Gödelove trditve o nepopolnosti
Gödelovi trditvi o nepopolnosti je ime za dve trditvi (resnični matematični izjavi), ki ju je leta 1931 dokazal Kurt Gödel. Gre za trditvi v matematični logiki.
Matematiki so nekoč menili, da ima vse, kar je resnično, matematični dokaz. Sistem, ki ima to lastnost, imenujemo popoln, sistem, ki je nima, pa nepopoln. Matematične ideje naj tudi ne bi imele protislovij. To pomeni, da ne smejo biti hkrati resnične in napačne. Sistem, ki ne vsebuje protislovij, se imenuje konsistenten. Ti sistemi temeljijo na nizih aksiomov. Aksiomi so izjave, ki veljajo za resnične in jih ni treba dokazovati.
Gödel je dejal, da je vsak netrivialen (zanimiv) formalni sistem bodisi nepopoln bodisi nekonsistenten:
- Vedno bodo obstajala vprašanja, na katera ne bo mogoče odgovoriti z uporabo določenega nabora aksiomov;
- Ne morete dokazati, da je sistem aksiomov konsistenten, razen če uporabite drug niz aksiomov.
Te trditve so za matematike pomembne, ker dokazujejo, da je nemogoče ustvariti niz aksiomov, ki bi pojasnil vse v matematiki.
Nekatere povezane teme
Vprašanja in odgovori
V: Kaj so Gödelovi stavki o nepopolnosti?
O: Gödelova izreka o nepopolnosti sta dva resnična matematična izreka, ki ju je leta 1931 dokazal Kurt Gödel na področju matematične logike.
V: Kaj je v matematiki popoln sistem?
O: Popoln sistem v matematiki je sistem, ki ima lastnost, da ima vse, kar je resnično, matematični dokaz.
V: Kaj je nepopoln sistem v matematiki?
O: Nepopoln sistem v matematiki je sistem, ki nima lastnosti, da ima vse, kar je resnično, matematični dokaz.
V: Kaj je konsistenten sistem v matematiki?
O: Dosleden sistem v matematiki je sistem, ki ne vsebuje protislovij, kar pomeni, da matematične ideje ne smejo biti hkrati resnične in napačne.
V: Kaj so aksiomi v matematiki?
O: Aksiomi v matematiki so izjave, ki veljajo za resnične in jih ni treba dokazovati.
V: Kaj je Gödel trdil o vsakem netrivialnem formalnem sistemu?
O: Gödel je trdil, da je vsak netrivialen formalni sistem bodisi nepopoln bodisi nekonsistenten.
V: Zakaj so Gödelove trditve o nepopolnosti pomembne za matematike?
O: Gödelove trditve o nepopolnosti so pomembne za matematike, ker dokazujejo, da je nemogoče ustvariti niz aksiomov, ki bi pojasnil vse v matematiki.
