Waveletova transformacija

Valovna transformacija je časovno-frekvenčna predstavitev signala. Uporabljamo jo na primer za zmanjšanje šuma, ekstrakcijo značilnosti ali stiskanje signala.

Waveletova transformacija zveznega signala je definirana kot

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kjer je

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ je tako imenovani matični valovanje,
a {\displaystyle a} označuje waveletno dilatacijo,
b {\displaystyle b} $b$ označuje časovni premik valovanja in
∗ {\displaystyle *} $*$ simbol označuje kompleksni konjugat.

V primeru a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ in b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ pri čemer a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} ter m $T>0$ {\displaystyle m} in k {\displaystyle k} celoštevilski konstanti, se valovna transformacija imenuje diskretna valovna transformacija (zveznega signala).

V primeru a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ in b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ kjer je m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ se diskretna valovna transformacija imenuje diadična. Definirana je kot

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kjer je

m {\displaystyle m} je frekvenčna lestvica,
k {\displaystyle k} je časovna skala in
T {\displaystyle T} $T$ je konstanta, ki je odvisna od matičnega valovanja.

Diadično diskretno valovno transformacijo je mogoče prepisati kot

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kjer je h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ impulzna karakteristika zveznega filtra, ki je enaka ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ za dani m {\displaystyle m} .

Analogno je diadna waveletna transformacija z diskretnim časom (diskretnega signala) definirana kot

Neprekinjena valovna transformacija signala frekvenčne razgradnje. Uporabljen je simlet s petimi izginjajočimi momenti.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je valovna transformacija?

O: Valovna transformacija je časovno-frekvenčna predstavitev signala, ki se uporablja za zmanjšanje šuma, ekstrakcijo značilnosti ali stiskanje signala.

V: Kako je definirana valovna transformacija zveznih signalov?

O: Valovna transformacija zveznih signalov je definirana kot integral nad vsemi vrednostmi funkcije, pomnožen z matičnim valovanjem, pri čemer parametra "a" in "b" označujeta dilatacijo oziroma časovni premik.

V: Kaj so diadne diskretne valovne transformacije?

O: Diadične diskretne waveletne transformacije so diskretne različice običajnih diskretnih waveletnih transformacij s frekvenčno skalo "m", časovno skalo "k" in konstanto "T". Prepisati jih je mogoče kot integral nad vsemi vrednostmi funkcije, pomnožen z impulznim značilnim filtrom, ki je enak matičnemu waveletu za dani m.

V: Na kaj se v tem kontekstu nanaša "matični wavelet"?

O: V tem kontekstu se "matični wavelet" nanaša na funkcije, ki se uporabljajo v povezavi z drugimi funkcijami kot osnova za izračun določene vrste transformacije (v tem primeru valovne transformacije).

V: Kako se izračunajo diadni diskretni Waveleti?

O: Diadni diskretni waveleti se izračunajo z uporabo integrala nad vsemi vrednostmi funkcije, pomnoženega z impulznim značilnim filtrom, ki je enak matičnemu waveletu za dani m. Poleg tega potrebujejo kot parametre frekvenčno skalo m, časovno skalo k in konstanto T.

V: Kaj predstavljata "a" in "b" pri opredelitvi zveznih valovnih valov?

O: Pri opredelitvi zveznih valovnih rezin "a" predstavlja dilatacijo, "b" pa časovni premik.