Elipsa: definicija, enačba, žarišča in lastnosti v geometriji

Elipsa: jasna razlaga definicije, enačbe, žarišč in lastnosti v geometriji — formule, primerni primeri in grafične razlage za hitro razumevanje.

Elipsa je ukrivljena ravninska figura, ki spominja na oval ali sploščen krog. Nastane kot zaprta krivulja in je ena izmed osnovnih koničnih presečišč.

V geometriji je elipsa ravninska krivulja, ki jo dobimo tudi kot presečišče stožca z ravnino tako, da je izrezana pod ustreznim kotom — v tem primeru dobimo zaprto, eliptično obliko.

Krogi so posebni primeri elips, ki nastanejo, kadar sta polosi enaki (presečiščna ravnina je pravokotna na os stožca). Elipsa je lahko tudi opisana kot prostor vseh točk ravnine, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih točk (žarišč) konstantna.

Krog ima eno središče, elipsa pa ima dve žarišči (žarišče,), ki določata njeno obliko. Praktčen način izdelave elipse je z vrvjo in dvema žebljičkoma: zapičimo dva žebljička v karton, ovijemo okoli njiju vrvico in v zanko postavimo svinčnik; pri napeti vrvici z vodo svinčnik potegnemo po vseh smereh in dobimo elipso — to je tako imenovana “vrvna” ali vrtnarska konstrukcija (gardener's method).

Enačba in parametri

Za elipso s središčem (h,k), kjer je glavna os vzporedna s koordinatnima osema, je kanonična analitična enačba:

((x - h)²) / a² + ((y - k)²) / b² = 1

Spodaj je ohranjena tudi grafična predstavljivost enačbe:

Razlage simbolov in velikosti:

• a = polovična dolžina velike osi (semi-major axis). Velika osa celotne elipse ima dolžino 2a.
• b = polovična dolžina male osi (semi-minor axis). Mala osa celotne elipse ima dolžino 2b.
• Običajno se za označevanje izbira a ≥ b. Če je a = b, je elipsa krog.
• c = razdalja med središčem in enim žariščem. Velja osnovna zveza: c² = a² − b² (za a ≥ b).

Žarišča, ekscentričnost in položaj

Žarišči (fokusoma) elipse sta razporejeni vzdolž glavne osi; če je glavna os vodoravna, sta žarišči v točkah (h ± c, k), če je navpična, pa v (h, k ± c). Ekscentričnost elipse (e) meri, kako "izbočena" je elipsa:

e = c / a, pri čemer velja 0 ≤ e < 1.

Manjša kot je e, bližje je elipsa krogu; pri e = 0 dobimo krog.

Lastnosti in pomembne formule

• Geometrijska definicija kot konična krivulja: elipsa je mesto točk, za katere je razmerje razdalje do žarišča in do odgovarjajoče direktrice konstantno in enako e (<1).
• Vsota razdalj do obeh žarišč je konstantna in enaka 2a: za vsako točko (x,y) na elipsi velja dist(F1, P) + dist(F2, P) = 2a.
• Area (ploščina) elipse: S = πab.
• Obseg (perimeter) nima preproste elementarne oblike; dobra aproksimacija (Ramanujan) je:
  P ≈ π [3(a + b) − sqrt{(3a + b)(a + 3b)}].
• Parametrična oblika (za t ∈ [0, 2π)):
  x(t) = h + a cos t, y(t) = k + b sin t.
• Refleksijska lastnost: žarek, ki iz enega žarišča potuje do elipse, se po odboju odbije tako, da poteka skozi drugo žarišče — to lastnost uporabljajo akustika in optika.
• Direktrice: za elipso s središčem v izhodišču in glavno osjo na x-osi so direktrice navpične črte x = ± a / e; pri premiku za (h,k) se ustrezno translirajo.

Posebni primeri in uporabe

• Planetarne orbite: po Keplerjevih zakonih planeti obkrožajo Sonce po eliptičnih tirnicah, pri čemer se Sonce nahaja v enem od žarišč elipse.
• Arhitektura in inženirstvo: eliptične oblike se uporabljajo zaradi refleksijskih lastnosti in estetskih učinkov.
• Krogi kot poseben primer: če je a = b, elipsa postane krog.

Elipsa je torej vsestranska geometrijska figura z bogatimi lastnostmi — analitičnimi (enačbe, parametri), geometrijskimi (žarišča, direktrice) in praktičnimi (konstrukcija z vrvico, orbite planetov, refleksijske lastnosti).

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je elipsa?

V: Kako ustvarimo elipso?

V: Kaj so krogi posebni primeri?

V: Koliko oglišč ima elipsa?

V: Katera enačba opisuje elipso?

V: Kje vidimo primere eliptičnih orbit?

Išči po črki