Valovna transformacija je časovno-frekvenčna predstavitev signala. Uporabljamo jo na primer za zmanjšanje šuma, ekstrakcijo značilnosti ali stiskanje signala.

Waveletova transformacija zveznega signala je definirana kot

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} ,

kjer je

  • ψ {\displaystyle \psi }\psi je tako imenovani matični valovanje,
  • a {\displaystyle a}a označuje waveletno dilatacijo,
  • b {\displaystyle b} {\displaystyle b}označuje časovni premik valovanja in
  • ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} simbol označuje kompleksni konjugat.

V primeru a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} in b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}pri čemer a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} ter m {\displaystyle T>0}{\displaystyle m} in km {\displaystyle k} kceloštevilski konstanti, se valovna transformacija imenuje diskretna valovna transformacija (zveznega signala).

V primeru a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}} in b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}kjer je m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}se diskretna valovna transformacija imenuje diadična. Definirana je kot

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

kjer je

  • m {\displaystyle m}m je frekvenčna lestvica,
  • k {\displaystyle k}k je časovna skala in
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} je konstanta, ki je odvisna od matičnega valovanja.

Diadično diskretno valovno transformacijo je mogoče prepisati kot

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

kjer je h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} impulzna karakteristika zveznega filtra, ki je enaka ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} za dani m {\displaystyle m}m .

Diadna waveletna transformacija za diskretni čas

Analogno je diadna waveletna transformacija z diskretnim časom (diskretnega signala) definirana kot vsota (konvolucija) signalnih vzorčnih vrednosti s primerjalnimi (skońčnimi) valovnimi bazičnimi funkcijami. Za diskretni signal x[n] lahko zapišemo koeficiente kot:

  • Diskretni (diadni) waveletni koeficient: Wψ x(m,k) = Σ_{n} x[n] ψ_{m,k}^*[n], kjer je ψ_{m,k}[n] = 2^{-m/2} ψ(2^{-m} n - kT) (v diskretnem zapisu se argument vzorči in po potrebi interpolira ali vzorčno prebere iz diskretizirane matične funkcije).
  • Praktična implementacija: V numeričnih algoritmih se diadna DWT izvaja z zaporednim filtriranjem z nizko-prehodnim (skalnim) filtrom h[n] in visokoprehodnim (valovnim) filtrom g[n], nato s subsamplingom (downsampling) z 2:1. To vodi do razcepa signala na približno nizkofrekvenčne (približne, approximation) in visokofrekvenčne (podrobnosti, detail) koeficiente na vsaki skali m.

Multirezolucijski pristop in filtri

Osrednji koncept v diskretni valovni transformaciji je multirezolucija (MRA, multiresolution analysis): signal se na vsaki stopnji razdeli z uporabo dveh kompaktno-podprtih filtrov in downsamplinga. Algoritem Mallat (piramidna dekompozicija) je standardna metoda:

  • Dejanja na stopnji m: filtriraj s h[n] (nizkoprepustni skalni filter) za aproksimacijo in s g[n] (visokoprepustni valovni filter) za podrobnosti, nato downsamplaj za 2.
  • Rekonstrukcija: z uporabljenimi obratnimi operacijami (upsampling + filtriranje z rekonstrukcijskimi filtri) se pridobijo nazaj izvorni vzorci — pri ortonormalnih valovnih osnovah rekonstrukcija brez napake.

Pogoste lastnosti in pogoji

  • Admisibilnost: Matično valovanje ψ mora zadovoljiti pogoje, npr. imeti ničelno povprečje (∫ ψ(t) dt = 0) in končno konstanto admissibility Cψ = ∫ (|Ψ(ω)|^2 / |ω|) dω < ∞, da je možna obratna transformacija.
  • Ortonormalnost vs. biortogonalnost: Nekateri valovni sistemi (npr. Haar, nekatere Daubechiesove funkcije) so ortonormalni — to pomeni ohranjanje energije in enostavno rekonstrukcijo. Biortogonalni sistemi omogočajo simetrične filtre in lažjo interpolacijo, vendar zahtevajo ločene analitične in sintetične filtre.
  • Podpora in gladkost: Valovila se razlikujejo po dolžini filtra (kompaktna podpora) in numerični gladkosti; na primer Daubechiesovi valovi nudijo kompaktno podporo in višjo gladkost z večjimi redi.
  • Redundantnost in shift-invariance: Nareditev transformacije brez downsamplinga (redundantna ali kontinuirana diskretna transformacija) poveča odpornost na premik v signalu, vendar proizvede redundantne koeficiente.

Primeri matičnih valovanj

Najpogosteje uporabljena valovanja so:

  • Haar (najpreprostejše, hitro, diskretno, minimalna gladka),
  • Daubechies (dbN) — kompaktna podpora, dobra za stiskanje in diskretno analizo,
  • Symlet, Coiflet — simetrični ali bolj gladki filtri,
  • Morlet, Mexican hat — pogosto pri CWT (kontinuirana valovna transformacija) v analognem svetu.

Uporabe

Valovna transformacija se pogosto uporablja v:

  • Zmanjševanje šuma: Večstopenjski razcep signala, pragovanje (thresholding) podrobnostnih koeficientov in obratna rekonstrukcija — učinkovit pristop za odstranjevanje beli/gaussovega šuma.
  • Stiskanje signala in slike: Koeficienti so pogosto redko porazdeljeni; z kvantizacijo in kodiranjem največjih koeficientov dosežemo visoko stopnjo stiskanja (npr. JPEG 2000 uporablja valovne metode).
  • Ekstrakcija značilnosti: Pri obdelavi signalov, govora in biomedicinskih signalov (npr. EKG) valovni koeficienti služijo kot vhod avtomatskim klasifikatorjem.
  • Analiza časovno-spreminjajočih se frekvenc: Ker valovne funkcije nudijo večjo časovno ločljivost pri visokih frekvencah in večjo frekvenčno ločljivost pri nizkih frekvencah, so primerne za ne-stacionarne signale.

Praktična opažanja

  • Izbira matičnega valovanja in števila dekompozicijskih nivojev močno vpliva na rezultate — za vsako nalogo je smiselno testirati več valovanj.
  • Diskretna implementacija je računsko učinkovita (O(N) za DWT z uporabo filtrov Mallat) in primerna za realnočasovne aplikacije.
  • Pri uporabi na digitalnih signalih je treba paziti na robne učinke (padding, periodizacija ali simetrično podaljševanje) pri filtriranju.

Skupno povzamemo: valovna transformacija (kontinučna in diskretna) je močno orodje za lokalno analizo signala v času in frekvenci, ki skozi diadno diskretno verzijo omogoča učinkovito numerično implementacijo z uporabo filtrov, multirezolucijske dekompozicije in stabilne rekonstrukcije.