Riemannova hipoteza: definicija, pomen in vpliv na praštevila
Riemannova hipoteza je matematično (domneva). Veliko ljudi meni, da je iskanje dokaza hipoteze eden najtežjih in najpomembnejših nerešenih problemov čiste matematike. Čista matematika je vrsta matematike, ki se ukvarja z razmišljanjem o matematiki. To se razlikuje od poskusa, da bi matematiko prenesli v resnični svet. Odgovor na Riemannovo hipotezo je "da" ali "ne".
Domneva je poimenovana po Bernhardu Riemannu. Živel je v 19. stoletju. Riemannova hipoteza postavlja vprašanje o posebni stvari, ki se imenuje Riemannova funkcija zeta.
Če je odgovor na vprašanje pritrdilen, to pomeni, da lahko matematiki več vedo o praštevilkah. Zlasti bi jim pomagalo vedeti, kako najti praštevila. Riemannova hipoteza je tako pomembna in jo je tako težko dokazati, da je Clay Mathematics Institute ponudil 1 000 000 dolarjev tistemu, ki jo bo prvi dokazal.
Kaj je Riemannova funkcija zeta?
Riemannova funkcija zeta, pogosto označena z ζ(s), je kompleksna funkcija, ki jo najprej definiramo z neskončnim vsoto ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ n^{-s} za kompleksno število s s realnim delom večjim od 1. Pomembno je, da ima ta funkcija analitično nadaljevanje na celotno kompleksno ravnino razen enopolne singularnosti pri s = 1. Poleg tega velja Eulerjev produktni zapis
ζ(s) = ∏_{p prime} (1 − p^{−s})^{−1},
kar jasno pove povezavo med ζ(s) in praštevili: lastnosti zeta-funkcije odražajo porazdelitev praštevil.
Kaj pravi Riemannova hipoteza?
Riemannova hipoteza trdi, da imajo vse t. i. netrivialne ničle funkcije ζ(s) realni del enak 1/2. Net trivialne ničle so tiste ničle, ki ležijo v kritični pasu 0 < Re(s) < 1 (običajno jih ločimo od "trivialnih ničel", ki so negativna sodiča −2, −4, −6, ...). Kritična črta je pravzaprav črta Re(s) = 1/2 v kompleksni ravnini; hipoteza pravi, da vse netrivialne ničle ležijo natanko na tej črti.
Pomen za praštevila
Povezava med ničlami zeta-funkcije in praštevili je podrobno izražena v t. i. eksplicitnih formulah, ki povezujejo funkcijo za štetje praštevil π(x) (število praštevil ≤ x) z ničlami ζ(s). Če je Riemannova hipoteza resnična, dobimo bistveno natančnejše ocene napake v približkih za π(x). Konkretno, RH implicira, da je razliko med π(x) in Li(x) (logaritemska integralna aproksimacija) omejena približno z O(x^{1/2} log x). To pomeni, da bi z dokazom hipoteze dobili močni nadzor nad tem, kako natančno so praštevila porazdeljena na dolgi skali.
Kaj vemo in kaj ne?
- Riemann je že v svoji 1859 objavi predstavil ideje in postavil hipotezo; od takrat je to ena osrednjih odprtih težav v matematični teoriji števil.
- Mnogo prvih netrivialnih ničel je bilo numerično preverjenih in do zelo visokih višin opazili, da ležijo na kritični črti — preverili so jih v velikih številih (milijoni in nadaljnje verifikacije do še višjih višin). To numerično potrjuje hipotezo, vendar to ni dokaz za vse ničle.
- Obstajajo delni rezultati: poznane so nekatere ničelne-free regije (npr. ničle ne ležijo pri Re(s) = 1, kar ima vlogo pri dokazih na primer za teorem o praštevilih), ter gostotne ocene in mejne ocene za porazdelitev ničel. Vendar popolnega dokaza ni.
- Obstaja veliko izpeljanih izjav, ki so ekvivalentne RH ali pa sledijo iz nje; če bi bila hipoteza dokazana, bi to imelo verigo posledic v različnih vejah teorije števil.
Posledice in širši vpliv
Izkaže se, da bi potrditev Riemannove hipoteze imela posledice v več področjih matematike: v teoriji števil (bolj natančne ocene za π(x), lastnosti aritmetičnih funkcij), v geometriji številske narave (npr. razredi enot in razredi idealov v algebraičnih številskih poljih), v analizi (boljše meje za nekatere sumne izraze) ter v teoriji naključnih matrik, kjer se pojavi presenetljiva analogija med porazdelitvijo ničel zeta-funkcije in lastnimi vrednostmi naključnih hermitskih matrik. Vpliv doseže tudi matematično fiziko (kvantna kaotičnost) in računalniško teorijo (algoritmi, ki obdelujejo aritmetične podatke), čeprav sodobna kriptografija, kot npr. RSA, ne temelji neposredno na resnosti RH in v praksi ne bi bila takoj ogrožena z njegovo potrditvijo ali ovrženjem.
Generalizacije in odprta vprašanja
Poleg izvirne Riemannove hipoteze obstajajo tudi posplošitve, npr. Generalizirana Riemannova hipoteza (GRH) za Dirichletove L-funkcije in še širše za L-funkcije, povezanih z algebraičnimi strukturami. Veliko današnjih raziskav preučuje te splošnejše oblike in njihove konsekvence. Številni matematikis še naprej iščejo ali popolni dokaz ali kontrprimer.
Zaključek
Riemannova hipoteza je globoka in elegantna domneva, ki povezuje analizo in teorijo števil na način, ki ima daljnosežne posledice. Čeprav je bila numerično potrjena za zelo veliko število ničel in je iz nje mogoče izpeljati številne koristne rezultate, ostaja formalni dokaz še vedno odprt — zato je ena najpomembnejših in najbolj obljudenih odprtih težav v sodobni matematiki.
Riemannova zeta funkcija v kompleksni ravnini. Realni del Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)}
števila je narisan vodoravno, imaginarni del Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
navpično. Bele pike prikazujejo ničle, kjer Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}
. Kliknite za celoten pogled.
Kaj je Riemannova hipoteza?
Kaj je Riemannova funkcija zeta?
Riemannova zeta funkcija je vrsta funkcije. Funkcije so v matematiki podobne enačbam. Funkcije sprejemajo števila in vračajo druga števila. To je podobno, kot ko dobite odgovor, ko postavite vprašanje. Število, ki ga vnesete, se imenuje "vhod". Število, ki ga dobite nazaj, se imenuje "vrednost". Vsak vnos, ki ga vnesete v funkcijo Riemann zeta, vam vrne posebno vrednost. Za vsak vnos večinoma dobite drugačno vrednost. Toda vsak vnos vam vsakič, ko ga uporabite, da enako vrednost. Tako vnos, ki ga vnesete, kot vrednost, ki jo dobite iz funkcije Riemann zeta, sta posebni števili, imenovani kompleksni števili. Kompleksno število je število z dvema deloma.
Kaj je netrivialni koren?
Včasih, ko v Riemannovo funkcijo zeta vnesete vnos, dobite nazaj število nič. Kadar se to zgodi, imenujemo ta vnos koren funkcije Riemann zeta. Ko vhodni podatek dobi ničlo, ga imenujemo koren. Najdenih je bilo veliko korenov. Vendar je nekatere korenine lažje najti kot druge. Korenine imenujemo "trivialne" ali "netrivialne". Koren imenujemo "trivialen", če ga je enostavno najti. Če pa je koren težko najti, ga imenujemo "netrivialen". Trivialni koreni so števila, ki se imenujejo "negativna celo število". Razlog, zakaj mislimo, da so enostavni, je v tem, da jih je enostavno najti. Obstajajo natančna pravila, ki določajo, kateri so trivialni koreni. Trivialne korenine poznamo zaradi enačbe, ki jo je podal Bernhard Riemann. Ta enačba se imenuje "Riemannova funkcionalna enačba".
Kako najdemo netrivialne korenine?
Netrivialne korenine je težje najti. Težje jih je najti kot trivialne korenine. Nimajo enakih pravil, ki bi določala, kaj so. Čeprav jih je težko najti, je bilo najdenih veliko netrivialnih korenov. Ne pozabite, da je bila vrednost Riemannove funkcije zeta vrsta števila, ki se imenuje kompleksno število. In ne pozabite, da imajo kompleksna števila dva dela. Eden od teh delov se imenuje "realni del". Pri realnem delu netrivialnih korenov smo opazili zanimivo stvar. Vsi netrivialni koreni, ki smo jih našli, imajo realni del, ki je enako število. To število je 1/2, kar je ulomek. To nas pripelje do Riemannovega velikega vprašanja, ki govori o tem, kako veliki so realni deli. To vprašanje je Riemannova hipoteza. Vprašanje se glasi: "Ali imajo vsi netrivialni koreni realni del 1/2?". Še vedno poskušamo ugotoviti, ali je odgovor "da" ali "ne".
Kaj vemo do zdaj?
Odgovora na to vprašanje še ne poznamo. Poznamo pa nekaj dobrih dejstev. Ta dejstva nam lahko pomagajo. Obstaja način, kako lahko ugotovimo dejstva o realnih delih netrivialnih korenov. To je z Riemannovo posebno enačbo (Riemannova funkcionalna enačba). Riemannova funkcionalna enačba nam pove, kakšna je velikost realnih delov. Pravi, da imajo vse netrivialne ničle realni del blizu 1/2. Pove, kako majhni so lahko realni deli in kako veliki so lahko. Ne pove pa natančno, kakšni so. Natančneje, pravi, da morajo biti realni deli večji od 0, vendar morajo biti manjši od 1. Še vedno pa ne vemo, ali lahko obstaja netrivialni koren z realnim delom, ki je zelo blizu 1/2. Morda obstaja, vendar ga še nismo našli. Skupino kompleksnih števil, ki imajo realni del večji od 0 in manjši od 1, imenujemo "kritični pas".
Riemannova hipoteza v sliki
Slika v zgornjem desnem kotu te strani prikazuje Riemannovo funkcijo zeta. Netrivialni koreni so prikazani z belimi pikami. Videti je, kot da so vsi v vrsti na sredini slike. Niso preveč na levi in ne preveč na desni strani. Pomembno je, kako daleč od leve proti desni ste. Če so na sredini slike, pomeni, da imajo pravi del 1/2. Torej imajo vsi netrivialni koreni na sliki realni del 1/2. Vendar naša slika ne prikazuje vsega, ker je Riemannova zeta funkcija prevelika, da bi jo lahko prikazali. Kaj pa netrivialni koreni nad in pod sliko? Ali bi bile tudi one na sredini? Kaj pa, če prekinejo vzorec, da so na sredini? Lahko so nekoliko bolj levo ali desno. Riemannova hipoteza se sprašuje, ali bi bil vsak netrivialni koren (bela pika) na črti navzdol po sredini. Če je odgovor ne, rečemo, da je "hipoteza napačna". To bi pomenilo, da obstajajo bele pike, ki niso na dani premici.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Riemannova hipoteza?
O: Riemannova hipoteza je matematično vprašanje (domneva), ki postavlja vprašanje o posebni stvari, imenovani Riemannova funkcija zeta.
V: Na katero vrsto matematike se nanaša Riemannova hipoteza?
O: Riemannova hipoteza se nanaša na čisto matematiko, ki je vrsta matematike, pri kateri gre za razmišljanje o matematiki, ne pa za poskus njene uporabe v resničnem svetu.
V: Kdo je bil Bernhard Riemann?
O: Bernhard Riemann je bil človek, ki je živel v 19. stoletju in katerega ime je dobila ta domneva.
V: Kaj bi se zgodilo, če bi nekdo dokazal Riemannovo hipotezo?
O: Če bi kdo lahko dokazal Riemannovo hipotezo, bi matematiki lahko izvedeli več o praštevilkah in o tem, kako jih najti.
V: Koliko denarja je bilo ponujenega za dokaz te domneve?
O: Clay Mathematics Institute je za dokaz te domneve ponudil 1 000 000 dolarjev.
V: Ali obstaja samo en odgovor na to domnevo?
O: Da, za to domnevo obstajata samo dva možna odgovora - "da" ali "ne".
