Zenonovi paradoksi

Ahil in želva

V paradoksu o Ahilu in želvi je Ahil v tekmi z želvo. Ahil dovoli želvi, da ima na primer 100 metrov prednosti. Predpostavimo, da vsak tekmovalec začne teči s konstantno hitrostjo, eden zelo hitro, drugi zelo počasi. Po določenem končnem času bo Ahil pretekel 100 metrov, s čimer bo prišel do želvine začetne točke. V tem času je počasnejša želva pretekla veliko krajšo razdaljo. Ahil bo potreboval še nekaj časa, da preteče to razdaljo, v tem času pa bo želva napredovala še dlje. Ahil bo potreboval še več časa, da bo dosegel to tretjo točko, medtem ko bo želva spet napredovala. Kadar koli torej Ahil doseže mesto, kjer je bila želva, ga čaka še daljša pot. Ker je torej točk, ki jih mora Ahil doseči tam, kjer je želva že bila, neskončno veliko, želve nikoli ne more prehiteti.

Paradoks dihotomije

Recimo, da želi nekdo priti iz točke A v točko B. Najprej se mora premakniti na pol poti. Nato mora prehoditi polovico preostale poti. Če bi nadaljevali na ta način, bi vedno ostalo nekaj manjše razdalje in cilj ne bi bil nikoli dejansko dosežen. Vedno bo treba dodati še eno število v nizu, kot je 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Gibanje iz katere koli točke A v katero koli drugo točko B je torej nemogoče.

Komentar

V tem se skriva Zenonov paradoks: obe sliki resničnosti ne moreta biti resnični hkrati. Zato ne moreta: 1. je nekaj narobe z našim dojemanjem neprekinjene narave časa, 2. v resnici ne obstaja nič takega kot diskretna ali postopna količina časa, razdalje ali česar koli drugega, ali 3. Obstaja tretja slika resničnosti, ki združuje obe sliki - matematično in zdravorazumsko ali filozofsko - in za katero še nimamo orodij, da bi jo v celoti razumeli.

Predlagane rešitve

Malokdo bi stavil, da bo želva zmagala v tekmi z atletom. Toda kaj je narobe s to trditvijo?

Ko začnemo seštevati člene v nizu 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., lahko opazimo, da se vsota vedno bolj približuje 1 in nikoli ne preseže 1. Aristotel (ki je vir za večino tega, kar vemo o Zenonu) je opazil, da se z zmanjševanjem razdalje (v paradoksu dihotomije) čas za premagovanje vsake razdalje izredno zmanjšuje. Arhimed je pred letom 212 pred našim štetjem razvil metodo, kako dobiti končni odgovor za vsoto neskončno veliko členov, ki se postopoma manjšajo (kot so 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Sodobno računstvo doseže enak rezultat z uporabo strožjih metod.

Nekateri matematiki, kot je w:Carl Boyer, menijo, da so Zenonovi paradoksi preprosto matematični problemi, za katere sodobni račun ponuja matematično rešitev. Vendar pa Zenonova vprašanja ostajajo problematična, če se neskončni seriji približujemo po korakih. To je znano kot nadnaloga. Pri računanju dejansko ne gre za seštevanje števil po vrsti. Namesto tega določi vrednost (imenovano meja), ki se ji seštevanje približuje.

Glej članke na angleški Wikipediji

• Zenonovi paradoksi
• Kvadratura parabole
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsonova svetilka