Hipoteza kontinuuma
Hipoteza kontinuuma je hipoteza, da ne obstaja množica, ki bi bila hkrati večja od množice naravnih števil in manjša od množice realnih števil. Georg Cantor je to hipotezo postavil leta 1877.
Naravnih števil je neskončno veliko, kardinalnost množice naravnih števil je neskončna. To velja tudi za množico realnih števil, vendar je realnih števil več kot naravnih. Pravimo, da imajo naravna števila neskončno kardinalnost, realna števila pa neskončno kardinalnost, vendar je kardinalnost realnih števil večja od kardinalnosti naravnih števil.
Ta hipoteza je prvi problem na seznamu 23 problemov, ki jih je David Hilbert objavil leta 1900. Kurt Gödel je leta 1939 pokazal, da hipoteze ni mogoče ovreči s pomočjo Zermelo-Fraenkeloveteorije množic. Zermelo-Fraenkelova teorija množic je teorija množic, ki se pogosto uporablja v matematiki. Paul Cohen je v šestdesetih letih 20. stoletja pokazal, da tudi s teorijo množic Zermelo-Fraenkel ni mogoče dokazati hipoteze o kontinuumu. Za to je Cohen prejel Fieldsovo medaljo.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je hipoteza kontinuuma?
O: Hipoteza kontinuuma je hipoteza, da ne obstaja množica, ki bi bila hkrati večja od množice naravnih števil in manjša od množice realnih števil.
V: Kdo in kdaj je postavil hipotezo o kontinuumu?
O: Georg Cantor je hipotezo o kontinuumu postavil leta 1877.
V: Ali je naravnih števil neskončno veliko?
O: Da, naravnih števil je neskončno veliko.
V: Kakšna je kardinalnost množice naravnih števil?
O: Kardinalnost množice naravnih števil je neskončna.
V: Ali je realnih števil več kot naravnih števil?
O: Da, realnih števil je več kot naravnih števil.
V: Ali lahko hipotezo o kontinuumu ovržemo s pomočjo Zermelo-Fraenklove teorije množic?
O: Kurt Gödel je leta 1939 pokazal, da hipoteze ni mogoče ovreči s pomočjo Zermelo-Fraenkelove teorije množic.
V: Kdo je pokazal, da s teorijo množic Zermelo-Fraenkel ni mogoče dokazati hipoteze o kontinuumu?
O: Paul Cohen je v šestdesetih letih 20. stoletja pokazal, da teorije množic Zermelo-Fraenkel ni mogoče uporabiti za dokazovanje hipoteze o kontinuumu.
