Pregled algebrskih struktur: definicije in primeri (magma, skupina, obroč, polje)

Pregled algebrskih struktur: jasne definicije in razumljivi primeri magme, skupine, obroča in polja — idealno za študij in hitro ponavljanje osnov algeber.

V matematiki je algebrska struktura množica z eno, dvema ali več binarnimi operacijami na njej. Binary operacija pomeni, da za vsak par elementov iz množice operacija določi en element iz iste množice (lastnost zaprtosti). Algebrske strukture se razlikujejo glede na dodatne aksiome, ki jih operacije izpolnjujejo, na primer asociativnost, obstoječnost enote (nevtralnega elementa), obstoječnost inverzov ter komutativnost.

Osnovne strukture z eno binarno operacijo

Osnovne algebrske strukture z eno binarno operacijo so naslednje:

• Magma (matematika)

Definicija: množica z binarno operacijo, brez dodatnih zahtev (le zaprtost). Primer: množica {0,1} z izbrano operacijo, predstavljeno s tabelo, lahko tvori magmo tudi, če operacija ni asociativna ali nima enote.

• Polgrupe

Definicija: množica z asociativno operacijo. Asociativnost pomeni (a·b)·c = a·(b·c) za vse elemente. Primer: množica naravnih števil z operacijo množenja (če vključimo 0) ali množica nenegativnih celih z +, če upoštevamo ustrezne definicije.

• Monoid

Definicija: polgrupa z identitetnim elementom (nevtralnim elementom) e, tako da e·a = a·e = a za vse a. Primer: množica vseh nizov nad abecedo z združevanjem (konkatenacijo); prazen niz je enota.

• Skupina

Definicija: monoid, kjer ima vsak element ustrezen inverzni element a^{-1}, tako da a·a^{-1} = a^{-1}·a = e. Primeri: (Z, +) — cela števila z običajnim seštevanjem; množica nenicelnih realnih števil z množenjem (R\{0}, ×); simetrična grupa S_n (permutacije n elementov) s kompozicijo permutacij.

• Komutativna skupina

Definicija: skupina s komutativno operacijo, torej a·b = b·a za vse a, b. Pogosto se imenuje tudi abelova skupina. Primer: (Z, +), (R, +), vektorji z zbiranjem v prostoru.

Osnovne strukture z dvema binarnima operacijama

Osnovne algebrske strukture z dvema binarnima operacijama so naslednje:

• Obroč

Definicija: množica z dvema operacijama, pogosto imenovanima seštevanje in množenje. Množica z operacijo seštevanja tvori komutativno grupo, z operacijo množenja pa polgrupo (mnogi definirajo obroč tako, da je množica z množenjem pravzaprav monoid). Seštevanje in množenje v obroču izpolnjujeta distributivno lastnost, torej a·(b+c) = a·b + a·c in (a+b)·c = a·c + b·c. Nekateri avtorji obroč zahtevajo obstoj multiplikativne enote (1), drugi tega ne zahtevajo.

• Komutativni obroč

Definicija: obroč, katerega množenje je komutativno. Primerji: celih števil Z z običajnim seštevanjem in množenjem; polinomi R[x] nad komutativnim obsegom R.

• Polje

Definicija: komutativni obroč, v katerem je množica z množenjem grupa, torej vsak nenicelni element ima multiplikativni inverz. Drugače povedano: v polju sta operaciji seštevanje in množenje, seštevanje tvori komutativno grupo, množenje pa komutativno grupo na množici nenicelnih elementov. Primeri: racionalna števila Q, realna števila R, kompleksna števila C, končna polja GF(p^n).

Dodatne pojme in lastnosti

• Enota / nevtralni element: element e, da je e·a = a·e = a za vse a.
• Inverz: za element a je inverz element b, da a·b = b·a = e.
• Komutativnost: a·b = b·a; strukture, kjer to velja, so pogosto lažje za preučevanje (npr. komutativni obroč, polje).
• Distributivnost: povezuje dve operaciji v obročih in poljih.
• Integritetni obroč (integralni domen): komutativni obroč brez deliteljev nič (če a·b = 0, potem a = 0 ali b = 0). To je pomemben korak do polja — polje je integritetni obroč, v katerem ima vsak nenicelni element inverz.
• Enote obroča: elementi, ki imajo multiplikativni inverz; v polju so vsi nenicelni elementi enote.
• Karakteristika: minimalno število ponavljanj enotskega elementa pri seštevanju, da dobimo 0; pri poljih je značilno, da je karakteristika 0 ali praštevilo p.

Primeri

Tipični primeri algebrskih struktur in kratka pojasnila:

• Magme: poljubna množica z definiranimi tabličnimi operacijami; npr. množica {a,b} z operacijo dano s tabelo, ki ni nujno asociativna.
• Polgrupe: ({0,1}, AND) ali tudi množica pozitivnih celih števil z običajnim množenjem — operacija je asociativna.
• Monoidi: (Σ*, konkatenacija) kjer Σ* označuje vse nize nad abecedo Σ; prazen niz je enota.
• Skupine: (Z, +), (R\{0}, ×), simetrična grupa S_n (permutacije), dihedralna grupa D_n (rotacije in refleksije mnogokotnika).
• Komutativne skupine: (Z, +), (R, +), vektorji z zbiranjem.
• Obroči: (Z, +, ×) — celih števil; M_n(R) — matrike velikosti n×n nad R (obroč z običajnim seštevanjem in množenjem, ki pa ni komutativen za n>1); polinomi R[x].
• Komutativni obroči: Z, R[x], Z/nZ (residue klasni obroč).
• Polja: Q, R, C, končna polja GF(p) (p praštevilo) in GF(p^n) za n>1; v poljih so deljenje (razen z 0) in množenje dobro definirani.

Razumevanje teh osnovnih tipov struktur je ključnega pomena v mnogih področjih matematike in njenih aplikacijah (teorija števil, algebraična geometrija, kriptografija, teorija kodiranja, teorija grup in reprezentacij itd.). Če želite, lahko podrobneje predstavim posamezno strukturo z dodatnimi primeri, lastnostmi in dokazi.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je algebrska struktura?

V: Katere so osnovne algebrske strukture z eno binarno operacijo?

V: Katere so osnovne algebrske strukture z dvema binarnima operacijama?

V: Kaj je magma (matematika)?

V: Kaj je polgrupa?

V: Kaj pomeni, da je operacija komutativna?

Išči po črki