Kombinirani plinski zakon – definicija, formula in primeri za idealne pline
Kombinirani plinski zakon je formula za idealnepline. Nastal je iz treh različnih zakonov o tlaku, prostornini in temperaturi plina. Pojasnjujejo, kaj se zgodi z dvema od vrednosti tega plina, medtem ko tretja ostane nespremenjena. Trije zakoni so:
- Charlesov zakon, ki pravi, da sta prostornina in temperatura neposredno sorazmerni, če tlak ostaja enak.
- Boylov zakon pravi, da sta tlak in prostornina pri isti temperaturi obratno sorazmerna drug drugemu.
- Gay-Lussacov zakon pravi, da sta temperatura in tlak neposredno sorazmerna, če je prostornina enaka.
Kombinirani plinski zakon prikazuje, kako so vse tri spremenljivke povezane med seboj. Pravi, da:
Formula kombiniranega plinskega zakona je:
P V T = k {\displaystyle \qquad {\frac {PV}{T}}=k}
kjer:
P je tlak
V je prostornina
T je temperatura, izmerjena v kelvinih
k je konstanta (v enotah energije, deljene s temperaturo).
Uporaba pri primerjavi dveh stanj
Za primerjavo istega plina v dveh različnih stanjih (različni P, V, T) lahko zakon zapišemo kot:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\displaystyle \qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}}
To pomeni, da je količina PV/T konstantna, če se količina plina (število molov) ne spremeni. Če poznamo tri od šestih količin (P1, V1, T1, P2, V2, T2), lahko izračunamo četrto.
Če vključimo Avogadrov zakon
Če kombiniranemu plinskemu zakonu dodamo Avogadrov zakon, dobimo tako imenovani zakon idealnega plina. Ta običajno zapišemo kot:
PV = nRT
kjer je n število molov plina, R je splošna plinska konstanta (npr. R = 0,082057 L·atm·mol−1·K−1 ali R = 8,314 J·mol−1·K−1) in T je ponovno v kelvinih. V tem zapisu je konstanta k iz kombiniranega zakona enaka nR.
Pomembne opombe in enote
- Temperatura mora biti v kelvinih (K). Pretvorba iz stopinj Celzija: K = °C + 273,15.
- Pri uporabi enačbe P1V1/T1 = P2V2/T2 enote za tlak in prostornino niso pomembne v absolutnem smislu, če so skladne (npr. obe tla v kPa ali obe v atm; prostornine obe v L ali obe v m3), saj se razmerja izenačijo.
- Kombinirani plinski zakon velja le, če je količina plina (n) konstantna — torej brez izmenjave plina z okolico.
Praktičen primer izračuna
Na primer: V posodi je plin pri stanju 1: P1 = 1,00 atm, V1 = 2,00 L, T1 = 20 °C (293,15 K). Kako velika bo prostornina V2, če tlak povišamo na P2 = 1,50 atm, hkrati pa temperatura naraste na T2 = 40 °C (313,15 K)?
Uporabimo P1V1/T1 = P2V2/T2 → V2 = (P1 V1 T2) / (P2 T1).
Vstavimo vrednosti: V2 = (1,00 atm × 2,00 L × 313,15 K) / (1,50 atm × 293,15 K) ≈ 1,42 L.
Torej se bo prostornina zmanjšala z 2,00 L na približno 1,42 L zaradi povečanja tlaka, čeprav je bila temperatura tudi višja — rezultat odraža kombiniran učinek obeh sprememb.
Omejitve in predpostavke
Kombinirani plinski zakon je izpeljan za idealne pline, katerih osnovne predpostavke so:
- molekule so točkovne in nimajo lastne prostornine;
- ni medmolekularnih privlačnih ali odbočnih sil (razen popolnoma elastičnih trkov);
- trki med delci so popolnoma elastični.
V realnih pogojih (visoki tlaki, nizke temperature ali močne intermolekulske sile) se od idealnega vedenja odstopa in takrat uporabimo korekcije (npr. van der Waalsov zakon) ali podatke iz tabel in eksperimentov.
Za hitri povzetek: kombinirani plinski zakon povezuje tlak, prostornino in temperaturo pri konstantni količini plina z enostavno enačbo PV/T = konstanta in je praktično orodje za računanje sprememb stanja plina, pod pogojem, da se plin obnaša idealno.
Izpeljava iz plinskih zakonov
Boylov zakon pravi, da je produkt tlaka in prostornine konstanten:
P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}
Charlesov zakon pravi, da je prostornina sorazmerna z absolutno temperaturo:
V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}
Gay-Lussacov zakon pravi, da je tlak sorazmeren absolutni temperaturi:
P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}
kjer je P tlak, V prostornina in T absolutna temperatura idealnega plina.
Če združimo (1) in eno od (2) ali (3), dobimo novo enačbo s P, V in T. Če enačbo (1) delimo s temperaturo in enačbo (2) pomnožimo s tlakom, dobimo:
P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}
P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .
Ker je leva stran obeh enačb enaka, dobimo
k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,
kar pomeni, da
P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstanta}}} .
Če nadomestimo Avogadrov zakon, dobimo enačbo idealnega plina.
Fizikalna izpeljava
Izpeljava kombiniranega plinskega zakona z uporabo zgolj osnovne algebre lahko vsebuje presenečenja. Če na primer izhajamo iz treh empiričnih zakonov
P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! } (1) Gay-Lussacov zakon, prostornina je konstantna
V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! } (2) Charlesov zakon, tlak je konstanten
P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! } (3) Boylov zakon, temperatura je konstantna
kjer so kV, kP in kT konstante, lahko vse tri pomnožimo in dobimo
P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }
Če vzamemo kvadratni koren iz obeh strani in delimo s T, dobimo želeni rezultat
P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\! }
Če pa pred uporabo zgornjega postopka zgolj preuredimo člene Boylovega zakona, kT = PV, potem po izničenju in preureditvi dobimo
k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }
kar ni preveč koristno, če ne celo zavajajoče.
Fizikalna izpeljava, ki je daljša, vendar zanesljivejša, se začne z ugotovitvijo, da se parameter konstantne prostornine v Gay-Lussacovem zakonu spreminja s spreminjanjem prostornine sistema. Pri konstantni prostornini V1 je zakon lahko videti P = k1T, pri konstantni prostornini V2 pa P = k2T. Če to "spremenljivo konstantno prostornino" označimo s kV(V), zakon prepišemo kot
P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! } (4)
Enako velja za konstanto v Charlesovem zakonu, ki jo lahko prepišemo
V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! } (5)
Pri iskanju kV(V) med (4) in (5) ne smemo brez pomisleka izločiti T, saj se P v prvem primeru spreminja, v drugem pa je domnevno konstanten. Namesto tega je treba najprej ugotoviti, v kakšnem smislu sta ti enačbi med seboj združljivi. Da bi dobili vpogled v to, se spomnimo, da kateri koli dve spremenljivki določata tretjo. Če se odločimo, da sta P in V neodvisni, si predstavljamo, da vrednosti T tvorijo površino nad ravnino PV. Določena V0 in P0 določata T0, točko na tej površini. Če te vrednosti vstavimo v (4) in (5) ter jih preuredimo, dobimo
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) in T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad in\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}
Ker oba izraza opisujeta dogajanje v isti točki na površini, lahko oba številska izraza izenačimo in preuredimo
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}},\! } (6)
Upoštevajte, da sta 1/kV(V0) in 1/kP(P0) naklona pravokotnih premic, vzporednih z osjo P/osjo V in skozi točko na površini nad ravnino PV. Razmerje naklonov teh dveh premic je odvisno samo od vrednosti P0/V0 v tej točki.
Upoštevajte, da funkcionalna oblika (6) ni odvisna od izbrane točke. Enaka formula bi se pojavila za katero koli drugo kombinacijo vrednosti P in V. Zato lahko zapišemo
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} (7)
To pomeni, da ima vsaka točka na površini svoj par pravokotnih premic, ki tečeta skozi njo, pri čemer je razmerje naklonov odvisno samo od te točke. Medtem ko je (6) razmerje med določenimi nakloni in vrednostmi spremenljivk, je (7) razmerje med funkcijami naklonov in spremenljivkami funkcij. Velja za vsako točko na površini, tj. za vse kombinacije vrednosti P in V. Da bi to enačbo rešili za funkcijo kV(V), najprej ločite spremenljivki, V na levi in P na desni.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}
Izberite poljuben tlak P1. Desna stran se ovrednoti z neko poljubno vrednostjo, ki ji rečemo karb.
V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! } (8)
Ta posebna enačba mora zdaj veljati ne le za eno vrednost V, temveč za vse vrednosti V. Edina definicija kV(V), ki to zagotavlja za vse V in poljubne karb, je
k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}} (9)
kar lahko preverimo z zamenjavo v (8).
Z zamenjavo (9) v Gay-Lussacov zakon (4) in preureditvijo dobimo kombinirani plinski zakon
P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }
Upoštevajte, da pri tej izpeljavi sicer ni bil uporabljen Boylov zakon, vendar ga iz rezultata zlahka izpeljemo. Na splošno sta pri tovrstnih izpeljavah potrebna le dva od treh izhodiščnih zakonov - vsi izhodiščni pari vodijo do istega kombiniranega plinskega zakona.
Aplikacije
Kombinirani plinski zakon lahko uporabimo za razlago mehanike, v kateri vplivajo tlak, temperatura in prostornina. Na primer: klimatske naprave, hladilniki in nastanek oblakov, uporablja pa se tudi v mehaniki tekočin in termodinamiki.
Sorodne strani
- Daltonov zakon
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je kombinirani plinski zakon?
O: Kombinirani plinski zakon je enačba za idealne pline, ki prikazuje, kako so tri spremenljivke (tlak, prostornina in temperatura) povezane med seboj.
V: Kateri so trije zakoni, ki sestavljajo kombinirani plinski zakon?
O: Trije zakoni, ki sestavljajo kombinirani plinski zakon, so Charlesov zakon, Boylov zakon in Gay-Lussacov zakon.
V: Kaj pravi Charlesov zakon?
O: Charlesov zakon pravi, da sta prostornina in temperatura neposredno sorazmerni, če tlak ostaja enak.
V: Kaj pravi Boylov zakon?
O: Boylov zakon pravi, da sta tlak in prostornina pri enaki temperaturi obratno sorazmerna drug drugemu.
V: Kaj pravi Gay-Lussacov zakon?
O: Gay-Lussacov zakon pravi, da sta temperatura in tlak neposredno sorazmerna, če prostornina ostane enaka.
V: Kako je Avogadrov zakon povezan s kombiniranim plinskim zakonom?
O: Ko Avogadrov zakon dodamo kombiniranemu plinskemu zakonu, dobimo tako imenovani zakon idealnega plina.