Riemannova domneva
Riemannova hipoteza je matematično vprašanje (domneva). Veliko ljudi meni, da je iskanje dokaza hipoteze eden najtežjih in najpomembnejših nerešenih problemov čiste matematike. Čista matematika je vrsta matematike, ki se ukvarja z razmišljanjem o matematiki. To se razlikuje od poskusa, da bi matematiko prenesli v resnični svet. Odgovor na Riemannovo hipotezo je "da" ali "ne".
Domneva je poimenovana po Bernhardu Riemannu. Živel je v 19. stoletju. Riemannova hipoteza postavlja vprašanje o posebni stvari, ki se imenuje Riemannova funkcija zeta.
Če je odgovor na vprašanje pritrdilen, to pomeni, da lahko matematiki več vedo o praštevilkah. Zlasti bi jim pomagalo vedeti, kako najti praštevila. Riemannova hipoteza je tako pomembna in jo je tako težko dokazati, da je Clay Mathematics Institute ponudil 1 000 000 dolarjev tistemu, ki jo bo prvi dokazal.
Riemannova zeta funkcija v kompleksni ravnini. Realni del Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)}
števila je narisan vodoravno, imaginarni del Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
navpično. Bele pike prikazujejo ničle, kjer Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}
. Kliknite za celoten pogled.
Kaj je Riemannova hipoteza?
Kaj je Riemannova funkcija zeta?
Riemannova zeta funkcija je vrsta funkcije. Funkcije so v matematiki podobne enačbam. Funkcije sprejemajo števila in vračajo druga števila. To je podobno, kot ko dobite odgovor, ko postavite vprašanje. Število, ki ga vnesete, se imenuje "vhod". Število, ki ga dobite nazaj, se imenuje "vrednost". Vsak vnos, ki ga vnesete v funkcijo Riemann zeta, vam vrne posebno vrednost. Za vsak vnos večinoma dobite drugačno vrednost. Toda vsak vnos vam vsakič, ko ga uporabite, da enako vrednost. Tako vnos, ki ga vnesete, kot vrednost, ki jo dobite iz funkcije Riemann zeta, sta posebni števili, imenovani kompleksni števili. Kompleksno število je število z dvema deloma.
Kaj je netrivialni koren?
Včasih, ko v Riemannovo funkcijo zeta vnesete vnos, dobite nazaj število nič. Kadar se to zgodi, imenujemo ta vnos koren funkcije Riemann zeta. Ko vhodni podatek dobi ničlo, ga imenujemo koren. Najdenih je bilo veliko korenov. Vendar je nekatere korenine lažje najti kot druge. Korenine imenujemo "trivialne" ali "netrivialne". Koren imenujemo "trivialen", če ga je enostavno najti. Če pa je koren težko najti, ga imenujemo "netrivialen". Trivialni koreni so števila, ki se imenujejo "negativna celo število". Razlog, zakaj mislimo, da so enostavni, je v tem, da jih je enostavno najti. Obstajajo natančna pravila, ki določajo, kateri so trivialni koreni. Trivialne korenine poznamo zaradi enačbe, ki jo je podal Bernhard Riemann. Ta enačba se imenuje "Riemannova funkcionalna enačba".
Kako najdemo netrivialne korenine?
Netrivialne korenine je težje najti. Težje jih je najti kot trivialne korenine. Nimajo enakih pravil, ki bi določala, kaj so. Čeprav jih je težko najti, je bilo najdenih veliko netrivialnih korenov. Ne pozabite, da je bila vrednost Riemannove funkcije zeta vrsta števila, ki se imenuje kompleksno število. In ne pozabite, da imajo kompleksna števila dva dela. Eden od teh delov se imenuje "realni del". Pri realnem delu netrivialnih korenov smo opazili zanimivo stvar. Vsi netrivialni koreni, ki smo jih našli, imajo realni del, ki je enako število. To število je 1/2, kar je ulomek. To nas pripelje do Riemannovega velikega vprašanja, ki govori o tem, kako veliki so realni deli. To vprašanje je Riemannova hipoteza. Vprašanje se glasi: "Ali imajo vsi netrivialni koreni realni del 1/2?". Še vedno poskušamo ugotoviti, ali je odgovor "da" ali "ne".
Kaj vemo do zdaj?
Odgovora na to vprašanje še ne poznamo. Poznamo pa nekaj dobrih dejstev. Ta dejstva nam lahko pomagajo. Obstaja način, kako lahko ugotovimo dejstva o realnih delih netrivialnih korenov. To je z Riemannovo posebno enačbo (Riemannova funkcionalna enačba). Riemannova funkcionalna enačba nam pove, kakšna je velikost realnih delov. Pravi, da imajo vse netrivialne ničle realni del blizu 1/2. Pove, kako majhni so lahko realni deli in kako veliki so lahko. Ne pove pa natančno, kakšni so. Natančneje, pravi, da morajo biti realni deli večji od 0, vendar morajo biti manjši od 1. Še vedno pa ne vemo, ali lahko obstaja netrivialni koren z realnim delom, ki je zelo blizu 1/2. Morda obstaja, vendar ga še nismo našli. Skupino kompleksnih števil, ki imajo realni del večji od 0 in manjši od 1, imenujemo "kritični pas".
Riemannova hipoteza v sliki
Slika v zgornjem desnem kotu te strani prikazuje Riemannovo funkcijo zeta. Netrivialni koreni so prikazani z belimi pikami. Videti je, kot da so vsi v vrsti na sredini slike. Niso preveč na levi in ne preveč na desni strani. Pomembno je, kako daleč od leve proti desni ste. Če so na sredini slike, pomeni, da imajo pravi del 1/2. Torej imajo vsi netrivialni koreni na sliki realni del 1/2. Vendar naša slika ne prikazuje vsega, ker je Riemannova zeta funkcija prevelika, da bi jo lahko prikazali. Kaj pa netrivialni koreni nad in pod sliko? Ali bi bile tudi one na sredini? Kaj pa, če prekinejo vzorec, da so na sredini? Lahko so nekoliko bolj levo ali desno. Riemannova hipoteza se sprašuje, ali bi bil vsak netrivialni koren (bela pika) na črti navzdol po sredini. Če je odgovor ne, rečemo, da je "hipoteza napačna". To bi pomenilo, da obstajajo bele pike, ki niso na dani premici.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Riemannova hipoteza?
O: Riemannova hipoteza je matematično vprašanje (domneva), ki postavlja vprašanje o posebni stvari, imenovani Riemannova funkcija zeta.
V: Na katero vrsto matematike se nanaša Riemannova hipoteza?
O: Riemannova hipoteza se nanaša na čisto matematiko, ki je vrsta matematike, pri kateri gre za razmišljanje o matematiki, ne pa za poskus njene uporabe v resničnem svetu.
V: Kdo je bil Bernhard Riemann?
O: Bernhard Riemann je bil človek, ki je živel v 19. stoletju in katerega ime je dobila ta domneva.
V: Kaj bi se zgodilo, če bi nekdo dokazal Riemannovo hipotezo?
O: Če bi kdo lahko dokazal Riemannovo hipotezo, bi matematiki lahko izvedeli več o praštevilkah in o tem, kako jih najti.
V: Koliko denarja je bilo ponujenega za dokaz te domneve?
O: Clay Mathematics Institute je za dokaz te domneve ponudil 1 000 000 dolarjev.
V: Ali obstaja samo en odgovor na to domnevo?
O: Da, za to domnevo obstajata samo dva možna odgovora - "da" ali "ne".
