Hilbertovi problemi
Leta 1900 je matematik David Hilbert objavil seznam 23 nerešenih matematičnih problemov. Seznam problemov se je izkazal za zelo vplivnega. Po Hilbertovi smrti so v njegovih spisih našli še en problem; ta je danes včasih znan kot Hilbertov 24. problem. Pri tem problemu gre za iskanje meril, s katerimi bi pokazali, da je rešitev nekega problema najpreprostejša možna.
Od 23 težav so bile tri v letu 2012 nerešene, tri so bile preveč nejasne, da bi jih bilo mogoče rešiti, šest pa jih je bilo mogoče rešiti delno. Glede na vplivnost problemov je Clay Mathematics Institute leta 2000 oblikoval podoben seznam, imenovan Millennium Prize Problems.
Povzetek
Določeni problemi so bolje formulirani kot drugi. Od jasno formuliranih Hilbertovih problemov imajo problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 in 21 rešitev, ki je sprejeta s soglasjem. Po drugi strani imajo problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18+ in 22 rešitve, ki so delno sprejete, vendar obstaja nekaj polemik o tem, ali rešujejo problem.
Rešitev naloge 18, Keplerjeve domneve, uporablja računalniško podprt dokaz. To je sporno, saj človek dokaza ne more preveriti v razumnem času.
Tako ostanejo nerešeni 16, 8 (Riemannova hipoteza) in 12. Po tej klasifikaciji so 4, 16 in 23 preveč nejasni, da bi jih lahko označili za rešene. V ta razred bi spadal tudi umaknjeni 24. 6 velja za problem v fiziki in ne v matematiki.
Preglednica težav
Hilbertovih triindvajset problemov je naslednjih:
| Problem | Kratka razlaga | Status | Rešeno leto |
| 1. | Hipoteza o kontinuumu (to pomeni, da ne obstaja množica, katere kardinalnost je strogo med kardinalnostjo celih in realnih števil) | Dokazano je, da je nemogoče dokazati ali ovreči Zermelo-Fraenkelovo teorijo množic z aksiomom izbire ali brez njega (pod pogojem, da je Zermelo-Fraenkelova teorija množic z aksiomom izbire ali brez njega konsistentna, tj. da ne vsebuje dveh trditev, od katerih bi bila ena negacija druge). O tem, ali je to rešitev problema, ni soglasja. | 1963 |
| 2. | Dokažite, da so aksiomi aritmetike dosledni. | Ni soglasja o tem, ali Gödelovi in Gentzenovi rezultati omogočajo rešitev problema, kot ga je navedel Hilbert. Gödelov drugi teorem o nepopolnosti, dokazan leta 1931, kaže, da znotraj same aritmetike ni mogoče dokazati njegove konsistentnosti. Gentzenov dokaz konsistentnosti (1936) pokaže, da konsistentnost aritmetike izhaja iz utemeljenosti ordinala ε0 . | 1936? |
| 3. | Ali je ob danih dveh poliedrih enake prostornine prvega vedno mogoče razrezati na končno veliko poliedrov, ki jih je mogoče ponovno sestaviti, da dobimo drugega? | Rešeno. Rezultat: ne, dokazano z uporabo Dehnovih invariant. | 1900 |
| 4. | Sestavite vse metrike, v katerih so premice geodezike. | Preveč nejasno, da bi lahko navedli, ali je rešeno ali ne. | - |
| 5. | Ali so kontinuirane skupine avtomatično diferencialne skupine? | Rešil Andrew Gleason ali Hidehiko Yamabe, odvisno od tega, kako se razlaga prvotna izjava. Če pa jo razumemo kot ekvivalent Hilbert-Smithove domneve, je še vedno nerešena. | 1953? |
| 6. | Aksiomatizacija celotne fizike | Delno rešeno. | - |
| 7. | Ali je a btranscendentalen, če je algebraični a ≠ 0,1 in iracionalni algebraični b ? | Rešeno. Rezultat: da, ponazorjeno z Gelfondovim izrekom ali Gelfond-Schneiderjevim izrekom. | 1934 |
| 8. | Riemannova hipoteza ("realni del vsake netrivialne ničle Riemannove zeta funkcije je ½") in drugi problemi praštevil, med njimi Goldbachova domneva in domneva o dvojčku praštevil | Nerešeno. | - |
| 9. | Najdi najbolj splošen zakon teorema o recipročnosti v katerem koli algebraičnem številskem polju | Delno rešeno. | - |
| 10. | Poiščite algoritem za ugotavljanje, ali ima dana polinomska diofantska enačba s celoštevilskimi koeficienti celoštevilsko rešitev. | Rešeno. Rezultat: nemogoče, Matiyasevichev izrek pomeni, da tak algoritem ne obstaja. | 1970 |
| 11. | Reševanje kvadratnih oblik z algebrskimi numeričnimi koeficienti. | Delno rešeno. [] | - |
| 12. | Razširite Kronecker-Weberjev izrek o abelskih razširitvah racionalnih števil na poljubno osnovno številsko polje. | Delno je rešena s teorijo razrednega polja, čeprav rešitev ni tako eksplicitna kot Kronecker-Weberjev izrek. | - |
| 13. | Reševanje enačb 7. stopnje z uporabo zveznih funkcij dveh parametrov. | Nerešeno. Problem je delno rešil Vladimir Arnold na podlagi dela Andreja Kolmogorova. | 1957 |
| 14. | Ali je obroč invariant algebrske grupe, ki deluje na polinomski obroč, vedno končno generiran? | Rešeno. Rezultat: ne, protiprimer je sestavil Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15. | Stroga osnova Schubertovega enumerativnega računa. | Delno rešeno. [] | - |
| 16. | Opišite relativne položaje ovalov, ki izhajajo iz realne algebrske krivulje in so mejni cikli polinomskega vektorskega polja v ravnini. | Nerešeno. | - |
| 17. | Izražanje določene racionalne funkcije kot količnika vsot kvadratov | Rešila sta Emil Artin in Charles Delzell. Rezultat: Določena je bila zgornja meja za število potrebnih kvadratnih členov. Iskanje spodnje meje je še vedno odprt problem. | 1927 |
| 18. | (a) Ali obstaja polieder, ki v treh dimenzijah dopušča le anizoedrično ploščico? | (a) Odločeno. Rezultat: da (Karl Reinhardt). | (a) 1928 ( |
| 19. | Ali so rešitve Lagrangianovega sistema vedno analitične? | Rešeno. Rezultat: da, dokazala sta Ennio de Giorgi in, neodvisno in z uporabo različnih metod, John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Ali imajo vsi variacijski problemi z določenimi robnimi pogoji rešitve? | Rešeno. Pomembna tema raziskav v 20. stoletju, ki je dosegla vrhunec z rešitvami[] za nelinearni primer. | - |
| 21. | Dokaz obstoja linearnih diferencialnih enačb s predpisano monodromno skupino | Rešeno. Rezultat: Rešitev: Da ali ne, odvisno od natančnejših formulacij problema. [] | - |
| 22. | Uniformizacija analitičnih relacij s pomočjo avtomorfnih funkcij | Rešeno. [] | - |
| 23. | Nadaljnji razvoj variacijskega računa | Nerešeno. | - |
Vprašanja in odgovori
V: Kdo je leta 1900 objavil seznam 23 nerešenih matematičnih problemov?
O: David Hilbert je leta 1900 objavil seznam 23 nerešenih matematičnih problemov.
V: Ali je bil Hilbertov 24. problem del prvotnega seznama?
O: Ne, Hilbertov 24. problem je bil najden v Hilbertovih spisih po njegovi smrti.
V: O čem je Hilbertov 24. problem?
O: Hilbertov 24. problem se nanaša na iskanje meril, ki kažejo, da je rešitev nekega problema najenostavnejša možna.
V: Ali je bilo do leta 2012 rešenih vseh 23 problemov na Hilbertovem seznamu?
O: Ne, trije od 23 problemov na Hilbertovem seznamu leta 2012 še niso bili rešeni.
V: Ali je bil kateri od problemov na Hilbertovem seznamu preveč nejasen, da bi ga bilo mogoče rešiti?
O: Da, trije od problemov na Hilbertovem seznamu so bili preveč nejasni, da bi jih bilo mogoče rešiti.
V: Koliko problemov na Hilbertovem seznamu je bilo mogoče delno rešiti?
O: Šest problemov na Hilbertovem seznamu je bilo mogoče delno rešiti.
V: Ali je Matematični inštitut Clay ustvaril podoben seznam Hilbertovih problemov?
O: Da, Clay Mathematics Institute je leta 2000 ustvaril podoben seznam, imenovan Millennium Prize Problems.
