Valovna (wavelet) transformacija signalov: definicija, diadična in diskretna

Celovit vodnik o valovni (wavelet) transformaciji signalov: definicija, diadična in diskretna izvedba ter praktične uporabe pri filtriranju, ekstrakciji značilnosti in stiskanju.

Avtor: Leandro Alegsa

13-10-2025 15:42

Valovna transformacija je časovno-frekvenčna predstavitev signala. Uporabljamo jo na primer za zmanjšanje šuma, ekstrakcijo značilnosti ali stiskanje signala.

Waveletova transformacija zveznega signala je definirana kot

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kjer je

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ je tako imenovani matični valovanje,
a {\displaystyle a} označuje waveletno dilatacijo,
b {\displaystyle b} $b$ označuje časovni premik valovanja in
∗ {\displaystyle *} $*$ simbol označuje kompleksni konjugat.

V primeru a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ in b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ pri čemer a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} ter m $T>0$ {\displaystyle m} in k {\displaystyle k} celoštevilski konstanti, se valovna transformacija imenuje diskretna valovna transformacija (zveznega signala).

V primeru a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ in b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ kjer je m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ se diskretna valovna transformacija imenuje diadična. Definirana je kot

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kjer je

m {\displaystyle m} je frekvenčna lestvica,
k {\displaystyle k} je časovna skala in
T {\displaystyle T} $T$ je konstanta, ki je odvisna od matičnega valovanja.

Diadično diskretno valovno transformacijo je mogoče prepisati kot

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kjer je h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ impulzna karakteristika zveznega filtra, ki je enaka ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ za dani m {\displaystyle m} .

Diadna waveletna transformacija za diskretni čas

Analogno je diadna waveletna transformacija z diskretnim časom (diskretnega signala) definirana kot vsota (konvolucija) signalnih vzorčnih vrednosti s primerjalnimi (skońčnimi) valovnimi bazičnimi funkcijami. Za diskretni signal x[n] lahko zapišemo koeficiente kot:

Diskretni (diadni) waveletni koeficient: Wψ x(m,k) = Σ_{n} x[n] ψ_{m,k}^*[n], kjer je ψ_{m,k}[n] = 2^{-m/2} ψ(2^{-m} n - kT) (v diskretnem zapisu se argument vzorči in po potrebi interpolira ali vzorčno prebere iz diskretizirane matične funkcije).
Praktična implementacija: V numeričnih algoritmih se diadna DWT izvaja z zaporednim filtriranjem z nizko-prehodnim (skalnim) filtrom h[n] in visokoprehodnim (valovnim) filtrom g[n], nato s subsamplingom (downsampling) z 2:1. To vodi do razcepa signala na približno nizkofrekvenčne (približne, approximation) in visokofrekvenčne (podrobnosti, detail) koeficiente na vsaki skali m.

Multirezolucijski pristop in filtri

Osrednji koncept v diskretni valovni transformaciji je multirezolucija (MRA, multiresolution analysis): signal se na vsaki stopnji razdeli z uporabo dveh kompaktno-podprtih filtrov in downsamplinga. Algoritem Mallat (piramidna dekompozicija) je standardna metoda:

Dejanja na stopnji m: filtriraj s h[n] (nizkoprepustni skalni filter) za aproksimacijo in s g[n] (visokoprepustni valovni filter) za podrobnosti, nato downsamplaj za 2.
Rekonstrukcija: z uporabljenimi obratnimi operacijami (upsampling + filtriranje z rekonstrukcijskimi filtri) se pridobijo nazaj izvorni vzorci — pri ortonormalnih valovnih osnovah rekonstrukcija brez napake.

Pogoste lastnosti in pogoji

Admisibilnost: Matično valovanje ψ mora zadovoljiti pogoje, npr. imeti ničelno povprečje (∫ ψ(t) dt = 0) in končno konstanto admissibility Cψ = ∫ (|Ψ(ω)|^2 / |ω|) dω < ∞, da je možna obratna transformacija.
Ortonormalnost vs. biortogonalnost: Nekateri valovni sistemi (npr. Haar, nekatere Daubechiesove funkcije) so ortonormalni — to pomeni ohranjanje energije in enostavno rekonstrukcijo. Biortogonalni sistemi omogočajo simetrične filtre in lažjo interpolacijo, vendar zahtevajo ločene analitične in sintetične filtre.
Podpora in gladkost: Valovila se razlikujejo po dolžini filtra (kompaktna podpora) in numerični gladkosti; na primer Daubechiesovi valovi nudijo kompaktno podporo in višjo gladkost z večjimi redi.
Redundantnost in shift-invariance: Nareditev transformacije brez downsamplinga (redundantna ali kontinuirana diskretna transformacija) poveča odpornost na premik v signalu, vendar proizvede redundantne koeficiente.

Primeri matičnih valovanj

Najpogosteje uporabljena valovanja so:

Haar (najpreprostejše, hitro, diskretno, minimalna gladka),
Daubechies (dbN) — kompaktna podpora, dobra za stiskanje in diskretno analizo,
Symlet, Coiflet — simetrični ali bolj gladki filtri,
Morlet, Mexican hat — pogosto pri CWT (kontinuirana valovna transformacija) v analognem svetu.

Uporabe

Valovna transformacija se pogosto uporablja v:

Zmanjševanje šuma: Večstopenjski razcep signala, pragovanje (thresholding) podrobnostnih koeficientov in obratna rekonstrukcija — učinkovit pristop za odstranjevanje beli/gaussovega šuma.
Stiskanje signala in slike: Koeficienti so pogosto redko porazdeljeni; z kvantizacijo in kodiranjem največjih koeficientov dosežemo visoko stopnjo stiskanja (npr. JPEG 2000 uporablja valovne metode).
Ekstrakcija značilnosti: Pri obdelavi signalov, govora in biomedicinskih signalov (npr. EKG) valovni koeficienti služijo kot vhod avtomatskim klasifikatorjem.
Analiza časovno-spreminjajočih se frekvenc: Ker valovne funkcije nudijo večjo časovno ločljivost pri visokih frekvencah in večjo frekvenčno ločljivost pri nizkih frekvencah, so primerne za ne-stacionarne signale.

Praktična opažanja

Izbira matičnega valovanja in števila dekompozicijskih nivojev močno vpliva na rezultate — za vsako nalogo je smiselno testirati več valovanj.
Diskretna implementacija je računsko učinkovita (O(N) za DWT z uporabo filtrov Mallat) in primerna za realnočasovne aplikacije.
Pri uporabi na digitalnih signalih je treba paziti na robne učinke (padding, periodizacija ali simetrično podaljševanje) pri filtriranju.

Skupno povzamemo: valovna transformacija (kontinučna in diskretna) je močno orodje za lokalno analizo signala v času in frekvenci, ki skozi diadno diskretno verzijo omogoča učinkovito numerično implementacijo z uporabo filtrov, multirezolucijske dekompozicije in stabilne rekonstrukcije.

Neprekinjena valovna transformacija signala frekvenčne razgradnje. Uporabljen je simlet s petimi izginjajočimi momenti.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je valovna transformacija?

O: Valovna transformacija je časovno-frekvenčna predstavitev signala, ki se uporablja za zmanjšanje šuma, ekstrakcijo značilnosti ali stiskanje signala.

V: Kako je definirana valovna transformacija zveznih signalov?

O: Valovna transformacija zveznih signalov je definirana kot integral nad vsemi vrednostmi funkcije, pomnožen z matičnim valovanjem, pri čemer parametra "a" in "b" označujeta dilatacijo oziroma časovni premik.

V: Kaj so diadne diskretne valovne transformacije?

O: Diadične diskretne waveletne transformacije so diskretne različice običajnih diskretnih waveletnih transformacij s frekvenčno skalo "m", časovno skalo "k" in konstanto "T". Prepisati jih je mogoče kot integral nad vsemi vrednostmi funkcije, pomnožen z impulznim značilnim filtrom, ki je enak matičnemu waveletu za dani m.

V: Na kaj se v tem kontekstu nanaša "matični wavelet"?

O: V tem kontekstu se "matični wavelet" nanaša na funkcije, ki se uporabljajo v povezavi z drugimi funkcijami kot osnova za izračun določene vrste transformacije (v tem primeru valovne transformacije).

V: Kako se izračunajo diadni diskretni Waveleti?

O: Diadni diskretni waveleti se izračunajo z uporabo integrala nad vsemi vrednostmi funkcije, pomnoženega z impulznim značilnim filtrom, ki je enak matičnemu waveletu za dani m. Poleg tega potrebujejo kot parametre frekvenčno skalo m, časovno skalo k in konstanto T.

V: Kaj predstavljata "a" in "b" pri opredelitvi zveznih valovnih valov?

O: Pri opredelitvi zveznih valovnih rezin "a" predstavlja dilatacijo, "b" pa časovni premik.

Iskati