Krog je okrogla dvodimenzionalna oblika, sestavljena iz vseh točk v ravnini, ki ležijo znotraj in na robu določene oddaljenosti od enega samega središča. Pogosto se v strogi matematični terminologiji loči med krožnico (le rob, torej množica točk, ki so natanko enako oddaljene od središča) in krogom (zapolnjena notranjost skupaj z robom). V slovenščini se izraza v praksi včasih uporabljata zamenljivo.

Polmer in središče

Polmer kroga je črta, ki povezuje središče kroga s katero koli točko na njegovem robu. Matematiki za dolžino polmera običajno uporabljajo črko r. Središče kroga je točka, ki je enako oddaljena od vseh točk na krožnici; z njega merimo polmer v vseh smereh.

Premer

Premer kroga je ravna črta, ki poteka od ene do druge strani kroga in skozi središče. Matematiki za dolžino premera pogosto uporabljajo črko d. Premer je dvakratnik polmera, torej velja d = 2r.

d = 2 r {\displaystyle d=2\ r} {\displaystyle d=2\ r}

Obseg (krožnica)

Obod kroga (pogosteje imenovan tudi krožnica kot dolžina roba) je dolžina črte, ki obdaja krog. Za dolžino oboda se pogosto uporablja črka C (iz angleške besede circumference) ali v slovenskih besedilih tudi O. Obseg lahko izrazimo z uporabo polmera ali premera:

  • C = 2·π·r
  • C = π·d

To pomeni, da je obseg enak dvakratniku polmera pomnoženemu s številom π.

Število π

Število π (zapisano kot grška črka pi) je razmerje med dolžino obsega in dolžino premera kroga. Kot ulomek je π približno enako 22⁄7 ali 335/113 (ta je natančnejša), kot decimalno število pa približno 3,1415926535. V sodobni matematiki je znano, da je π iracionalno (ne moremo ga izraziti kot natančnega ulomka celih števil) in tudi transcendentno (ni ničla nobenega ne-nicelnega polinomskega izraza s celoštevilski koeficienti).

Površina kroga

Površina znotraj kroga, pogosto označena z A ali v nekaterih besedilih z a, je odvisna od polmera in se izračuna po formuli:

  • A = π·r²

Če želimo površino izraziti preko premera, uporabimo A = π·(d/2)² = (π·d²)/4.

Dodatne lastnosti in izrazi

  • Dolžina loka krožnice z centralnim kotom θ (izraženim v radianih) je L = r·θ.
  • Površina krožnega sektorja s kotom θ (v radianih) je A_sektor = ½·r²·θ.
  • Chord (struna) je daljica, ki povezuje dve točki na krožnici; največja struna je premer.
  • Tangenta je premica, ki se krožnice dotika v eni točki in je pravokotna na radij, potegnjen do točke dotika.
  • Koncentrični krogi imajo isto središče, različne polmere.

Primeri izračuna

Primer 1: Krog s polmerom r = 3 cm.

  • Obseg: C = 2·π·3 ≈ 18,85 cm (za π ≈ 3,14159).
  • Površina: A = π·3² = 9·π ≈ 28,27 cm².

Primer 2: Krog s premerom d = 10 m.

  • Polmer: r = 5 m.
  • Obseg: C = π·10 ≈ 31,42 m.
  • Površina: A = π·5² = 25·π ≈ 78,54 m².

Uporaba

Krogi in krožnice se pojavljajo v mnogih področjih: v geometriji in trigonometriji, v inženirstvu (krožne gredi, kolesa), v arhitekturi, pri merjenju površin in obsegov, pa tudi v naravi in fiziki (cikel gibanja, valovanja). Razumevanje osnovnih odnosov med polmerom, premerom, obsegom in površino omogoča reševanje praktičnih problemov in nadaljnje matematične izpeljave.