Kombinirani plinski zakon

Izpeljava iz plinskih zakonov

Boylov zakon pravi, da je produkt tlaka in prostornine konstanten:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charlesov zakon pravi, da je prostornina sorazmerna z absolutno temperaturo:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussacov zakon pravi, da je tlak sorazmeren absolutni temperaturi:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

kjer je P tlak, V prostornina in T absolutna temperatura idealnega plina.

Če združimo (1) in eno od (2) ali (3), dobimo novo enačbo s P, V in T. Če enačbo (1) delimo s temperaturo in enačbo (2) pomnožimo s tlakom, dobimo:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Ker je leva stran obeh enačb enaka, dobimo

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

kar pomeni, da

P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstanta}}} .

Če nadomestimo Avogadrov zakon, dobimo enačbo idealnega plina.

Fizikalna izpeljava

Izpeljava kombiniranega plinskega zakona z uporabo zgolj osnovne algebre lahko vsebuje presenečenja. Če na primer izhajamo iz treh empiričnih zakonov

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussacov zakon, prostornina je konstantna

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Charlesov zakon, tlak je konstanten

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boylov zakon, temperatura je konstantna

kjer so kV, kP in kT konstante, lahko vse tri pomnožimo in dobimo

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Če vzamemo kvadratni koren iz obeh strani in delimo s T, dobimo želeni rezultat

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\! }

Če pa pred uporabo zgornjega postopka zgolj preuredimo člene Boylovega zakona, kT = PV, potem po izničenju in preureditvi dobimo

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }

kar ni preveč koristno, če ne celo zavajajoče.

Fizikalna izpeljava, ki je daljša, vendar zanesljivejša, se začne z ugotovitvijo, da se parameter konstantne prostornine v Gay-Lussacovem zakonu spreminja s spreminjanjem prostornine sistema. Pri konstantni prostornini _{V1 je} zakon lahko videti P = k1T, pri konstantni prostornini V2 pa P = k2T. Če to "spremenljivo konstantno prostornino" označimo s kV(V), zakon prepišemo kot

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Enako velja za konstanto v Charlesovem zakonu, ki jo lahko prepišemo

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

Pri iskanju kV(V) med (4) in (5) ne smemo brez pomisleka izločiti T, saj se P v prvem primeru spreminja, v drugem pa je domnevno konstanten. Namesto tega je treba najprej ugotoviti, v kakšnem smislu sta ti enačbi med seboj združljivi. Da bi dobili vpogled v to, se spomnimo, da kateri koli dve spremenljivki določata tretjo. Če se odločimo, da sta P in V neodvisni, si predstavljamo, da vrednosti T tvorijo površino nad ravnino PV. Določena V0 in P0 določata T0, točko na tej površini. Če te vrednosti vstavimo v (4) in (5) ter jih preuredimo, dobimo

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) in T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad in\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Ker oba izraza opisujeta dogajanje v isti točki na površini, lahko oba številska izraza izenačimo in preuredimo

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}},\! }           (6)

Upoštevajte, da sta 1/kV(V0) in 1/kP(P0) naklona pravokotnih premic, vzporednih z osjo P/osjo V in skozi točko na površini nad ravnino PV. Razmerje naklonov teh dveh premic je odvisno samo od vrednosti P0/V0 v tej točki.

Upoštevajte, da funkcionalna oblika (6) ni odvisna od izbrane točke. Enaka formula bi se pojavila za katero koli drugo kombinacijo vrednosti P in V. Zato lahko zapišemo

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V}           (7)

To pomeni, da ima vsaka točka na površini svoj par pravokotnih premic, ki tečeta skozi njo, pri čemer je razmerje naklonov odvisno samo od te točke. Medtem ko je (6) razmerje med določenimi nakloni in vrednostmi spremenljivk, je (7) razmerje med funkcijami naklonov in spremenljivkami funkcij. Velja za vsako točko na površini, tj. za vse kombinacije vrednosti P in V. Da bi to enačbo rešili za funkcijo kV(V), najprej ločite spremenljivki, V na levi in P na desni.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Izberite poljuben tlak P1. Desna stran se ovrednoti z neko poljubno vrednostjo, ki ji rečemo _karb.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Ta posebna enačba mora zdaj veljati ne le za eno vrednost V, temveč za vse vrednosti V. Edina definicija kV(V), ki to zagotavlja za vse V in poljubne _karb, je

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}} (9)

kar lahko preverimo z zamenjavo v (8).

Z zamenjavo (9) v Gay-Lussacov zakon (4) in preureditvijo dobimo kombinirani plinski zakon

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Upoštevajte, da pri tej izpeljavi sicer ni bil uporabljen Boylov zakon, vendar ga iz rezultata zlahka izpeljemo. Na splošno sta pri tovrstnih izpeljavah potrebna le dva od treh izhodiščnih zakonov - vsi izhodiščni pari vodijo do istega kombiniranega plinskega zakona.

Aplikacije

Kombinirani plinski zakon lahko uporabimo za razlago mehanike, v kateri vplivajo tlak, temperatura in prostornina. Na primer: klimatske naprave, hladilniki in nastanek oblakov, uporablja pa se tudi v mehaniki tekočin in termodinamiki.

Sorodne strani

• Daltonov zakon