Wavelet: definicija, lastnosti in uporaba v obdelavi signalov

Wavelet: jasna definicija, ključne lastnosti in praktična uporaba v obdelavi signalov — vodnik za razumevanje valovnih transformacij, filtriranja in analize časovno‑frekvenčnih podatkov.

Avtor: Leandro Alegsa

07-10-2025 17:07

Wavelet je matematična funkcija, ki se uporablja za zapis funkcije ali signala v obliki drugih funkcij, ki so enostavnejše za preučevanje. Številne naloge obdelave signalov lahko obravnavamo v smislu valovne transformacije. Neformalno rečeno, signal lahko vidimo pod objektivom s povečavo, ki je podana z merilom valovanja. Pri tem lahko vidimo le informacije, ki so določene z obliko uporabljenega valovanja.

Angleški izraz "wavelet" sta v začetku osemdesetih let prejšnjega stoletja uvedla francoska fizika Jean Morlet in Alex Grossman. Uporabila sta francosko besedo "ondelette" (ki pomeni "majhen val"). Kasneje je bila ta beseda prenesena v angleščino s prevodom "onde" v "wave", tako da je nastal "wavelet".

Wavelet je (kompleksna) funkcija iz Hilbertovega prostora ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Za praktično uporabo mora izpolnjevati naslednje pogoje.

Imeti mora končno energijo.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Izpolnjevati mora pogoj dopustnosti.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{hat {\psi }}}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , kjer je ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ Fourierova transformacija ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Pogoj ničelne sredine izhaja iz pogoja dopustnosti.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funkcija ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ se imenuje matični wavelet. Njene prevedene (premaknjene) in razširjene (pomanjšane) normalizirane različice so opredeljene, kot sledi.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Izvirni matični valovanje ima parametre a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ in b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Translacijo opisuje parameter b {\displaystyle b} $b$ , dilatacijo pa parameter a {\displaystyle a}.

Osnovne lastnosti in interpretacija

Wavelet analize omogočajo lokalno čas‑frekvenčno predstavitev signala. V nasprotju s Fourierovo transformacijo, ki uporablja globalne sinuse in kosinuse, waveleti dajejo informacije o tem, kje (v času) se pojavijo določene frekvenčne strukture. Parameter a določa merilo (skala): majhen a pomeni stisnjeno valovanje — bolj občutljivo na visoke frekvence, velik a pomeni razširjeno valovanje — bolj občutljivo na nizke frekvence. Parameter b premika wavelet v času (translacija).

Kontinuirana in inverzna valovna transformacija

Za signal f(t) je kontinuirana valovna transformacija (CWT) definirana kot skalarni produkt z matičnim waveletom:

Wf(a,b) = ∫ f(t) · ψ*_{a,b}(t) dt — koeficienti Wf(a,b) opisujejo vsebino signala na skali a in poziciji b.

Če je wavelet dopusten (tj. izpolnjuje pogoj dopustnosti), obstaja tudi inverzna formula za rekonstrukcijo signala:

f(t) = (1/Cψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{-∞}^{∞} Wf(a,b) · ψ_{a,b}(t) db da / a^2, kjer je Cψ konstanta dopustnosti.

To pomeni, da je analiza z valovnimi koeficienti in povratna rekonstrukcija teoretično točna, če so izpolnjeni pogoji za matični wavelet.

Diskretna valovna transformacija (DWT) in večkratna ločljivost

Za praktične računalniške aplikacije se pogosto uporablja diskretna valovna transformacija. Ta izbere diskretne vrednosti parametrov a in b — najpogosteje

a = 2^j (logaritmične stopnje) in b = k·2^j, kjer sta j in k cela števila.

DWT je povezana z večkratno ločljivostjo (multiresolution analysis, MRA): signal se razdeli na približek (low‑pass) in detajl (high‑pass) na več nivojih. Ta hierarhična razlaga omogoča hitro algoritemsko izvedbo (Mallatov algoritem) z uporabo filtrov — nizko‑presekalni (scaling) in visoko‑presekalni (wavelet) filtri. Pri ortogonalnih valovnih bazah sta analiza in sinteza izvedeni s paroma ortogonalnih filtrov, pri biortogonalnih pa z različnimi analiznimi in sintetičnimi fili, kar omogoča simetrične filtre in celo‑številne vanjoče lastnosti.

Pomembne lastnosti matičnih valov

Število ničel (vanishing moments): če ima wavelet N vanishing momentov, bo izločil polinome stopnje < N (npr. trendi), kar je zelo uporabno pri stiskanju in odstranjevanju šuma.
Podpora: compact support (končna podpora) pomeni, da je wavelet nič zunaj omejenega intervala — to vodi do hitrih, lokalnih računskih postopkov.
Gladka in regularnost: bolj gladek wavelet običajno omogoča boljšo aproksimacijo z manj koeficienti, vendar pogosto zahteva širšo podporo.
Realni proti kompleksni: kompleksni waveleti (npr. Morlet) ohranijo tudi fazne informacije in so uporabni za analizo amplitudne in fazne modulacije.

Primeri pogosto uporabljenih waveletov

Haar — najpreprostejši wavelet; ima enostavne filtre, diskretna stopničasta funkcija; hitro in intuitivno, a negladka.
Daubechies (DbN) — družina ortogonalnih waveletov z N vanishing momenti; dobra kompromis med podporo in regularnostjo.
Symlets, Coiflets — variante, ki izboljšujejo simetrijo ali regularnost.
Morlet — približek analitičnemu kompleksnemu sinusnno‑gaussovskemu valovanju; uporaben pri CWT za čas‑frekvenčne analize.
Mexican hat (Ricker) — drugi odvod Gaussove funkcije; uporaben za detekcijo impulzov in robov.

Uporaba v obdelavi signalov

Waveleti imajo širok nabor uporab v obdelavi signalov in slik. Glavne aplikacije vključujejo:

Odstranjevanje šuma (denoising): transformiramo signal, pragujemo ali zmanjšamo manjše koeficiente (thresholding) in rekonstruiramo — metoda, ki jo je znatno populariziral Donoho.
Stiskanje podatkov: s transformacijo v waveletno bazo in kvantizacijo pomembnih koeficientov — primer je JPEG 2000 za slike.
Ekstrakcija značilk (feature extraction): valovni koeficienti na določenih skalah so učinkoviti pri prepoznavanju dogodkov, robov ali značilnosti signala (npr. v medicinski diagnostiki: analiza ECG).
Analiza ne‑stacionarnih signalov: ker wavelet lokacijsko loči čas in frekvenco, je primeren za signale, katerih spektralna vsebina se spreminja v času (seizmični signali, govor, radar, sonar).
Detekcija robov in obrazov pri obdelavi slik, večslojne analize in fuzija slik.

Praktične opombe pri implementaciji

Izbira matičnega waveleta vpliva na ločljivost in kakovost rezultatov — ni "enega najboljšega" za vse naloge.
Pri DWT je izračunska zahtevnost lahko linearna v številu vzorcev (O(n)) z uporabo filtrov in down/up‑samplingov.
Pri robnih pogojih je treba izbrati strategijo obdelave robov (odbijanje, periodizacija, zrcaljenje itd.), kar vpliva na rezultate blizu koncev signala.
Za analizo frekvenčnih vsebin pri različnih skalah je smiselno razumeti zamenjavo med skalo in frekvenco — majhne skale ustrezajo višjim frekvencam in obratno.

Povzetek

Waveleti so vsestransko orodje za analizo in obdelavo signalov, ki združujejo lokalno časovno in frekvenčno informacijo. Teoretično temeljijo na lastnostih matičnega waveleta (končna energija, dopustnost, ničelna sredina), praktično pa omogočajo učinkovite metode za denoising, stiskanje, detekcijo značilk in analizo ne‑stacionarnih signalov. Razumevanje razlik med CWT in DWT, pomena vanishing momentov, podpore in regularnosti waveletov ter pravilna izvedba filtrov in boundary‑handlinga je ključnega pomena za uspešno uporabo v konkretnih aplikacijah.

Morletov valovanje

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je wavelet?

O: Wavelet je matematična funkcija, ki se uporablja za zapis funkcije ali signala v obliki drugih funkcij, ki so enostavnejše za preučevanje. Opazujemo jo lahko pod objektivom s povečavo, ki je podana z merilom valovanja, kar nam omogoča, da vidimo le informacije, ki jih določa njena oblika.

V: Kdo je uvedel izraz "wavelet"?

O: Angleški izraz "wavelet" sta v začetku osemdesetih let prejšnjega stoletja uvedla francoska fizika Jean Morlet in Alex Grossman, ki sta uporabila francosko besedo "ondelette" (ki pomeni "majhen val"). Kasneje je bila ta beseda prenesena v angleščino s prevodom besede "onde" v "val", tako da smo dobili "wavelet".

V: Kaj mora wavelet izpolnjevati za praktično uporabo?

O: Za praktično uporabo mora imeti wavelet končno energijo in izpolnjevati pogoj sprejemljivosti. Ta pogoj dopustnosti določa, da mora imeti ničelno srednjo vrednost in izpolnjevati integral nad frekvenco, ki je manjši od neskončnosti.

V: Kaj pomenita translacija in dilatacija, ko govorimo o waveletih?

O: Translacija se nanaša na premikanje ali premikanje matičnega waveleta vzdolž časovne osi, medtem ko se dilatacija nanaša na skaliranje ali raztezanje/zmanjševanje matičnih waveletov vzdolž časovne osi. Ta dva parametra (translacija in dilatacija) sta opisana z b oziroma a.

V: Kaj pomeni, da ima wavelet ničelno srednjo vrednost?

O: Ničelna srednja vrednost pomeni, da mora biti pri integraciji vseh vrednosti t od negativne neskončnosti do pozitivne neskončnosti vsota enaka 0, tj. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Ta zahteva izhaja iz samega pogoja dopustnosti, kot je omenjeno zgoraj.

V: Kako so opredeljeni matični valovi?

O: Matični valovi so opredeljeni kot normalizirane različice prevedene (premaknjene) in razširjene (pomanjšane) različice originalnih matičnih valov, ki imajo parametre "a" = 1 in "b" = 0 .

Iskati