembnejši trije kriteriji, ki zagotavljajo podobnost:
- AA (Angle-Angle): če se ujemata vsaj dva para ustreznih kotov, sta trikotnika podobna (tretji kot se potem nujno ujema).
- SAS (Side-Angle-Side): če sta razmerji dveh parov ustreznih stranic enaka in je vmesni kot enak, sta trikotnika podobna.
- SSS (Side-Side-Side): če so razmerja vseh treh parov ustreznih stranic enaka, sta trikotnika podobna.
Transformacije, s katerimi nastane podobnost
Podobne figure lahko dobimo z združevanjem naslednjih elementarnih preslikav: translacija (premik), rotacija (zasuk), homotetija (skaliranje glede na točko — homothety ali dilatacija) in morebitna refleksija (zrcaljenje). Homotetija s faktorjem k in morebitnim rotiranjem ter translacijo pelje en lik v ustrezno podobo z ohranjenimi koti in sorazmernimi stranicami.
Primeri in kratke uporabe
- Trikotnika s stranicami 3, 4 in 5 ter 6, 8 in 10 sta si podobna (SSS) z razmerjem k = 2.
- Dva kroga sta si vedno podobna: razmerje polmerov je enako razmerju vseh dolžin (npr. dolžin premerov).
- Vsaka dva kvadrata sta si podobna, saj so vsi koti enaki (90°) in so stranice sorazmerne (strani vsakega kvadrata so v konstantnem razmerju).
- Če poznamo lestvilo podobnosti k, lahko hitro izračunamo nove dolžine in površine: če se stranica poveča za faktor k = 1,5, se površina poveča za k^2 = 2,25.
Opombe in praktični nasveti
Pri reševanju nalog bodite pozorni na pravilno ujemanje ustreznih kotov in stranic (oznaka ustreznosti mora biti jasna). Če naloga govori o sorazmernosti brez navedbe ustreznih parov, najprej natančno določite, katera stran pripada kateri. Pri risanju podobnih likov uporabite merilo (razmerje k) in si pomagajte s homotetijo: izberite center homotetije in pomnožite razdalje od tega centra do točk z ustreznim faktorjem.
Podobnost je torej ključen pojem v geometriji, ki povezuje oblike različnih velikosti, a iste oblike — z razmerji stranic in ohranjenimi kotami. Razumevanje podobnosti je tudi osnova za delo s skladnostjo, meritvami in praktičnimi problemi v arhitekturi, kartografiji in fiziki.
Slike, prikazane z isto barvo, so si podobne
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je podobnost?
O: Podobnost je zamisel v geometriji, ki pomeni, da lahko dva mnogokotnika, odseka črte ali drugi liki postanejo enaki s spreminjanjem velikosti.
V: Kako veš, ali sta si dva lika podobna?
O: Dve figuri sta si podobni, če imata kota enako mero in sta njuni stranici sorazmerni.
V: Ali so si vsi mnogokotniki med seboj podobni?
O: Ne, vsi mnogokotniki si niso podobni. Vsi drugi mnogokotniki morajo izpolnjevati oba pogoja, da imajo enake kote in da so njihove stranice sorazmerne, da bi jih lahko šteli za podobne.
V: Kako se podobnost primerja s skladnostjo?
O: Skladni liki imajo enake stranice in kote, zato sta dva lika skladna drug z drugim, če lahko eden postane drugi le z vrtenjem, odbijanjem ali premikanjem. Vse oblike, ki so med seboj kongruentne, so si tudi podobne, vendar ne obratno.
V: Ali so si krogi vedno podobni?
O: Da, krogi, kvadrati ali odseki črt so si vedno podobni.
