Wavelet

Wavelet je matematična funkcija, ki se uporablja za zapis funkcije ali signala v obliki drugih funkcij, ki so enostavnejše za preučevanje. Številne naloge obdelave signalov lahko obravnavamo v smislu valovne transformacije. Neformalno rečeno, signal lahko vidimo pod objektivom s povečavo, ki je podana z merilom valovanja. Pri tem lahko vidimo le informacije, ki so določene z obliko uporabljenega valovanja.

Angleški izraz "wavelet" sta v začetku osemdesetih let prejšnjega stoletja uvedla francoska fizika Jean Morlet in Alex Grossman. Uporabila sta francosko besedo "ondelette" (ki pomeni "majhen val"). Kasneje je bila ta beseda prenesena v angleščino s prevodom "onde" v "wave", tako da je nastal "wavelet".

Wavelet je (kompleksna) funkcija iz Hilbertovega prostora ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Za praktično uporabo mora izpolnjevati naslednje pogoje.

Imeti mora končno energijo.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Izpolnjevati mora pogoj dopustnosti.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{hat {\psi }}}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , kjer je ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ Fourierova transformacija ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Pogoj ničelne sredine izhaja iz pogoja dopustnosti.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funkcija ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ se imenuje matični wavelet. Njene prevedene (premaknjene) in razširjene (pomanjšane) normalizirane različice so opredeljene, kot sledi.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Izvirni matični valovanje ima parametre a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ in b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Translacijo opisuje parameter b {\displaystyle b} $b$ , dilatacijo pa parameter a {\displaystyle a}.

Morletov valovanje

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je wavelet?

O: Wavelet je matematična funkcija, ki se uporablja za zapis funkcije ali signala v obliki drugih funkcij, ki so enostavnejše za preučevanje. Opazujemo jo lahko pod objektivom s povečavo, ki je podana z merilom valovanja, kar nam omogoča, da vidimo le informacije, ki jih določa njena oblika.

V: Kdo je uvedel izraz "wavelet"?

O: Angleški izraz "wavelet" sta v začetku osemdesetih let prejšnjega stoletja uvedla francoska fizika Jean Morlet in Alex Grossman, ki sta uporabila francosko besedo "ondelette" (ki pomeni "majhen val"). Kasneje je bila ta beseda prenesena v angleščino s prevodom besede "onde" v "val", tako da smo dobili "wavelet".

V: Kaj mora wavelet izpolnjevati za praktično uporabo?

O: Za praktično uporabo mora imeti wavelet končno energijo in izpolnjevati pogoj sprejemljivosti. Ta pogoj dopustnosti določa, da mora imeti ničelno srednjo vrednost in izpolnjevati integral nad frekvenco, ki je manjši od neskončnosti.

V: Kaj pomenita translacija in dilatacija, ko govorimo o waveletih?

O: Translacija se nanaša na premikanje ali premikanje matičnega waveleta vzdolž časovne osi, medtem ko se dilatacija nanaša na skaliranje ali raztezanje/zmanjševanje matičnih waveletov vzdolž časovne osi. Ta dva parametra (translacija in dilatacija) sta opisana z b oziroma a.

V: Kaj pomeni, da ima wavelet ničelno srednjo vrednost?

O: Ničelna srednja vrednost pomeni, da mora biti pri integraciji vseh vrednosti t od negativne neskončnosti do pozitivne neskončnosti vsota enaka 0, tj. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Ta zahteva izhaja iz samega pogoja dopustnosti, kot je omenjeno zgoraj.

V: Kako so opredeljeni matični valovi?

O: Matični valovi so opredeljeni kot normalizirane različice prevedene (premaknjene) in razširjene (pomanjšane) različice originalnih matičnih valov, ki imajo parametre "a" = 1 in "b" = 0 .